Progressões aritméticas e geométricas

1. Progressões aritméticas e geométricas Prof. Jorge

2. Quem levou vantagem? • Denise e Pedro são colegas. No ano passado, cada um recebia 200,00 reais de mesada. Este ano, eles fizeram aos pais propostas diferentes. A mesada começaria pequena e aumentava mês a mês. Prof. Jorge

3. Quem levou vantagem? • Denise queria receber 10,00 reais em janeiro e, a cada um dos meses seguintes, 30,00 reais a mais que no mês anterior. • Já a proposta de Pedro era receber só 1 real em janeiro e, em cada um dos meses seguintes, o dobro do mês anterior. Prof. Jorge

4. Quem levou vantagem? • Os pais acharam as propostas interessantes e toparam. No acumulado do ano, Denise e Pedro levaram vantagem? • A resposta a essa pergunta você vai encontrar no estudo das progressões. Prof. Jorge

5. Sucessão ou seqüência Prof. Jorge

6. Sucessão ou seqüência • O quadro a seguir mostra, ordenadamente, a lista dos seis primeiros classificados no campeonato brasileiro de futebol, edição 2007. (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) (CZ, FL, GE, PA, SN, SP) Prof. Jorge

7. Sucessão ou seqüência • Veja os elementos da sucessão ou seqüência. (SP, CZ, GE, PA, FL, SN) • Cada time é um termo da seqüência; • O critério ordem de classificação identifica qual é o primeiro termo, o segundo, o terceiro, ..., o sexto; • Na representação de uma sucessão, os termos aparecem entre parênteses, ordenados e separados por vírgulas. Prof. Jorge

8. Sucessão ou seqüência • Veja agora, o quadro a seguir. Ele mostra o número de alunos do 1º. Ano que perderam média em Matemática, em cada uma das três etapas de 2007. Os números da última linha formam a seqüência ou sucessão(18, 15, 11) • O critério ordem cronológica identifica qual é o primeiro, o segundo e o terceiro termo; Prof. Jorge

9. Definição • Sucessão ou seqüência é toda lista de termos em que se distinguem, a partir de um determinado critério bem definido, o primeiro, o segundo, o terceiro, etc. Numa seqüência, duas coisas são importantes: • Os termos que a compõem; • A ordem em que eles aparecem, a partir de um critério pré-estabelecido; Prof. Jorge

10. Seqüências numéricas • Vamos dar ênfase às seqüências numéricas. São aquelas cujos termos são números reais. Uma seqüência pode ser finita e infinita. • A seqüência (18, 15, 11) é uma seqüência numérica finita. Ela tem último termo (o terceiro). • A seqüência (0, 2, 4, 6, 8, ...) dos números naturais pares é uma seqüência infinita. Não existe o maior número natural par. Prof. Jorge

11. Seqüências numéricas - representação • De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. • a1→ primeiro termo • a2→ segundo termo O índice indica a posição do elemento na seqüência. • a3→ terceiro termo • a4→ quarto termo ........................................ • an→ enésimo termo ou termo geral Prof. Jorge

12. Seqüências numéricas - representação • De modo geral os termos consecutivos de uma seqüência numérica são indicados por uma letra minúscula, acompanhada de um índice. • (a1, a2, a3, a4, ..., an) representa uma secessão finita • (a1, a2, a3, a4, ...an, ...) representa uma secessão infinita Prof. Jorge

13. Exemplo • Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos: a1 =1 a3 =5 a6 =11 Prof. Jorge

14. Sucessão definida pelo seu termo geral Prof. Jorge

15. Definição • Uma sucessão numérica é uma função de variável natural n, não-nula, com imagem no conjunto dos números reais. O domínio da variável n é • O conjunto N*, se a sucessão é infinita; • O conjunto {1, 2, 3, 4, 5, ..., n}, se a sucessão é finita, com n termos. Assim, f(1) = a1, f(2) = a2, f(3) = a3, ..., f(n) = an. Prof. Jorge

16. Exemplo • Na secessão infinita (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...) dos números naturais ímpares, temos: (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, ..., an, ...) n = 1 → f(1) = 1 ⇒ a1 = 1 n = 2 → f(2) = 3 ⇒ a2 = 3 n = 3 → f(3) = 5 ⇒ a3 = 5 n = 4 → f(4) = 7 ⇒ a4 = 7 n = 5 → f(5) = 9 ⇒ a5 = 9 .................................................. Prof. Jorge

17. Termo geral • Certas sucessões numéricas são definidas pelo seu termo geral an. No caso, o enésimo termo é expressão em função da variável natural n ≠ 0. Prof. Jorge

18. Exemplo • O termo geral de uma sucessão é an = n2 + 2n. Obter os termos a2 e a7. Mostrar que 48 é um de seus termos e identificar a posição. Em an = n2 + 2n, vamos fazer n = 2 e n = 7. n = 2⇒ a2 = 22 + 2.2 ⇒ a2 = 4 + 4 = 8 n = 7⇒ a2 = 72 + 2.7 ⇒ a2 = 49 + 14 = 63 Fazendo an = 48, n2 + 2n = 48 ⇒ n2 + 2n – 48 = 0 ⇒ n’ = –8 (F) ⇒ n” = 6 ⇒ 48 é o sexto termo. ⇒ a6 = 48. Prof. Jorge

19. Sucessão definida por uma lei de recorrência Prof. Jorge

20. Lei de recorrência • Seqüências numéricas costumam ser definidas, às vezes, por uma lei de recorrência. No caso, são dados. • Um dos termos (em geral, o primeiro); • Uma lei que permita obter cada um dos demais termos, recorrendo-se a termos anteriormente calculados. Prof. Jorge

21. Exemplos • Obter os cinco primeiros termos da sucessão numérica infinita, definida pela lei de recorrência. a1 = 3 an+1 = 2an + 1, para n ≥ 1 n = 1⇒ a2 = 2.a1 + 1 ⇒ a2 = 2.3 + 1 ⇒ a2 = 7 n = 2⇒ a3 = 2.a2 + 1 ⇒ a3 = 2.7 + 1 ⇒ a3 = 15 n = 3⇒ a4 = 2.a3 + 1 ⇒ a4 = 2.15 + 1 ⇒ a4 = 31 n = 4⇒ a5 = 2.a4 + 1 ⇒ a5 = 2.31 + 1 ⇒ a5 = 63 (3, 7, 15, 31, 63) Prof. Jorge

22. Exemplos • Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos. a) (2, 7, 12, 17, ...) 22 e 27. 125 e 216. b) (1, 8, 27, 64, ...) c) (1, 2, –1, 6, 1, 18, –1, 54, ...) 1 e 162. d) (3, 6, 12, 24, ...) 48 e 96. e) (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ...) 21 e 34. f) (0, 3, 8, 15, 24, ...) 35 e 48. Prof. Jorge

23. Exemplos • Descubra uma lógica de formação em cada sucessão, e ache seus dois próximos termos. 1 2 5 6 3 4 g) , , , ... , , 4 9 36 49 16 25 76 199 1 4 11 29 h) , , , ... , , 123 322 3 7 18 47 i) (Ana, Gustavo, Bárbara, Hugo, Bruna, ...) João, Camila Prof. Jorge

24. Progressões aritméticas Prof. Jorge

25. Progressão aritmética • Rodrigo resolveu colecionar moedas. Começou apenas com 15. Mas ele está animado. A cada dia pretende acrescentar mais 4 moedas à sua coleção. 15 19 23 27 31 35 ... +4 +4 +4 +4 +4 +4 (15, 19, 23, 27, 31, 35, ...) A constante 4 é a razão da seqüência. Prof. Jorge

26. Definição • Progressão aritmética (PA) é toda sucessão numérica em que cada termo (a partir do segundo) é a soma do antecessor com uma constante r, chamada razão da P.A. • Para n > 1, uma P.A. obedece à lei de recorrência an = an - 1 + r ⇒ an – an - 1 = r • Portanto, a razão r é a diferença entre um termo qualquer e o anterior. r = a2 – a1 = a3 – a2 = a4 – a3 = ... Prof. Jorge

27. Exemplos • (2, 5, 8, 11, 14) É uma P.A. finita. Ela é crescente, porque cada termo é maior que o anterior. Sua razão é: r = 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 14 – 11 = 3 Em geral, se r > 0 a P.A. é crescente. Prof. Jorge

28. Exemplos • (6; 5,5; 5; 4,5; 4; 3,5; ...) É uma P.A. infinita. Ela é decrescente, porque cada termo é menor que o anterior. Sua razão é: r = 5,5 – 6 = 5 – 5,5 = 4,5 – 5 = 4 – 4,5 = –0,5 Em geral, se r < 0 a P.A. é decrescente. Prof. Jorge

29. Exemplos • (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3 ...) É uma P.A. constante, porque tem todos os termos iguais. Sua razão é: r = 3 – 3 = 0 Em geral, se r = 0 a P.A. é constante. Prof. Jorge

30. Exemplos • Se (2, m + 1, 3m – 4) é uma P.A., obter o valor de m e a razão da P.A. Na sucessão, a1 = 2, a2 = m + 1 e a3 = 3m – 4 a2 – a1 = a3 – a2 Se ela é uma P.A., deve ser: ⇒ m + 1 – 2 = 3m – 4 – (m + 1) ⇒ m – 1 = 3m – 4 – m – 1 ⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ m – 1 = 2m – 5 ⇒ – m = – 4 ⇒ m = 4 Para m = 4, a P.A. é (2, 5, 8), de razão 3. Prof. Jorge

31. Observação • Da definição de P.A. decorre que, de três termos consecutivos o termo do meio é a media aritmética dos outros dois. Considerando os termos consecutivos a1, a2 e a3, a2 – a1 = a3 – a2 ⇒ 2a2 = a1 + a3 a1 + a3 a2 = 2 Prof. Jorge

32. Termo geral de uma P.A. Prof. Jorge

33. Termo geral da P.A. • Numa progressão aritmética o primeiro termo e a razão são fundamentais. Conhecendo-os fica fácil escrever toda a progressão. • Vamos analisar um processo geral para se obter um termo qualquer de uma progressão aritmética, a partir do primeiro termo e da razão. Prof. Jorge

34. Termo geral da P.A. a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... • Observe a seqüência de termos abaixo. +r +r +r +r +r +r Note que “saltar” de um termo para o seguinte signifi-ca somar a razão. a2 = a1 + r • De a1 até a2 temos 1 salto⇒ a3 = a1 + 2r • De a1 até a3 temos 2 saltos⇒ a4 = a1 + 3r • De a1 até a4 temos 3 saltos⇒ E assim por diante. Prof. Jorge

35. Termo geral da P.A. a1 a2 a3 a4 a5 a6 ... • Observe a seqüência de termos abaixo. +r +r +r +r +r +r De maneira geral, de a1 até um termo genérico an, são (n – 1) saltos. an é o enésimo termo an = a1 + (n – 1)r n é a posição do termo Prof. Jorge

36. Observação • O raciocínio utilizado funciona, mesmo que não se tome como ponto de partida o primeiro termo. Veja o esquema a seguir. –r –r –r –r –r –r a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... +r +r +r +r +r +r • Saltar para o termo seguinte é somar a razão; saltar para o termo anterior é subtrair a razão. Prof. Jorge

37. Exemplos –r –r –r –r –r –r a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... +r +r +r +r +r +r • De a1 para a15 são 15 – 1 = 14 saltos a15 = a1 + 14r ou a1 = a15 – 14r • De a8 para a12 são 12 – 8 = 4 saltos a12 = a8 + 4r ou a8 = a12 – 4r Prof. Jorge

38. Exemplos –r –r –r –r –r –r a8 a9 a10 a11 a12 a13 ... +r +r +r +r +r +r • De a10 para a13 são 13 – 10 = 3 saltos a13 = a10 + 3r ou a10 = a13 – 3r • De a23 para a37 são 37 – 23 = 14 saltos a37 = a23 + 14r ou a23 = a37 – 14r Prof. Jorge

39. Exemplos • Na P.A. (–2, 1, 4, ...) calcular o décimo quinto termo e o termo geral an. Na sucessão, a1 = –2 e r =4 – 1 = 3 a15 = a1 + 14r = –2 + 14.3 = –2 + 42 ⇒ a15 = 40 an = a1 + (n – 1)r = –2 + (n – 1) . 3 ⇒ an = –2 + 3n – 3 ⇒ an = –5 + 3n Prof. Jorge

40. Exemplos • A sucessão infinita de termo geral an = 7 – 5n é uma P.A. Achar o terceiro e o décimo termos e, a partir deles, a razão da P.A. Em an = 7 – 5n, vamos fazer n = 3 e n = 10. a3 = 7 – 5.3 = 7 – 15 ⇒ a3 = –8 a10 = 7 – 5.10 = 7 – 50 ⇒ a10 = –43 a10 = a3 + 7.r ⇒ –43 = –8 + 7r ⇒ –7r = –8 + 43 ⇒ –7r = + 35 ⇒ r = –5 Prof. Jorge

41. Exemplos • Quanto são os números naturais múltiplos de 3, e que têm dois algarismos? O menor múltiplo de 3 com 2 algarismos é 12 e o maior é 99. Temos uma P.A. finita (12, 15, 18, ..., 96, 99) Na sucessão, a1 = 12, r = 3 e an = 99. an = a1 + (n – 1)r ⇒ 99 = 12 + (n – 1) . 3 ⇒ 99 = 12 + 3n – 3 ⇒ 99 = 9 + 3n ⇒ 90 = 3n ⇒ n = 30 Prof. Jorge

42. Soma dos termos na P.A. Prof. Jorge

43. Soma dos termos na P.A. • O alemão Carl Friedrich Gauss deu grandes contribuições ao desenvolvimento das idéias matemáticas. • Desde pequeno, ele mostrava sua genialidade. Um fato curioso ocorreu quando ele tinha em torno de dez anos de idade. • Certo dia, numa aula de matemática, o professor pediu que seus alunos obtivessem a soma dos números inteiros de 1 a 100. Entre os alunos, estava Gauss. Prof. Jorge

44. Soma dos termos na P.A. • S = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100? 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100 101 101 101 101 S = 101 . 50 = 5 050 • Observe que as parcelas da soma de Gauss formam uma P.A. (Nela a1 = 1, a100 = 100 e r = 1). Prof. Jorge

45. Soma dos termos na P.A. • Você verá que a propriedade que Gauss descobriu é válido para qualquer P.A. Numa P.A. finita com n termos, (a1 a2 a3 a4 ... an-3 an-2 an-1 an) n termos a1 + an = a2 + an–1 = a3 + an–2 = a4 + an–3 = ... a1 + an n Sn = (a1 + an). Sn = .n 2 2 Prof. Jorge

46. Exemplos • Obter a soma dos 30 primeiros números ímpares, sem adicioná-los um a um. Devemos obter a soma dos 30 primeiros termos da P.A. (1, 3, 5, 7, 9, ...) a30 = a1 + 29r ⇒ a30 = 1 + 29.2 ⇒ a30 = 59 1 + 59 a1 + a30 ⇒ S30 = 900 = S30 = . 30 .n 2 2 Prof. Jorge

47. Exemplos • Calcular a soma 2 + 5 + 8 + ... + 62, sabendo-se que as parcelas formam uma P.A. Primeiro vamos encontrar o número de termos da P.A. an = a1 + (n – 1).r ⇒ 62 = 2 + (n – 1).3 ⇒ 62 = 2 + 3n – 3 ⇒ 63 = 3n ⇒ n = 21 2 + 62 a1 + a21 ⇒ S21 = 672 = S21 = . 21 .n 2 2 Prof. Jorge

48. Exemplos • Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x). an = a1 + (n – 1).r ⇒ x = 3 + (n – 1).1 ⇒ x = 3 + n – 1 ⇒ x = n + 2 Prof. Jorge

49. Exemplos • Um jardineiro planta roseiras em filas: 3 na primeira fila; 4 na segunda; 5 na terceira; e assim em diante. Sempre ele planta uma roseira a mais na fila seguinte. Ele plantou um total de 150 roseiras. Determinar o total de filas e o número de roseiras na última fila. A quantidade de roseiras em cada fila formam a P.A. (3, 4, 5, ..., x). 3 + x a1 + an ⇒ Sn = . n = 150 .n 2 2 3 + n + 2 ⇒ . n = 150 ⇒ n = 15 e x = 17 2 Prof. Jorge

50. Progressões geométricas Prof. Jorge