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Áreas

MAT022 – II semestre 2013. Áreas. Octubre 2012 V.B.V. Ya estudiamos la integral de Riemann. f(x). a. b. Área. Sea f una función no negativa y acotada en [ a,b ] Buscamos calcular el área en la región: R= {( x,y )   2 : x [ a,b ] y [0,f(x)]} Se denota: A a b (f). Proposición.

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Presentation Transcript

  1. MAT022 – II semestre 2013 Áreas Octubre 2012 V.B.V.

  2. Ya estudiamos la integral de Riemann f(x) a b

  3. Área • Sea f una función no negativa y acotada en [a,b] • Buscamos calcular el área en la región: • R= {(x,y) 2: x[a,b] y [0,f(x)]} • Se denota: Aab(f)

  4. Proposición. • f riemann integrable  el área Aab(f) corresponde a la integral de riemann.

  5. Área entre dos funciones f(x) a b g(x)

  6. Área entre dos funciones • Sean f y g funciones. • Se tiene: • x[a,b]: 0f(x) g(x) : Aab(f)  Aab(g) • c[a,b]: Aab(f) = Aac(f) + Acb(f)

  7. Proposición. • El área encerrada por dos funciones f y g entre a y b, está dada por:

  8. ESTRATEGIA • Hacer la grafica • Calcular intersección(es) de las curvas • Estudiar los “rectángulos” • Determinar |f(x)-g(x)| Luego de obtener esto, calcular el área.

  9. Ejemplo 1: Área entre dos curvasCalcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2+2 ; y = -x ; x = 0 ; x = 1 OBS: f y g no se cortan a y b se dan explicitamente

  10. Ejemplo 2: Área entre dos curvas que se cortan, con a y b desconocidosCalcular el área de la región acotada por las graficas de y = 2 –x2 ; y = x

  11. Ejemplo 3: Área entre dos curvas que se cruzanCalcular el área de la región acotada por las graficas de f(x) = x2 ; g(x) = 2- x2 ; 0  x2

  12. Ejemplo 4: Área de una región determinada por 3 curvas.Calcular el área de la región acotada por las graficas de y = x2 ; y= 2- x ; y=0

  13. Observación: Imaginar que rotamos los ejes… O bien pensar en intercambiar “x” por “y”. Podemos calcular el área en términos de “dy”.

  14. Ejemplo 5: Calcular el área como una integral en y.Resolver el ejercicio anterior en dy. • IMPORTANTE: • Escribir x=f-1(y) ; x=g-1(y) • Determinar intersección en y. • Signo de f-1(y) - g-1(y) en el intervalo [c,d]

  15. Ejercicio Propuesto: 1. Encontrar el área de las regiones encerradas por: x=3-y2 ; x=y+1. • Utilizar dx y dy • ¿en que caso resulta mas simple? 2. Calcular el área acotada por las graficas de x= y2 ; x=2-y2

  16. Ejemplo 6: Los puntos de intersección no se conocen “exactamente”.Calcular el área acotada por y= cos x e y = x2

  17. Ejemplo 7: Área de una curva cerrada (loops).Calcular el área acotada por y2= x2- x4

  18. Ejercicios Propuestos: • Encontrar el área de las regiones encerradas por: • y=3-x ; y=x2-9 • y=10x-x2 ; y = 3x-8 • y = sen x ; y = cos x entre las rectas x=0 y x=  • 8y = x3 ; 8y = 2x3 +x2 -2x • xy = 9 ; x + y = 4 • y = 3x - x2 , y = 3 x2 - x3 entre las rectas x = 0 , x = 3 • x = 1-y4; x = y(1 - y2).

  19. Calcula el área de las dos partes en que la parábola: y2 = 4x divide al círculo x2+ y2= 8. • Calcula el área de una elipse de semiejes a y b. • Expresar en términos de una integral el área de la región más grande limitada por x2 + y2 = 25 y la recta x = −3.

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