APPUNTI DI MATEMATICA schema degli appunti

1. APPUNTI DI MATEMATICAschema degli appunti

2. MENU • Numeri • Polinomi • Frazioni algebriche • Equazioni • Sistemi • Disequazioni • Geometria

3. 1. NUMERI • Insiemi numerici • Criteri di divisibilità • Addizione • Sottrazione • Moltiplicazione • Divisione • Potenza • Radice MENU

4. INSIEMI NUMERICI • Naturali ℕ={0,1,2,3,4…} • Interi ℤ={…-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3…} • Razionali ℚ={interi, decimali finiti, decimali illimitati periodici} ℚ={x|x=p/q, p∈ℤe q∈ℕ*} • Reali ℝ={razionali, irrazionali} (irrazionali: decimali illimitati non periodici) • Complessi ℂ={reali, i} i=√-1 unità immaginaria

5. “+” positivi “-” negativi es. ℤ-={-1,-2,-3…} “*” escluso lo zero es. ℤ*={…-3,-2,-1,+1,+2,+3…} “a” assoluti es. ℤa={0,1,2,3…}=ℕ “0” con l’aggiunta dello zero es. ℤ-o={0,-1,-2,-3…}

6. CRITERI DI DIVISIBILITA’ 2: ultima cifra multipla di 2 (0,2,4,6,8) 5: ultima cifra multipla di 5 (0,5) 4: ultime due cifre multiplo di 4 (00,04,16,52,76…sono 25) 25: ultime due cifre multiplo di 25 (00,25,50,75) 8: ultime tre cifre multiplo di 8 (000,432,520…sono 125) 125: ultime tre cifre multiplo di 125 (000,125,250,375,500,625,750,875)

7. 3: somma delle cifre multiplo di 3 (357,84…) 9: somma delle cifre multiplo di 9 (927,801…) 11: la differenza tra la somma delle cifre di posto pari con la somma delle cifre di posto dispari, multiplo di 11 (71533…) Nota: 7 e 13 esiste ma non è utilizzata

8. ADDIZIONE • Operazione interna • Commutativa • Associativa • Esiste 0 elemento neutro • Esiste il simmetrico di a: -a (opposto)

9. SOTTRAZIONE • Invariantiva: se si somma o si sottrae uno stesso numero sia al minuendo che al sottraendo, la differenza non cambia

10. MOLTIPLICAZIONE • Operazione interna • Commutativa • Associativa • Distributiva rispetto all’addizione e alla sottrazione • Esiste 1 elemento neutro • Esiste il simmetrico di a (se a≠0): 1/a (reciproco) • Esiste 0 elemento assorbente • Legge di annullamento del prodotto

11. DIVISIONE • Invariantiva: se si moltiplicano o si dividono sia il dividendo che il divisore per uno stesso numero diverso da zero, il quoziente non cambia mentre il resto se c’è viene moltiplicato o diviso per lo stesso numero • Distributiva (solo da una parte) MENU

12. POTENZA • Definizioni • Proprietà • Note

13. DEFINIZIONI an a base n esponente an potenza n∈ℤ se n=0 e a≠0: a0 = 1 se n=1: a1 = a se n≥2: an = a∙a∙a∙ ∙ ∙a (n volte) se n<0 e a≠0: an = (1/a)-n se n=0 e a=0: 00 indeterminata n∈ℚ se n=p/q e q≠0: an = q√ap

14. PROPRIETA’ • Il prodotto di due o più potenze con ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti • Il quoziente di due potenze con ugual base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti

15. Il prodotto di due o più potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione: la potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze dei singoli fattori. • Il quoziente di due potenze con ugual esponente è una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente Oppure Proprietà distributiva della potenza rispetto alla divisione: la potenza di un quoziente è uguale al quoziente delle potenze del dividendo e del divisore

16. La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti

17. NOTE • In una espressione si applicano prima le proprietà delle potenze o si calcolano con la definizione, poi si eseguono le moltiplicazioni e le divisioni, così come si presentano, e infine le addizioni e le sottrazioni Se nelle espressioni ci sono delle parentesi bisogna cominciare a risolvere da quelle più interne

18. Le proprietà delle potenze sovvertono le priorità delle operazioni. Bisogna dare sempre la precedenza alle proprietà piuttosto che alle definizioni • Se non c’è la parentesi l’esponente è riferito solo al numero immediatamente alla sua sinistra • Una potenza con esponente pari è sempre positiva; una potenza con esponente dispari conserva il segno della base

19. RADICE • Definizioni • Proprietà • Note

20. DEFINIZIONI n√a a radicando n indice n√a radicale n√a = b se e solo se bn = a • a,b∈ℝ n∈ℕ* radicali algebrici • a,b∈ℝa n∈ℕ* radicali aritmetici

21. se n=0: 0√a priva di significato • se n=1: 1√a= a • se n=2: 2√a=√a radice “quadrata” • se n=3: 3√a radice “cubica” • se n>0: n√0=0

22. PROPRIETA’ • Proprietà invariantiva: il valore di un radicale aritmetico non cambia se si moltiplicano o si dividono l’indice della radice e l’esponente del radicando per uno stesso numero naturale diverso da 0 • Il prodotto di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il prodotto dei radicandi Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto alla moltiplicazione: la radice di un prodotto è uguale al prodotto dei singoli radicali

23. Il quoziente di due o più radicali aventi lo stesso indice è un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando il quoziente dei radicandi Oppure Proprietà distributiva della radice rispetto alla divisione: la radice di un quoziente è uguale al quoziente dei singoli radicali • La potenza di un radicale è uguale a un radicale che ha per indice lo stesso indice e per radicando la potenza del radicando • La radice di una radice è una radice che ha per indice il prodotto degli indici e per radicando lo stesso radicando

24. NOTE • Sviluppare l’espressione “sotto” radice Lavorare “con” il radicale Operare “tra” i radicali • Non si lasciano radici al denominatore e denominatori sotto radice MENU

25. 2. POLINOMI • Prodotti notevoli • Divisioni • Scomposizioni MENU

26. PRODOTTI NOTEVOLI • Prodotto somma per differenza (A+B)(A-B)=A2-B2 • Quadrato di binomio (A+B)2=A2+2AB+B2 • Quadrato di trinomio (A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC • Cubo di binomio (A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

27. Prodotto somma (differenza) per il suo falso quadrato (A+B)(A2-AB+B2)=A3+B3 (A-B)(A2+AB+B2)=A3-B3 • Potenza di binomio il polinomio consta di n+1 termini, ciascuno è il prodotto del coefficiente (preso dal triangolo di Tartaglia) per le potenze decrescenti del primo termine (da n a 0) per le potenze crescenti del secondo (da 0 a n)

28. DIVISIONI • Divisione tra due polinomi • Divisione con la regola di Ruffini

29. DIVISIONE TRA DUE POLINOMI • Il dividendo deve essere ordinato e completo • Il divisore ordinato • Il grado del quoziente è uguale alla differenza dei gradi del dividendo e del divisore • Il grado del resto è minore del grado del divisore • La divisione termina quando il grado del resto diventa minore del grado del divisore • Prova B.Q+R=A A dividendo B divisore Q quoziente R resto

30. DIVISIONE CON RUFFINI • Il dividendo A(x) deve essere ordinato e completo • Il divisore (x-a) deve essere un binomio ordinato di primo grado con il primo coefficiente uguale a 1 • Il resto R è un termine di grado 0 • Nella regola di Ruffini si utilizzano solo i coefficienti • Teorema del resto: R=A(a) (il resto è il valore che il dividendo assume in a, cioè il valore che si ottiene sostituendo “a” al posto di “x”) • Se il primo coefficiente non è 1 è possibile effettuare la divisione con Ruffini dopo averla opportunamente modificata applicando la proprietà invariantiva

31. SCOMPOSIZIONI • Definizioni • Uso

32. DEFINIZIONI • Raccoglimento a fattor comune AM+BM+CM=M(A+B+C) Regola. Si individua il MCD; si mette in evidenza e si moltiplica per il polinomio ottenuto divedendo ciascun termine per il MCD. È l’inverso della proprietà invariantiva. • Raccoglimenti successivi AM+BM+AN+BN=M(A+B)+N(A+B)=(A+B)(M+N) Regola. Si effettua quando non è possibile raccogliere a fattor comune ma solo a 2 a 2 oppure a 3 a 3. Ci deve essere un numero pari di termini o 9. Il secondo passaggio è sempre il raccoglimento a fattor comune.

33. Differenza di due quadrati A2-B2 =(A+B)(A-B) Regola. Si moltiplica la somma delle basi per la loro differenza. • Trinomio quadrato di binomio A2+2AB+B2=(A+B)2 • Quadrinomio cubo di binomio A3+3A2B+3AB2+B3=(A+B)3 • Polinomio quadrato di trinomio A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC=(A+B+C)2

34. Somma o differenza di due cubi A3+B3=(A+B)(A2-AB+B2) A3-B3=(A-B)(A2+AB+B2) • Trinomio notevole X2+(A+B)X+AB=(X+A)(X+B) Regola. È un trinomio ordinato in cui il primo termine ha grado doppio del secondo e il terzo è noto. Il primo coefficiente è 1; il secondo è la somma di due termini e il terzo è il prodotto degli stessi.

35. Ruffini. Si applica in presenza di un polinomio ordinato. E’ la prova di una divisione di cui si conosce solo il dividendo A(x) (il polinomio da scomporre); il divisore (x-a) si cerca per tentativi; il quoziente Q(x) si trova con la regola di Ruffini; il resto R deve essere zero. prova: A(x)=Q(x)(x-a)+R, R=0 a: si cerca tra i divisori del termine noto o tra le frazioni aventi al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del primo coefficiente in modo che R=0

36. USO • Due termini: - raccoglimento a fattor comune - differenza di due quadrati - somma o differenza di due cubi - Ruffini • Tre termini: - raccoglimento a fattor comune - trinomio quadrato di binomio - trinomio notevole - Ruffini

37. NOTE • Se ci sono delle frazioni spesso conviene fare il denominatore comune e poi scomporre il numeratore • Si raccoglie il primo segno che si incontra • Le parentesi quadre diventano tonde e le tonde si eliminano facendo i calcoli • Per iniziare e per finire una scomposizione è necessario scomporre i polinomi dentro le parentesi

38. Quattro termini: - raccoglimento a fattor comune - raccoglimenti successivi - quadrinomio cubo di binomio - misto - Ruffini • Cinque o più termini: - raccoglimento a fattor comune - raccoglimenti successivi (solo con sei, otto, nove termini …) - polinomio quadrato di trinomio - misto - Ruffini MENU

39. 3. FRAZIONI ALGEBRICHE • Semplificazione • Moltiplicazione e divisione • Potenza • Somma algebrica • Sviluppo espressioni • Espressioni frazionarie • Espressioni con i radicali MENU

40. SEMPLIFICAZIONE • Scomporre il numeratore e il denominatore • Individuare il dominio della frazione (cioè escludere quei valori che annullano ciascun fattore del denominatore: C.E. condizioni di esistenza) • Semplificare i fattori

41. MOLTIPLICAZIONE E DIVISIONE • Scomporre tutti i numeratori e tutti i denominatori • Individuare il dominio della frazione (…) • Semplificare un qualsiasi fattore al numeratore con un qualsiasi fattore al denominatore

42. POTENZA • Scomporre il numeratore e il denominatore • Indicare il dominio della frazione (…) • Semplificare • Applicare la proprietà distributiva della potenza rispetto alla moltiplicazione e alla divisione

43. SOMMA ALGEBRICA • Scomporre i denominatori “sotto” • Indicare il dominio della frazione (…) • Scomporre i numeratori “sopra” solo se si vede la possibilità di semplificare la frazione • Individuare il m.c.m. dei denominatori • Fare il denominatore comune • Fare i calcoli al numeratore • Scomporre il numeratore • Semplificare la frazione MENU

44. SVILUPPO ESPRESSIONI • Eseguire prima le operazioni dentro parentesi • Ordine delle operazioni: - potenze - moltiplicazioni e/o divisioni - somme e/o sottrazioni • Proprietà delle potenze e/o prodotti notevoli hanno la precedenza

45. ESPRESSIONI FRAZIONARIE • Sviluppare ogni espressione presente in ciascun numeratore e in ciascun denominatore • Moltiplicare il numeratore per il reciproco del denominatore • E’ possibile semplificare tra loro i numeratori o i denominatori prima del punto 2. se, scomposti, contengono fattori uguali

46. ESPRESSIONI CON I RADICALI • Sviluppare l’espressione “sotto” radice • Lavorare “con” il radicale • Operare “tra” i radicali N.B. Non si lasciano radici al denominatore e denominatori sotto radice MENU

47. 4. EQUAZIONI • Principi d’equivalenza • Equazioni lineari in una incognita • Equazioni fratte • Equazioni letterali • Equazioni di secondo grado • Equazioni parametriche • Equazioni di grado superiore al secondo • Equazioni irrazionali MENU

48. PRINCIPI D’EQUIVALENZA • 1° Principio dell’addizione: sommando o sottraendo ad entrambi i membri di una equazione lo stesso valore o espressione si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: a) principio del trasporto b) legge di cancellazione c) riduzione di un membro a zero P(x)=0

49. 2° Principio della moltiplicazione: moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una equazione per lo stesso valore o espressione diversi da zero si ottiene una equazione equivalente alla data. Conseguenze: a) cambiamento del segno b) moltiplicazione per un multiplo comune (eliminazione denominatori) c) divisione per un divisore comune (semplificazione termine a termine)

50. EQUAZIONI LINEARI IN UNA INCOGNITA • Una equazione in una sola incognita è di primo grado (o lineare) quando, in Forma Normale, si riduce ad un binomio di primo grado. In questo caso la F.N. assume tale aspetto: ax=b a≠0 a,b costanti x variabile a si dice coefficiente dell’incognita b si dice termine noto