Appunti di analisi matematica: Integrale Definito

1. Appunti di analisi matematica:Integrale Definito Il concetto d’integrale nasce per risolvere due classi di problemi: Integrale Indefinito • Problema inverso del calcolo della derivata: nota la derivata di una funzione calcolare la funzione stessa. • Applicato ad esempio alle equazioni differenziali • Calcolo delle aree di fig. delimitate da curve • Calcolo di volumi • Calcolo del lavoro di una forza • Calcolo dello spazio percorso ….. Integrale Definito

2. y C D A B x a Integrale Definito - Calcolo delle Aree • Area del Trapezoide Vogliamo calcolare l’area della figura mistilinea determinata dal diagramma di una funzione y = f(x) definita e continua nell’intervallo [a, b] b

3. y C D A B x a b Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base: h = (b – a)/n e altezza mi = al minimo della funzione in ognuno degli intervalli Possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli inscritti mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo inscritto Quindi: s =  (mi × h) È l’area del plurirettangolo inscritto mi h

4. y C D A B x a b Analogamente possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli circoscritti Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base h = (b – a)/n e altezza Mi = al massimo della funzione in ognuno degli intervalli Per determinare l’area S del plurirettangolo circoscritto: Mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo circoscritto Quindi S =  (Mi × h) È l’area del plurirettangolo circoscritto

5. y C D A B x a b L’area A del trapezoide sarà sempre compresa tra seS A s = areaRett.inscritti S = areaRett.circoscritti

6. Considerando un numero di rettangolini via via crescente avremo due successioni di aree: • plurirettangoli inscritti s1, s2, … sn, … • plurirettangoli circoscritti S1, S2, …Sn,… • che convergono all’area del trapezoide ABCD Aumentando il numero dei rettangoli l’approssimazione di S sarà sempre più precisa. Teorema. Se y = f(x) è continua e positiva in [a, b], allora le successioni delle aree s1, s2, … sn … e S1, S2, …Sn,… convergono allo stesso limite S uguale all’area del trapezoide ABCD

7. y C Mi D mi i A B x a b Possiamo quindi giungere al concetto d’integrale definito • Integrale Definito • Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], • Dividiamo l’intervallo [a, b] in n parti • Indichiamo con mi = min f(x) e con Mi = max f(x) nell’intervallino i-esimo di ampiezza h (*) ARettcirco. = Mih ARettinscr. = mih sn =AreaPluriRettinscr. =  mih Sn =AreaPluriRettcirco. =  Mih (*) mi edMiesistono sicuramente per il teorema di Weierstrass h

8. f(xi ) y C Mi D mi xi A B x a b Allora, indicando con f(xi ) il valore della funzione in un punto qualsiasi xi dell’intervallo i-esimo: Si ha:

9. f(xi) y C Mi D mi xi A B x a b Moltiplicando per h avremo che: Poiché per quanto visto Per il teorema del confronto avremo che anche :

10. Allora, possiamo dare la seguente definizione: Data la funzione y=f(x) continua in [a, b], si dice Integrale definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] il limite e si indica con

11. Proprietà dell’integrale L’integrale è un operatore lineare:

12. y C D A B x a b Integrale Definito - Proprietà Se y = f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] allora esiste almeno un punto c(a, b) tale che: • Teorema della Media f(c) Cioè esiste sempre un rettangolo di base AB e altezza uguale a f(c) avente la stessa area del rettangoloide. c

13. Funzione Primitiva Il calcolo dell’integrale come limite delle somme indicate, ancorchè possibile può essere (e nella maggior parte dei casi lo è) estremamente complesso e per nulla conveniente, occorre allora trovare un altro sistema per calcolarlo.

14. y f(x) C D A x B x a b Sia y = f(x) funzione continua nell’intervallo [a, b], consideriamo un punto x variabile (a, b) Al variare di x l’integrale è un’area compresa tra a e x e quindi variabile al variare di x, cioè è una funzione di x che indicheremo con F(x) e chiameremo funzione integrale Per calcolare quest’area ci serviamo di una particolare funzione detta funzione Integrale:

15. In particolare Se x = a se x = b La funzione integrale è caratterizzata dal seguente teorema fondamentale che ci fornirà il metodo per il calcolo dell’area: Teorema di Torricelli- Barrow Se y = f(x) è continua in [a, b] allora la funzione integrale è derivabile e risulta: F’(x) = f(x); cioè F(x) è una primitiva di f(x), cioè della funzione integrale calcolata nell’estremo superiore.

16. Consideriamo l’intervallino [x, x+h]: avremo y • Dim C D A B x x + h a b x L’incremento di F(x) (area del rettangoloide di base x, x+h) è:

17. semplificando Per il teorema della media esiste c nell’intervallo [x , x+h] tale che: Dividendo i termini per h: e, passando al limite per h  0,

18. Perché è proprio ? Non dimentichiamo che x < c < x+h per cui se h 0 c x Cioè la derivata di F(x) = f(x)

19. Ricordiamo che una funzione ammette infinite primitive che differiscono per una costante reale e costituiscono una famiglia di infinite curve ottenibili per traslazione secondo l’asse y. Se F(x) è una primitiva di f(x) allora anche G(x) = F(x) + c  c R è una primitiva di f(x) e quindi se F(x) e G(x) sono primitive di f(x) allora G(x) - F(x) = c

20. Integrale Definito - Proprietà Finalmente possiamo calcolare l’integrale definito • Calcolo dell’Integrale DefinitoFormula di Newton-Leibniz Considerando la funzione integrale avremo: e per x = a Da cui c =  G(a) e per x = b

21. Integrale Definito - Proprietà L’integrale definito di una funzione continua y=f(x), calcolato nell’intervallo [a, b], è uguale alla differenza tra i valori che una qualunque primitiva di f(x) assume agli estremi superiore e inferiore dell’intervallo d’integrazione. • Teorema fondamentale del calcolo integrale