热学 （ Heat ）

1. 热学（Heat） • 热学是研究与热现象有关的规律的科学。 • 热现象是物质中大量分子无规则运动的集体表现。 • 大量分子的无规则运动称为热运动。

2. 热学的研究方法： • 1.宏观法. 最基本的实验规律逻辑推理(运用数学) ------称为热力学。 优点：可靠、普遍。 缺点：未揭示微观本质。 • 2.微观法. 物质的微观结构 + 统计方法 ------称为统计力学 其初级理论称为气体分子运动论 优点：揭示了热现象的微观本质。 缺点：可靠性、普遍性差。 • 宏观法与微观法相辅相成。

3. 第六章 气体分子运动论 (Kinetic theory of gases) §6.1 宏观和微观 §6.2 理想气体的压强与温度 §6.3 能量均分定理 §6.4 麦克斯韦速率分布律 退 出

4. 2. 微观量(microscopic quantity) 描述系统内微观粒子的物理量。 如分子的质量m、 直径 d 、速度 v、动量p、能量等。 微观量与宏观量有一定的内在联系。 例如，气体的压强是大量分子撞击器壁的平均效果， 它与大量分子对器壁的冲力的平均值有关。 §6.1 宏观和微观 对热力学系统的两种描述方法： 一、宏观量与微观量 1. 宏观量(macroscopic quantity) 从整体上描述系统的状态量，这些量反映了大量分 子的集体特性，一般可以直接测量。 如 M、V、 E、 P、T等 上页 返回 下页 退出

5. 二、平衡态(equilibrium state) 在不受外界影响的条件下，系统的宏观性质不随时间改变的状态，称为平衡态。 平衡态是一个理想化模型，我们主要研究平衡态的热学规律。 • 动态平衡：处在平衡态的大量分子仍在作热运动，而且因为碰撞， 每个分子的速度经常在变，但是系统的宏观量不随时间 改变。这称为动态平衡。 上页 返回 下页 退出

6. 三、理想气体状态方程 说明 对质量为m的理想气体 其中 ＝m/M —气体的摩尔数，M —摩尔质量，R＝8.31J/（mol·K）—气体常数 摄氏温度 t与理想气体温度 T的关系 t=T-273.16 • 与通常状态相比，在压强不太大和温度不太低时，常见气体服从此方程。 • 气体越稀薄，精度越高。 上页 返回 下页 退出

7. §6.2 理想气体的压强与温度 一.微观模型 1. 对单个分子的力学性质的假设 • 分子当作质点，不占体积； • （因为分子的线度<<分子间的平均距离） • 分子之间除碰撞的瞬间外，无相互作用力。 • （忽略重力） • 分子之间及分子与器壁之间为弹性碰撞 • 服从牛顿力学 • 分子数目太多，无法解这么多的联立方程。即使能解也无用，因为碰撞太频繁，运动情况瞬息万变，必须用统计的方法来研究。 上页 返回 下页 退出

8. 2. 对大量分子集体的统计假设  平衡态时分子按位置的分布是均匀的， 即分子数密度到处一样，不受重力影响；  平衡态时分子的速度按方向的分布是各向均匀的 上页 返回 下页 退出

9. 分子在 x 方向的平均速度： 由于分子沿 x轴正向和 x轴负向的运动概率是相同的，因此，在 x方向上分子的平均速度为 0 。 同样有 分子速度在x方向的方均值： 上页 返回 下页 退出

10. 同理，分子速度在y、z方向的方均值： 由于分子在x、y、z三个方向上没有哪个方向的运动占优势，所以，分子的三个速度方均值相等。 上页 返回 下页 退出

11. 由矢量合成法则，分子速度的方均值为： 则 上页 返回 下页 退出

12. 三、理想气体压强公式的推导 压强是由于大量气体分子对容器壁碰撞的结果。一个分子对器壁的冲力很小，大量分子的冲力就是宏观的压力 例如：篮球充气后，球内产生压强，是由大量气体分子对球壁碰撞的结果。 压强公式解释了宏观的压强与微观的气体分子运动之间的关系。 上页 返回 下页 退出

13. 设长方形容器的边长分别为 x、y、z。体积为 V，其内有N 个分子，分子的质量为m ，视为弹性小球，速度为 v 。 分子数密度n：单位体积内的分子数。 上页 返回 下页 退出

14. 1.跟踪一个分子，某一时刻的速度 v 在 x方向的分量为vx。 则有 2.分子以vx向A1面碰撞，并以 -vx 弹回，分子受A1面的冲量 上页 返回 下页 退出

15. 由牛顿第三定律，A1面受到分子的冲量为 3.分子与A2面发生碰撞后，又与A1面发生碰撞，相继两次对A1面碰撞所用的时间： 单位时间内对A1面的碰撞次数为： 上页 返回 下页 退出

16. 4.单位时间一个分子对A1面的冲量（即平均冲力）为：4.单位时间一个分子对A1面的冲量（即平均冲力）为： 5.容器内N个分子对器壁的平均冲力为： 6.A1面受到的压强为： 上页 返回 下页 退出

17. 体积V为： 则压强 上下同乘 N 得 由 和 压强公式： 上页 返回 下页 退出

18. 定义分子平均平动动能： 压强公式又可表示为： 上页 返回 下页 退出

19. ※注意几点 1.压强是由于大量气体分子碰撞器壁产生的，它是对大量分子统计平均的结果。对单个分子无压强的概念。 2.压强公式建立起宏观量压强 P 与微观气体分子运动之间的关系。 分子数密度越大，压强越大； 3. 分子运动得越激烈，压强越大。 上页 返回 下页 退出

20. 3 w = kT 2 三．理想气体的温度和分子平均平动动能 k=1.3810 -23 J/K： 玻尔兹曼常数 平均平动动能只与温度有关 理想气体的温度公式 上页 返回 下页 退出

21. o 0 C 例1.在 时，   3 8 . 31 273 = = 2 v 1836 m / s H 分子 -  3 2 2 . 02 10   3 8 . 31 273 3kT 3RT = = 2 v 461 m / s O 分子 = = -  3 2 32 10  v2 m 1 温度是统计概念，只能用于大量分子； 2 温度标志物体内部分子无规运动的剧烈程度。 有方均根速率 上页 返回 下页 退出

22. 例1.处于平衡状态的 A、B、C 三种理想气体,储存在一密闭的容器内 , A 种气体分子数密度为n1,其压力为 P1 , B 种气体的分子数密度为 2n1 , C 种气体的分子数密度为 3n1 ,则混合气体压强为: （A） 6P1（B）5 P1 （C） 3P1（D）2 P1 [ A ] 上页 返回 下页 退出

23. 例2.按 PV 2 = 恒量 规律膨胀的理想气体,膨胀后的温度为: （A）升高; （B）不变 ; （C）降低; （D）无法确定. [ C ] 例3.一瓶氦气 He 和一瓶氮气 N2 密度相同,分子平均平动动能相同,而且都处于平衡状态,则它们： [C ] （A）温度相同、压强相同。 （B）温度、压强都不同。 （C）温度相同,但氦气的压强大于氮气的压强。 （D）温度相同,但氦气的压强小于氮气的压强。

24. 例4： 贮于体积为10-3 m3容器中某种气体，气体总数N=1023，每个分子的质量为5×10-26 kg，分子方均根速率为400m/S。求气体的压强和气体分子的总平动动能以及气体的温度。 解：由压强公式 代入数值，得： 上页 返回 下页 退出

25. 气体分子的总平动动能为： 由: 得气体的温度: 上页 返回 下页 退出

26. §6.3 能量均分定理 研究气体的能量时，气体分子不能再看成质点，微观模型要修改，因为分子有平动动能，还有转动动能，振动动能。 自由度：确定一个物体的空间位置 所需要的独立坐标数目。 单原子分子（He，Ar） 刚性双原子分子（H2，O2）： 刚性多原子分子（H2O）： 上页 返回 下页 退出

27. E = mvx2 + mvy2 + mvz2 1 1 1 1 1 平均动能 = 3  kT 每个平动自由度分配平均能 kT 2 2 2 2 2 一、 能量均分定理 由理想气体模型 单原子分子： 能量均分定理：在绝对温度 T 时的平衡态下，物质 分子的任何一个自由度上均分配有 kT/2的平均能量 。 上页 返回 下页 退出

28. 单原子分子（He，Ar）： 刚性双原子分子（H2，O2）： 刚性多原子分子（H2O）： 上页 返回 下页 退出

29. 二．理想气体的内能(Internal energy) 1．内能:分子动能，分子中原子间的势能和分子间势能的总和 2．理想气体内能 l分子间势能为零，内能只包括分子的平动，转动，振动动能和振动势能 l内能只与T有关。若气体有N个分子, 则 其中N为气体的分子总数 上页 返回 下页 退出

30. 说明 1．理想气体内能完全由分子的自由度i和热力学温度T决定，与P、V无关。 2．理想气体内能是温度的单值函数，也是理想气体状态的单值函数。 3．理想气体内能是描述气体系统宏观状态的物理量。 4．理想气体内能不同于力学中的机械能。 例6．0℃时，分别求1mol的He、H2、O2、CH4、Cl2、CO2的内能。温度升高1K时，内能分别增加多少？ 解： 1mol理想气体的内能 单原子分子（He）： 上页 返回 下页 退出

31. 双原子分子（H2，Cl2，O2）： 多原子分子（CH4，CO2）： 温度升高⊿T时，内能增量为： 单原子分子： 双原子分子： 多原子分子： 上页 返回 下页 退出

32. 则 dNv = f(v) Ndv § 6.4 麦克斯韦速率分布律 单个分子速率不可预知，大量分子的速率分布是遵循统计规律，是确定的，这个规律也叫麦克斯韦速率分布律。 速率分布函数：按统计假设分子速率通过碰撞不断改变，不好说正处于哪个速率的分子数多少，但用某一速率区间内分子数占总分子数的比例为多少的概念比较合适，这就是分子按速率的分布。 设总分子数N，速率区间 v ~ v+dv，该区间内分子数 dNv 速率分布函数 速率 v 附近单位速率区间内 分子数占总分子数的百分比。 上页 返回 下页 退出

33. 3/2 m 2 f(v)= 4 v2e -m v /2kT 2 kT f(v) dNV 面积= f(vp) N vp v v+dv v  显然  f(v)dv=1 归一化条件 0 麦克斯韦速率分布函数 上页 返回 下页 退出

34. f(v) f(vp1) T1 T2 f(vp2) T3 f(vp3) vp v 2kT 2RT vp = = m  • 最可几速率vp • （The most probable speed) f `(v) = 0 温度越高，速率大的分子数越多 不要问速率刚好等于某一值的分子数多少，没有意义。 上页 返回 下页 退出

35. N   vi v = N =  vdNv / N =  v f(v)dv i 0 8kT 8RT v = =  m   N   v 2i v2 = N =  v 2dNv / N =  v2 f(v)dv i 0 3kT 3RT v2 = 3kT/m = v2 = m  2 平均速率 （average speed） 3 方均根速率(root-mean-square speed) 方均根速率最大，平均速率次之，最可几速率最小。 上页 返回 下页 退出