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IL PROBLEMA

IL PROBLEMA. ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO. Matematicamente si può:. decidere che tale calcolo non interessa creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire. Optiamo per la seconda ipotesi ok !.

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Presentation Transcript

  1. IL PROBLEMA

  2. ESTRAZIONE DI RADICE QUADRATA DI UN NUMERO NEGATIVO

  3. Matematicamente si può: • decidere che tale calcolo non interessa • creare un insieme di numeri in cui tale calcolo si può eseguire

  4. Optiamo per la secondaipotesi ok !

  5. Cominciamo con l’osservare che non vi è alcun numero reale il cui quadrato sia uguale a -1. • Però nulla impedisce di creare un nuovo “numero”, fuori dall’insieme R dei numeri reali, il quale soddisfi a questa condizione. • Questo nuovo numero si suole indicare con la lettera i e si chiama unità immaginaria

  6. si ha quindi per definizione 2 i = -1

  7. l’unità immaginaria è un po’ “strana”

  8. l’unità immaginaria ha, con le sue potenze, un “piede” nell’insieme dei numeri realile sue potenze sono “cicliche” di ciclo 4, infatti i valori si ripetono ogni quattro

  9. sull’asse delle ascisse i numeri reali sull’asse delle ordinate i “numeri immaginari” ottenuti moltiplicando un numero reale per l’unità immaginaria i in un riferimento cartesiano ortogonaleponiamo

  10. Rappresentazione Geometrica P=(a,b) b a a

  11. chiamiamonumero complessoun numero del tipoa+ib

  12. con a e b numeri reali a si chiama parte reale del numero complesso ib si chiama parte immaginaria del numero complesso

  13. è nato • un nuovo insieme di numeri i numeri complessi

  14. Rappresentiamo con un insieme tutti i numeri che conosciamo Complessi a+ib Reali Immaginari a bi

  15. Diamo qualche definizione a+ib=c+id se e solo se a = c e b = d a+ib > c+id non si può stabilire a+ib e a-ib complessi coniugati

  16. Somma algebrica di numeri complessi (a+ib)+(c+id) (a+c)+(b+d)i

  17. esempi (3+2i)+(-5+7i)=-2+9i (-2-4i)+(-3+5i)=-5+i (4+7i)-(-2+5i)=(4+7i)+(2-5i)=6+2i (1+2i)+(1-2i)=2 ??????? (1+2i)-(1-2i)=(1+2i)+(-1+2i)=4i??????

  18. Bella cosa……..! Nell’insieme dei numeri complessi la somma di due quadrati è scomponibile in fattori!!! Prodotto di numeri complessi (a+ib) (c+id) = ac+adi+bci+bdi2 =ac+adi+bci-bd = (ac-bd)+(bc+ad)i in particolare: (a+ib) (a-ib) = a2- b2i2 = a2 + b2 Si però i fattori sono numeri complessi!!!

  19. esempi (3+2i) (4-i) = (12+2)(-3+8)i = 14+5i (3+2i) (3-2i) = 9 + 4 =13 somma di due quadrati

  20. Reciproco di un numero complesso Si definisce reciproco del numero complesso c + id il numero complesso c - id_ c2 + d2 infatti il loro prodotto è uguale a 1

  21. Quoziente di numeri complessi (a+ib) / (c+id) = (a+ib) __1___ (c+id) = (a+ib) (c-id) c2+d2

  22. esempio

  23. RIASSUMIAMO quello che abbiamo imparato

  24. Avevamo un problema =3i l’abbiamo risolto introducendo i numeri immaginari abbiamo creato l’insieme dei numeri complessi a + ib abbiamo visto che tale insieme contiene sia i numeri reali già noti che i numeri immaginari abbiamo visto che in questo nuovo insieme valgono regole uguali a quelle già note ma in più che in esso si possono fare operazioni vietate nell’insieme dei reali

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