DSP 9 IIR Filter Design การออกแบบตัวกรองดิจิตอลแบบ IIR

1. DSP 9IIR Filter Design การออกแบบตัวกรองดิจิตอลแบบ IIR ดร. พีระพล ยุวภูษิตานนท์ ภาควิชา วิศวกรรมอิเล็กทรอนิกส์ EEET0485 Digital Signal Processing

2. เป้าหมาย • นศ ออกแบบตัวกรองดิจิตอล IIR ได้จากตัวกรองแอนะลอกต้นแบบและรู้จักข้อดีของแต่ละวิธีการออกแบบ • นศ ทราบวิธีการสร้างตัวกรองดิจิตอลแบบที่ต้องการได้จากตัวกรองดิจิตอลต้นแบบโดยใช้การแปลงความถี่ EEET0485 Digital Signal Processing

3. เปรียบเทียบตัวกรอง IIR กับ FIR EEET0485 Digital Signal Processing

4. การสร้างตัวกรองดิจิตอลแบบ IIR มีสองวิธี ที่นิยมคือ • การแปลงแบบอิมพัลส์ไม่แปรเปลี่ยน (Impulse Invariance Transformation) • ง่าย เพราะ เป็นการสุ่มอิมพัลส์จากต้นแบบ • เกิด aliasing ได้ง่าย • การแปลงไบลิเนียร์ (Bilinear Transformation) • ยุ่งยากกว่าเพราะเป็นการแปลงที่ไม่เป็นเชิงเส้น • แต่ไม่เกิดปัญหา aliasing EEET0485 Digital Signal Processing

5. ทบทวนตัวกรองแอนาลอก (Analogue Filter) ฟังก์ชันถ่ายโอนกำหนดได้เป็น N= อันดับ (order) ของตัวกรอง EEET0485 Digital Signal Processing

6. ตำแหน่งโพลของระบบ (x) กำหนดความเสถียร โพล x x ระบบที่เสถียรนั้น โพลทุกตัวต้องอยู่ฝั่งซ้าย ของ s-plane EEET0485 Digital Signal Processing

7. จงหาผลตอบสนองความถี่ ของ ตัวอย่าง วิธีทำ โพลมีสองตัวคือ ผลตอบสนองอิมพัลส์คือ ซึ่งก็คือการแปลงลาปลาซผกผัน (inverse Laplace transform) EEET0485 Digital Signal Processing

8. ผลตอบสนองความถี่ของ EEET0485 Digital Signal Processing

9. การออกแบบตัวกรองดิจิตอล IIR โดยวิธีผลตอบสนองอิมพัลส์ไม่แปรเปลี่ยน (Impulse Invariance Design) ใช้การสุ่มผลตอบสนองอิมพัลส์ของวงจรกรองแอนะลอกที่ออกแบบมาไว้ดีแล้ว จาก เนื่องจากบน unit circle (สำหรับ กรณีตัวกรองดิจิตอล) (สำหรับ กรณีตัวกรองแอนะลอก) บนแกนจินตภาพ และ ดังนั้น ความสัมพันธ์ของ ตัวกรองแอนาลอกและตัวกรองดิจิตอลเป็น EEET0485 Digital Signal Processing

10. ข้อพิจารณา 1 โดยที่ จึงได้ว่า ด้านซ้ายของ s-plane ถูก map ไปยัง ภายใน unit circle (|z|<1) ดังนั้น หากระบบแอนาลอกต้นแบบมีความเสถียร ระบบดิจิตอลที่ออกแบบก็จะเสถียรด้วย EEET0485 Digital Signal Processing

11. ข้อพิจารณา 2 จาก เราพบว่า H(z) มีความเป็นคาบทุกๆ หรือ หมายความว่า สำหรับ Ha(s) ต่างค่า, H(z) อาจให้ค่าเดียวกัน การ mapping แบบนี้จึงเป็นแบบ many-to-one EEET0485 Digital Signal Processing

12. ข้อพิจารณา 3 หาก เรเดียน/วินาที เมื่อ ระบบจะไม่เกิด aliasing แต่โดยทั่วไป ระบบตัวกรองแอนาลอกจะไม่มีการจำกัดเชิงความถี่ ดังนั้น จะมีโอกาสเกิดการ aliasing ขึ้นได้ EEET0485 Digital Signal Processing

13. การmapping ของ การแปลง Impulse Invariance Im mapping Re z-plane s-plane EEET0485 Digital Signal Processing

14. ตัวอย่าง จาก จงหา ตัวกรอง IIR ที่ออกแบบโดยใช้วิธี impulse invariance โดยที่ อัตราสุ่ม T=0.1 วินาที วิธีทำ โพลทางแอนาลอก ถูกแปลงเป็น โพลดิจิตอล EEET0485 Digital Signal Processing

15. แทนค่า T=0.1 วินาที จะได้ EEET0485 Digital Signal Processing

16. ผลตอบสนองอิมพัลส์ ผลลัพท์ต่างกัน เนื่องจาก aliasing EEET0485 Digital Signal Processing

17. การแปลงไบลิเนียร์ Bilinear Transformation ในการแปลงไบลิเนียร์ ใช้การแทน s ในฟังก์ชันถ่ายโอนด้วย หรือกลับกัน หากเขียนสมการ ข้างบนนี้ใหม่เป็น ซึ่งถ้า fix ตัวแปรหนึ่งไว้ สมการจะมีความเป็น linear เทียบกับแต่ละตัวแปร จึงเป็นที่มาของคำว่า bilinear ซึ่งหมายถึง“Bilinear สำหรับ s และ z” EEET0485 Digital Signal Processing

18. การmapping ของ การแปลงไบลิเนียร์ Im Re z-plane s-plane EEET0485 Digital Signal Processing

19. ตัวอย่าง จงออกแบบ ตัวกรอง IIR โดยใช้วิธี bilinear transform โดย ที่ T=1 วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing

20. เปรียบเทียบผลตอบสนองความถี่แอนะลอกกับดิจิตอลเปรียบเทียบผลตอบสนองความถี่แอนะลอกกับดิจิตอล analogue filter digital filter dsp_9_3.eps EEET0485 Digital Signal Processing

21. ความไม่เป็นเชิงเส้นในการแปลงไบลิเนียร์ (T=1) dsp_9_4.eps EEET0485 Digital Signal Processing

22. แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสเกลความถี่แอนะลอกกับดิจิตอล(กรองต่ำผ่าน)แสดงความสัมพันธ์ระหว่างสเกลความถี่แอนะลอกกับดิจิตอล(กรองต่ำผ่าน) แอนะลอก ดิจิตอล EEET0485 Digital Signal Processing

23. Prewarping • แต่การแปลงความถี่ดิจิตอลกลับไปเป็นแอนะลอกนั้นไม่เป็นเชิงเส้น • ในการสร้างตัวกรองดิจิตอล แม้ว่าเราจะพิจารณาความถี่ เป็นดิจิตอล แต่เราจะใช้ทฤษฎีการออกแบบตัวกรองแอนะลอก ที่ต้องใช้ความถี่แอนนะลอก • การ “ดัด” สเกลความถี่แอนะลอกเสียก่อนเพื่อชดเชยความไม่เป็นเชิงเส้นนั้นเรียกว่า การปรีวาร์ป (Prewarping)และ เรียกความถี่ปรีวาร์ปแอนะลอก (Prewarped analogue frequency) EEET0485 Digital Signal Processing

24. ความถี่แอนะลอกที่ถูกปรีวาร์ป(Prewarped Analogue Frequency) ใน แทน และ ความถี่ปรีวาร์ปแอนะลอก (prewarped analogue freq.) EEET0485 Digital Signal Processing

25. ต้นแบบตัวกรองแอนะลอก(Analogue Filter Prototype) ตัวกรองผ่านต่ำแอนาลอกแบบที่นิยมใช้เป็นต้นแบบซึ่งมีฟังก์ชันถ่ายโอนคือ piคือ โพลของตัวกรอง N อันดับของตัวกรอง ตัวกรองผ่านต่ำแอนาลอกแบบที่นิยมใช้คือตัวกรองผ่านต่ำ ต้นแบบบัตเตอร์เวิท(Butterworth lowpass prototype) EEET0485 Digital Signal Processing

26. ตัวกรองต่ำผ่านต้นแบบบัตเตอร์เวิท(Butterworth lowpass prototype) ตัวกรองต่ำผ่านบัตเตอร์เวิทมีค่าขนาดยกกำลังสองเป็น ความถี่คัทออฟ หรือ ตำแหน่งที่ = -3 dB ตัวกรองต่ำผ่านต้นแบบ ได้มาจากการกำหนดให้ เราได้ตัวกรองต้นแบบบัตเตอร์เวิทอันดับ N เป็น EEET0485 Digital Signal Processing

27. ตัวกรองต่ำผ่านต้นแบบบัตเตอร์เวิทตัวกรองต่ำผ่านต้นแบบบัตเตอร์เวิท 0 dB -3 dB กำหนดให้เป็น “1” กรณีเป็นตัวกรองต้นแบบ ใช้ร่วมกับ MdBเป็นตัวกำหนดค่า N โดยที่ EEET0485 Digital Signal Processing

28. ตาราง ตัวกรองต่ำผ่านต้นแบบบัตเตอร์เวิท EEET0485 Digital Signal Processing

29. ขั้นตอนการออกแบบตัวกรองต่ำผ่านดิจิตอลโดยใช้ตัวกรองต้นแบบบัตเตอร์เวิท • แปลงความถี่จากความถี่แอนะลอกที่โจทย์กำหนดเป็นความถี่ดิจิตอล เรเดียน 2. ทำปรีวาร์ป (Prewarp) ความถี่ดิจิตอลให้เป็น ความถี่ปรีวาร์ปแอนะลอก เรเดียน/วินาที 3. แปลงทุกๆความถี่จากปรีวาร์ปแอนะลอก เพื่อใช้กับตัวกรองต้นแบบ โดยการหารด้วย ขนาดของความถี่คัทออฟปรีวาร์ป เรเดียน/วินาที โดยที่ EEET0485 Digital Signal Processing

30. 4. หาอันดับ N จาก Mdb= ค่าลดทอนที่ต้องการ ณ ความถี่ เรเดียน/วินาที 5. หาตัวกรองต้นแบบ จากตารางซึ่งขึ้นกับค่า N และ ทำการแปลงแถบความถี่โดยการแปลง ซึ่งเป็นการแปลง สำหรับ กรองต่ำผ่านต้นแบบเป็นกรองต่ำผ่านที่ต้องการ EEET0485 Digital Signal Processing

31. 6. หา จาก โดยได้การแปลงไบลิเนียร์ โดยแทน หรือ EEET0485 Digital Signal Processing

32. จงออกแบบตัวกรองต่ำผ่านดิจิตอล จากตัวกรองต้นแบบบัต เตอร์เวิทโดยใช้วิธีแปลงไบลิเนียร์ โดยมีความถี่คัทออฟที่ 2000 Hz และมีการลดทอนอย่างน้อย 10 dB ที่ตั้งแต่ความถี่ 4000 Hz ขึ้นไป ความถี่สุ่มเป็น 20 kHz ตัวอย่าง วิธีทำ 1. แปลงความถี่เป็นดิจิตอล เรเดียน เรเดียน EEET0485 Digital Signal Processing

33. 2. ทำปรีวาร์ปให้เป็น ความถี่ปรีวาร์ปแอนะลอก เรเดียน/วินาที เรเดียน/วินาที 3. แปลงความถี่จากปรีวาร์ปแอนะลอก เพื่อใช้กับตัวกรองต้นแบบ เรเดียน/วินาที EEET0485 Digital Signal Processing

34. 4.แทนค่าใน เลือกอันดับเป็นเลขจำนวนเต็ม,ได้ 5. หาตัวกรองต้นแบบจากตาราง กรณี N=2 EEET0485 Digital Signal Processing

35. เป็นการหาตัวกรองต่ำผ่านจากตัวกรองต่ำผ่านต้นแบบ ดังนั้น จึงแปลง 6. หา HLP(z) EEET0485 Digital Signal Processing

36. เราได้ ซึ่งมีผลตอบสนองความถี่ (ขนาดและเฟส) แสดงดังข้างล่าง dsp_9_5.eps EEET0485 Digital Signal Processing

37. ตัวอย่าง (จากหนังสือ อ พรชัย ตัวอย่างที่ 8.1 หน้า 132) ออกแบบตัวกรองบัตเตอร์เวิท แบบต่ำผ่านที่มีความถี่ตัดที่ 2 kHz ใช้ความถี่ในการสุ่ม 8 kHz ให้ระบบมีการลดทอน ไม่ต่ำกว่า 20 dB ที่ 3 kHz วิธีทำ 1. แปลงความถี่เป็นดิจิตอล เรเดียน เรเดียน EEET0485 Digital Signal Processing

38. 2. ทำปรีวาร์ปให้เป็น ความถี่ปรีวาร์ปแอนะลอก เรเดียน/วินาที เรเดียน/วินาที 3. แปลงความถี่จากปรีวาร์ปแอนะลอก เป็นความถี่สำหรับใช้กับตัวกรองต้นแบบ เรเดียน/วินาที เรเดียน/วินาที เรเดียน/วินาที EEET0485 Digital Signal Processing

39. 4.แทนค่าใน เท่ากับคำตอบหน้า 132 เลือกอันดับเป็นเลขจำนวนเต็ม,ได้ 5. หาตัวกรองต้นแบบจากตาราง กรณี N=3 EEET0485 Digital Signal Processing

40. เป็นการหาตัวกรองต่ำผ่านจากตัวกรองต่ำผ่านต้นแบบ ดังนั้น จึงแปลง 6. หา HLP(z) EEET0485 Digital Signal Processing

41. EEET0485 Digital Signal Processing

42. การแปลงความถี่(Frequency Transformation) • เป็นการแปลงจากตัวกรองต่ำผ่านดิจิตอลต้นแบบ เป็นตัวกรองต่ำผ่านดิจิตอลแบบต่างๆ • ใช้การแปลงความถี่ในการออกแบบตัวกรองที่นอกเหนือจาก ตัวกรองต่ำผ่าน EEET0485 Digital Signal Processing

43. ตารางการแปลงความถี่(เฉพาะกรองต่ำผ่านและสูงผ่าน)ตารางการแปลงความถี่(เฉพาะกรองต่ำผ่านและสูงผ่าน) EEET0485 Digital Signal Processing

44. ตารางตัวกรองต่ำผ่านดิจิตอลต้นแบบแบบบัตเตอร์เวิทที่อันดับต่างๆ ความถี่ตัด EEET0485 Digital Signal Processing

45. ในต้นแบบ ด้วยค่าที่แสดงในตารางการแปลงความถี่ แทนค่า 3. ขั้นตอนการแปลงความถี่ 1. หาความถี่ตัดดิจิตอลของต้นแบบและของตัวกรองที่จะออกแบบ 2. หาค่าคงที่ EEET0485 Digital Signal Processing

46. ตัวอย่าง ตัวกรองต่ำผ่านดิจิตอลต้นแบบ ซึ่งเป็นตัวกรอง บัตเตอร์เวิท อันดับที่ 1 มี ฟังก์ชันถ่ายโอนเป็น ซึ่งมีความถี่ คัทออฟที่ เรเดียน จงหาตัวกรองสูงผ่านดิจิตอลที่มี ความถี่คัทออฟที่ เรเดียน วิธีทำ EEET0485 Digital Signal Processing

47. 2. หาค่าคงที่ กรณีต้องการสร้างตัวกรองสูงผ่าน ในต้นแบบ ด้วย แทนค่า 3. ความถี่ตัดดิจิตอลของต้นแบบ 1. เรเดียน ความถี่ตัดของตัวกรองที่จะออกแบบ เรเดียน EEET0485 Digital Signal Processing

48. EEET0485 Digital Signal Processing

49. ผลตอบสนองตัวกรองสูงผ่านผลตอบสนองตัวกรองสูงผ่าน EEET0485 Digital Signal Processing

50. สรุป • เราออกแบบตัวกรอง IIR โดยใช้ทฤษฎีการออกแบบของตัวกรองแอนะลอกได้ ทั้งจาก 1. การสุ่มอิมพัลส์ (โดยวิธี impulse invariance ) หรือ 2. การแปลงสเกลความถี่ไปมาระหว่าง s และ z (โดยวิธี bilinear transform) • ด้วยการแปลงความถี่ เราสามารถออกแบบ ตัวกรองแบบอื่นๆ เช่น สูงผ่าน แถบผ่าน หรือ แถบหยุดได้ จากต้นแบบตัวกรองต่ำผ่านดิจิตอลที่มีความถี่คัทออฟ เรเดียน EEET0485 Digital Signal Processing