N umerical A nalysis F inal Exam

1. Numerical AnalysisFinal Exam 환경공학과 20031447 이강석

2. 1. 다음의 3차원 연립방정식의 해를 Gauss의 단순소거법, Gauss-Jodan법, LU 분해법의 세가지 방법으로 구하라. • Gauss 의 단순소거법전진 소거 : 두 번째식에서 첫 번째 식의 1/2 배를 빼면 (1) 세 번째식에서 첫 번째 식의 2 배를 빼면 (2) 식 (2)부터 식 (1)의 7/3 배를 빼면 (3) 후진 대입 : 식 (3)으로부터 을 구하면

3. 이것을 (1)에 대입하고 을 구하면 이것을 첫 번째 식에 대입하여 해 : • Gauss-Jordan 행렬식으로 표현 제 1단계 : 계수 행렬의 제1열의 대각 요소만 1로 하고 이외는 0으로 한다. 이 때문에, 제1행을 1/2배

4. 제2행-제1행, 제3행-4×제1행을 계산 제 2 단계 : 계수 행렬의 제2열의 대각 요소만 1로 하고 이외는 0으로 한다. 이 때문에, 제2행을 -1/3배 제1행-2×제2행, 제3행-(-7)×제2행을 계산 제 3 단계 : 계수 행렬의 제3열의 대각 요소만 1로 하고 이외는 0으로 한다. 이 때문에, 제3행을 -3/56배

5. 제1행-(13/3)×제3행, 제2행-(-2/3)×제3행을 계산 해 :

6. 2. 다음의 연립 1차 방정식을 초기값 x=0, y=0로서 Jacobi법 및 Gauss-Seidel의 2가지 방법으로 구하라. • Jacobi 법 제 1 식으로부터 제 2 식으로부터 계산 결과는 표 실제값은 이고, 어느 쪽이든 실제값에 수렴

7. 계산결과

8. Gauss- Seidel 제 1 식으로부터 제 2 식으로부터 계산 결과는 표 실제값은 이며, 양 쪽 모두 Jacobi법보다 적은 계산 횟수로 실제값에 수렴 계산결과

9. 3. LU분해법의 소거법에 따라 다음의 행렬식을 구하라. • LU분해법 LU분해하면 LY=I의관계로부터 X를제 n행부터 순서대로 구하면 이것이 A의 역행렬이다.

10. 4. 다음 행렬의 역행렬을 구하라. Pivot의 선택 후제 2 행과 제 1 행을 교환 우변의 (제 2 행 - 제 1 행*(1/4))과 (제 3 행 - 제 1 행*(1/2))로부터 우변의(제 3 행 - 제 2 행*(2/3))로부터

11. 5. 선형보간법에 있어서 내삽과 외삽의 알고리즘을 그림을 그려서 설명하라. 실험 자료 가 주어진 경우, 그 자료 점들을 유연하게 연결하여, 그 중간의 점이나 구간 이외의 점을 구해야 할 경우가 있다. 구간 내에서 주어진 점 이외의 함수값을 구하는 것을 내삽한다 (interpolate) 또는 보간한다고 하며, 가 그 구간 이외인 경우는 외삽한다 (extrapolate)라고 한다. 선형보간(linear interpolation)법이란 의 곡선상의 두 점이 주어진 경우, 임의의 점 x에 대해서는 의 근사값 를, 이 두 점을 직선으로 연결된 x의 1차 함수로서 구하는 방법이다.

12. 두 점을 맺는 직선은 으로 나타내어지므로, 이것을 y에 관하여 풀고, 라고 놓으면 로 쓸 수 있다. 또한, 선형보간은 1차보간이라고도 한다.

13. 6. 함수 y=sinx의 구간[0,1]을 0.2마다 선형보간하여 구하라. 단, x=0인 경우 y=0이며, x=1인 경우 y=0.017452406 이다. 선형보간 공식은 이다. 표에 실제값과 보간값을 보여 준다.

14. 7. 자기회기이동평균모형(Autoregressive Moving Average) 모형에서는 장래 예측치를 다음과 같이 표현한다.선형 1차 모형만 고려하면 다음과 같다.최소자승법을 사용하여 위 식의 파라미터를 구하여라. 위의 식에서 계수를 추정하기 위하여 최소자승법을 적용하면 다음과 같다. 위의 함수의 최소값을 구하기 위하여 극점을 취한다(도함수가 0가 되는 점).

15. 위의 식을 다음과 같은 연립방정식으로 정리한다. 위의 연립방정식의 해 자기상관계수(Autocorrelation coefficient)는 다음과 같이 계산

16. 따라서, 추정된 계수는 자기상관계수를 이용하여 다음과 같이 표현 시계열 모형은 다음의 식으로 표현 여기서, tr은 정규분포에 대한 임의(확률) 숫자 (Random Number)이다.

17. 8. 을 사다리꼴 공식과 Sympson 공식으로 계산하고, 실제값과 비교하라. 단, 세분 폭은 h=0.1이라고 한다. 따라서, 의값은

18. 사다리꼴 공식 Sympson의 공식으로는 실제값은 이다. 사다리꼴 공식의 오차 Sympson 공식의 오차

19. 9. Euler, 수정된 Euler 알고리즘을 그림을 이용하여 유도하라. 이러한 개념을 이용하여 Runge-Kutta, Adams- Bashforth, Adams-Moulton Methods의 알고리즘을 설명하라. (1) • Euler 식 (1)의 우변의 적분을 폭 h, 높이 의 구형의 면적으로 근사 위 식으로부터 의 순서로 를 계산할 수 있다. 이 방법을 Euler법 이라고 한다. 1차까지의 Taylor 전개법의 공식과 일치

20. 수정된 Euler법 식 (1)의 우변 제 2항의 적분을 사다리꼴 공식으로 근사 위 식의 우변에는, 계산되지 않은 이 포함되어 있기 때문에, 이대로는 계산할 수 없다. 그래서, 우변의 을 Euler법으로 예측(근사)하고, 예측된 값을 위 식의 우변에 대입 이 방법을 수정된 Euler법이라고 한다. 수정된 Euler법은, 다음에 서술하는 2차까지의 Taylor 전개법과 같다. 함수 의 2차까지의 Taylor 전개는 여기에서 x, y에 대한 f의 편미분을 각각 라 하면

21. 위의 관계를 대입 의 1차까지의 Taylor 전개(Euler법)는 가 된다. 이 식은 앞에 구한 식과 일치하고 있다. 따라서, 수정된 Euler법과 2차까지의 Taylor 전개는 같다고 할 수 있다. 이것으로부터, 수정된 Euler법 에 따른 절단 오차는 이라고 할 수 있다.

22. Runge-Kutta법 초기값 문제의 해법으로서 4차의 Runge-Kutta법 (단지 Runge-Kutta법 이라고 부르는 경우가 많다)은, 가장 자주 이용되기는 하나, 다음의 1개 공식으 로 계산한다. 단, 이 Runge-Kutta법은, 수정된 Euler법의 경우와 마찬가지로 전개에 의해 4차까지의 Taylor 전개법과 같은 것을 보여 줄 수 있다. 따라서, 절단 오차는 이 된다. 이 방법은, 를 4회 계산하여야 하지만, 계산 정밀도가 좋으므로 폭넓게 이용되고 있다.

23. Adams-Bashforth법 이 방법은, 과거 어떤 점이나 의 값을 이용(적분을 면적으로 평가함. h*f)하고 구간 의 f의 값을 외삽하여 식 (9.3)에 대입하는 방법이다. 단법에서는 의 값을 이용하여 (9.16) 의 공식으로 계산한다. 여기에서 이다. 그 예로서 2단법을 고려해보자. 2단법에서는, 구간 의 f의 값을 와 의 두 점을 통과하는 직선

24. 로부터 외삽 식(9.3)에 대입 적분 균등 공간 간격을 사용할 경우 로 변환 (9.17) 을 얻는다.

25. 단()법에 있어서도 차 보간다항식으로부터 동일한 형태로 유도하는 것이 가능하고, 공식의 계수 는 표 9.1이 된다. 국소 절단 오차는 이다. 이 공식은 을 포함하지 않는 양의 공식이므로, 예측자로서 이용된다. • 표 9.1 Adams-Bashforth법의 계수

26. Adams-Moulton법 이 방법은 구간 의 f의 값을 까지의 값을 이용하여 내삽하고 식 (9.3)에 대입하는 방법이다. 단법에서는 (9.18) 의 공식으로 나타낸다. 그 예로서 2단법을 생각해 보자. 2단법에서는 와 의 값으로부터 구간 의 f의 값을 과 두 점을 통과하는 직선으로 내삽한다. 이 식을 식 (9.3)에 대입하여 적분하기 위하여 좌표계를 다음과 같이 변환한다. 따라서,(9.19)을 얻는다.

27. 단 법에 있어서도 같은 방법으로 유도하는 것이 가능하고, 공식의 계수 는 표 9.2가 된다. 국소 절단 오차는 이다. 이 공식 은 의 계산에 을 포함하는 음의 공식이므로, 의 계산에는 예측자에서 구해진 값 을 대입 하여, 의 값 을 계산한다. 이후는 이 을 로 치환해서 다시 공식에 대입하여 의 값 을 계산한다. 이것을 의 값이 수렴할 때까지, 즉 (9.20) 을 만족시킬 때까지, 혹은 최대 반복 회수 가 될 때까지 반복 계산한다. 보통은 2, 3회 반복하고 수렴한다. 이처럼, Adams-Moulton법은 수정자로서 이용된다. 또한, 실제로 단의 Adams-Moulton법을 이용할 때, 초기 의 값이 필요하다. 이들은, 「Starter」라고 불리는 양의 공식의 프로그램을 이용하여 계산한다. Starter에는 수정된 Euler법이나 Runge-Kutta법 등이 이용된다.

28. 표 9.2 Adams-Moulton법의 계수

29. < Adams-Moulton법의 계산 순서 (3단법) > 1) 주 프로그램 단계 1 자료의 입력 해의 수 , 초기값 , 최종값 , 수정자 공식의 최대 반복 회수 , 수렴 판정 정수 의 입력 단계 2 세분 폭 의 계산 단계 3 Adams-Moulton법의 계산 (모듈의 호출) 단계 4 계산 결과의 출력 2) Adams-Moulton법의 모듈 단계 1 Starter(Runge-Kutta법)에 따른 계산(모듈의 호출) 의 계산 단계 2 반복 계산 2.1 예측자 공식의 계산 2.1.1 2.1.2 2.1.3

30. 2.2 수정자 공식의 반복 계산 2.2.1 2.2.2 2.2.3 이라면 단계 2로 간다 2.2.4 3) 미분 함수 정의의 모듈 프로그램 Adams-Moulton법의 프로그램 예를 프로그램 F9.3과 프로그램 C9.3에 나타내었다. 미분 함수 정의의 모듈은 생략하였다. 3단 이외의 단법인 경우는 Adams-Moulton법 모듈의 단계 1에 있어서 까지 구하여, 단계 2.1.3의 예측자 공식과 단계 2.2.2의 수정자 공식을 변경하면 된다.

31. 10. 다음의 상미분 방정식을 세분 폭 h=0.1으로 x=0.5까지 Euler법, 수정된 Euler법, Runge-Kutta법으로 구하라. • Euler법으로 계산 근사값으로서 1.61051을 구함 이 상미분 방정식의 해석해는 이다. 에서의 절대값오차

32. Runge-Kutta법으로 계산 을 초기값으로 하여 이 계산을 반복 이 상미분 방정식의 해석해는 이다, 에서의 절대값오차 수정된 Euler법보다 정밀도가 좋다.

33. 수정된 Euler법으로 계산 이 상미분 방정식의 해석해는 이다. 에서의 절대값오차 Euler법보다 정밀도가 좋다.

34. 11. 의의 문제의 상미분 방정식을 3단의 Adams-Bashforth법 및 Adams-Moulton법으로 구하라. 단, 수정자 공식의 최대 반복 회수를 , 수렴 판정 정수를 이라고 한다. Adams-Moulton 계산값 : 실제값과 비교한 오차 :

36. 감사합니다.