1. Difficultés liées à l’articulation de deux niveaux d’étudedes mathématiques Maggy Schneider Université de Liège Activités du Centre de Didactique Supérieure 12 novembre 2007

2. Deux niveaux d’étude mathématique • Premier niveau : on cherche à modéliser des objets non définis mathématiquement mais dont on a une certaine connaissance • Deuxième niveau : on construit une organisation déductive des éléments du modèle ainsi construit

3. Premier niveau d’étude : le travail de modélisation • Il s’agit, par exemple, de déterminer des aires curvilignes, des vitesses variables, des tangentes, par des techniques « conviviales » : calcul de limites, de dérivées, de primitives ou de construire des modèles fonctionnels qui rendent compte de la covariation de grandeurs • Et de justifier que ce calcul donne bien ce que l’on cherche, au prix d’une « validation » non canonique (validation pragmatique, intuitions géométriques ou cinématiques)

4. Premier niveau d’étude : le travail de modélisation Questions d’élèves bien réelles, même si elles ne sont pas toujours exprimées : « Un calcul de limites peut-il donner la valeur exacte d’une aire curviligne ou d’une vitesse instantanée ? » « Qui nous prouve que l’addition de vecteurs correspond bien à la coplanarité ? » Questions souvent évacuées par le professeur : « Déjà les bouquins sont faits comme ça et, euh, les questions plus délicates, ben je veux dire, le visuel c’est quand même pour ça qu’on montre, euh, on essaie quand même de leur faire voir quelque chose pour qu’ils nous laissent tranquilles entre guillemets, quoi. Qu’ils voient que c’est juste et qu’ils nous posent pas de question plus précise, quoi. » (étudiant d’agrégation)

5. Deuxième niveau d’étude : couler le modèle dans un moule euclidien • Définir mathématiquement les objets initiaux par les techniques qui permettaient de les déterminer au stade précédent, ce qui rend nulles et non avenues les questions précédentes • Agencer les pièces du modèle en une organisation déductive où le mode de validation est exempt de toute considération étrangère au contexte d’origine

6. Deuxième niveau d’étude : couler le modèle dans un moule euclidien • Ce 2ème niveau se distingue du 1er par des tâches et techniques d’un autre ordre : conjecturer un ordre d’agencement de théorèmes, démontrer l’un d’eux au moyen des règles d’inférence du calcul propositionnel, établir un lot d’axiomes, réfuter une conjecture fausse par la technique de la recherche du lemme coupable, … • Pose des questions épistémologiques : nature des concepts scientifiques, falsifiabilité des théories, problème méthodologique de la simplicité, refus du mélange des genres, …

7. Deux niveaux de rationalité • Ces deux niveaux d’étude peuvent être identifiés comme deux niveaux de rationalité complémentaires (E. Rouy) • L’absence d’identification du premier niveau empêche la visibilité et la viabilité des deux et se solde souvent par, d’une part, un repli sur le procédural au niveau du secondaire et, d’autre part, une « copie » du discours théorique universitaire dont on a retiré les endroits les plus délicats (E. Rouy) • Qu’en est-il du 2ème niveau ? • Le « partage » des deux niveaux entre le secondaire et l’université est à penser différemment d’un domaine mathématique à l’autre

8. Quel partage des rôles entre secondaire et université ? « Je crois que tout simplement dans le secondaire j’ai vu la limite et la dérivée comme des techniques. Je savais très bien dériver, je ne me trompais pas mais la signification profonde de la dérivée, je ne l’avais pas perçue. Je pense que la maturité de l’élève est telle que c’est une notion sur laquelle il faut revenir après. Je ne vois pas de problème à dire : on a donné la définition, on a surtout insisté sur la technique de calcul parce que c’est à la portée des élèves à cet âge-là et puis en premier bac, on revient sur la notion en disant : attention, voilà ce qu’il y a en plus. Même en bio, je reviens dessus en disant : c’est un taux de variation instantané particulier. Et ça, dans le secondaire, on ne l’a pas vu mais il ne fallait peut-être pas le voir. C’est à nous à le faire » (professeur 1er BAC)

9. Quel partage des rôles entre secondaire et université ? • « Je pense que, dans le secondaire, les élèves n’ont aucun intérêt, aucun désir de maîtriser les dérivées » (professeur d’université) • « Les élèves qui arrivent du secondaire ne réfléchissent pas : ils appliquent des procédures » (professeur d’université) • « On nous dit qu’il faut évaluer selon trois compétences : connaître, appliquer et résoudre des problèmes. Mais, il vaut mieux mettre le maximum de points pour la deuxième rubrique si l’on veut ne pas avoir trop d’échecs » (professeur du secondaire) • « Tout ce qu’on nous demande, c’est de préparer les élèves à bien calculer pour la suite » (professeur du secondaire)

10. Quel partage entre futurs mathématiciens et futurs « utilisateurs » de mathématiques ? Exemple : étude des limites proposée par J. Stewart dans le cadre d’un cours de « mathématiques générales » : • Un aperçu du calcul différentiel et intégral • Le problème de l’aire • Le problème de la tangente • La vitesse • La limite d’une suite (paradoxe de Zénon) • La somme d’une série • Les limites et dérivées • Les problèmes de tangente et de vitesse • La limite d’une fonction

11. Quel partage entre futurs mathématiciens et futurs « utilisateurs » de mathématiques ? • Faut-il dépasser le 1er niveau d’étude avec de futurs « utilisateurs » de mathématiques ? • Avec lesquels et en quelles circonstances ?