2006 年度今井研研究室紹介

2006年度今井研研究室紹介 ２００６年６月３０日

今井研究室の研究テーマ 現実社会への応用未踏域への挑戦ゲーム理論交通流解析量子ゲームツリーサーチアルゴリズムの世界計算幾何ネットワーク計算代数グラフ理論組合せ論暗号理論離散・連続最適化メタヒューリスティックス計算量理論

博士論文(1) • 計算幾何 • アレンジメント再構成の組合せ論的複雑度評価（青木保一） • 特徴多様体上のクラスタリング問題について（稲葉真理） • リーマン計算幾何：凸包，ボロノイ図とデローネ型三角形分割（大西建輔） • 整数計画法による三角形分割の最適化（田島玲） • 三角形分割の組合せ論（竹内史比古） • 多面体的複体のシェリング向き付け：シェラビリティー判定と離散最適化の組合せ構造（森山園子） • 計算代数 • 単模およびLawrence型整数計画問題に対する計算代数的解析（石関隆幸） • 量子計算量 • 計算量的観点における量子計算モデルの計算能力（小林弘忠） • 資源制約下における量子計算モデルの計算能力（ルガルフランソワ） • エンタングルメントコストの解析とホレボ容量の計算（下野寿之） • 組合せゲーム理論 • AND/OR木探索アルゴリズムDf-pnの提案とその応用（長井歩）

博士論文(2) • ゲノム・文字列処理 • 部分文字列の性質に基づく計算機援用大規模生物実験設計（土井晃一郎） • 文書検索と圧縮の統合-接尾辞ソート、ブロックソート法、接尾辞配列-（定兼邦彦） • 生物配列情報の比較と検索のための高速なアルゴリズムの研究（渋谷哲朗） • グラフ理論 • Tutte多項式の計算アルゴリズムとその応用（関根京子） • リンクベースのWeb上情報発見手法の新しいフレームワーク（浅野泰仁） • ネットワーク • ネットワーク通信において通信品質を保証するアルゴリズム（古賀久志）

今井研の方針 研究について自分で考えること • 研究を独力で行うために • 研究の流行盛衰を把握し良いテーマを設定する • 外の世界と交流する • 世界の大学の人と共著を書いたり研究会に参加したり • 発表を行う能力を身につける • わかりやすい発表を心がけよう独りよがりでいいわけではない

研究室の活動 • セミナー • 週１回持ち回りで研究内容を発表 • 輪講 • 決まったテーマで論文、本を読む • FOCS,STOCセミナー • 中大と合同で最新の論文を読む

今井研の活動は内部に留まらない • 研究室内に留まらない活動 • 外部との交流も積極的に • 共同研究カナダ McGill大学のDavidAvis教授スイス ETH大学の KomeiFukuda教授 • 国際会議、研究会 • 論文誌への投稿 • 外部の研究施設 • ERATO 日経BPムック「変革する大学東京大学理学部」より

研究室環境 • 研究室 • 311号室、314号室（図書室の隣） • 個人用端末、机 • PCを購入予定 • 計算サーバ • プリンタ(カラー2台)とコピー機 • 発表用のノートPCとプロジェクタ３１１号室図書館前３１４号室

卒論で何をするか • まずテーマを決める • 自分のやりたいことは？ • 演習３を通じてなにか得たものがあったはず • それは”研究”になるものか？ • 誰の役に立つ？ • 皆が必要性をわかってくれる？ • 既存の研究を調べる • 誰もまだやっていないから意味がある • なぜ重要なのかを知る • 研究の流れを掴む • どこまでわかっていてどこからわかっていないのか？

10月　卒論研究室配属　　　テーマを決めよう10月　卒論研究室配属　　　テーマを決めよう 11月卒論中間発表１回目 12月　卒論中間発表２回目アブストラクト提出正月 1月　　卒論中間発表３回目 2月　卒論発表 3月　　最終提出卒論の時間は有限

関連研究の紹介 離散数学　有向マトロイド実現可能性判定ゲームツリーサーチ計算量理論・暗号理論　ゼロ知識証明ゲーム理論量子計算対話証明・隠れ部分群問題・量子ウォーク

今井研 研究紹介有向マトロイドの実現可能性判定とその応用中山裕貴（博士３年）森山園子（助手）

v6 v3 v5 v4 v2 v1 v6 y v5 z v3 v4 v2 v1 x 有向マトロイド vs. 幾何的表現？幾何的表現有向マトロイドランク：r , 要素数: n 次元：r , 要素数: n r 個の要素間の関係の情報のみ保持例： (r, n) = (3, 6) （符号への抽象化）有向マトロイドの実現可能性判定問題・幾何的表現が与えられた場合、対応する有向マトロイドは必ず存在・有向マトロイドに対応する幾何的表現は必ずしも存在しない・・・このギャップについて詳しい情報を得たい

有向マトロイドの実現可能性に関する定理 [Richter ‘88, Bokowski and Richter-Gebert ‘90] r = 4, n = 8なる有向マトロイドで、一様なものの総数は2628個あり、そのうち24個が実現不可能詳細（用いた手法など）は不明・・・数を知ったところで応用は難しい [Finschi ’01] による、有向マトロイドの列挙アルゴリズムの提案⇒ 有向マトロイドのデータベースが計算機実験に使用可能に組合せ的対象である有向マトロイドを通し、代数的性質・幾何的性質の間に新たな結び付けを与える・実現不可能な有向マトロイドの具体的な形が判明・一様でない有向マトロイドへの拡張が可能に・実現（不）可能性の十分条件となる手法について、　各手法間の有効性の比較が可能に代数的手法： BFP [Richter-Gebert ‘92], solvability sequence [Bokowski, Sturmfels ‘86] 幾何的手法： non-Euclidean [Edmonds, Fukuda ‘82], non-HK* [Moriyama, Fukuda, Okamoto ‘04], reducibility [Richter,Sturmfels ‘91]

(r, n) = (4, 8) での実現不可能な有向マトロイドの個数一様: χの値が常に 1or -1 #OM(4,8) = 181472 一様なもの 2628 非一様なもの 178844 (実現不可能 ??) 実現不可能 24 BFP 24 双二次最終多項式 3944 non-Euclidean 3444 non-Euclidean18 non-HK*18 non-HK*1364 non-Euclidean, non-HK(*): [Fukuda, Moriyama, Okamoto ‘04] BFP: [Nakayama, Moriyama, Fukuda, Okamoto ‘05] さらに、一般の(r, n)についてもnon-Euclidean ⊆ BFP [Fukuda, Moriyama, Nakayama ‘05]

(r, n) = (4, 8) での実現可能な有向マトロイドの個数 #OM(4,8) = 181472 一様なもの 2628 非一様なもの 178844 (実現可能 ??) 実現可能 2604 reducibility ?? reducibility 2593 solvabilitysequence 2337 solvability sequence ?? 3 reducibleでなく、solvability sequenceを持つものが３個存在（r =3の場合は必ず空）

ゲーム、パズル 美添

二人ゲーム、パズルに関連する研究テーマ • 探索アルゴリズム • αβ、証明数サーチなどの研究 • 評価関数の研究(学習など) • パズルの性質の研究 • ソルバーの開発 • 計算量の研究 • 組合せゲーム理論など

今井研究室の関連研究 • ゲームツリーサーチ • AND/OR木探索アルゴリズムDf-pnの提案とその応用(長井歩 2002) • “Searching for Double Threats in Subproblems of the Game of Go” (美添2005) • パズル/ゲームの計算量の解析 • “ぷよぷよの全消し判定問題はNP完全” (牟田 2005) • “Finding Yozume of Generalized Tsume-Shogi is Exptime-complete” (八登, 瀬田, 伊藤 2005) • “Complexity and Completeness of Finding Another Solution and Its Application to Puzzles” (八登, 瀬田 2003)

宣伝 • 「詰将棋についてはコンピュータが人間を完全に凌駕した」 • これは主にDFPN[長井 2002]によるものと言える • 長井はIS19期で、今井研のOB • 世界最強の詰碁ソルバーもDFPN-(r) [岸本 2005]がベース • 岸本もIS19期

研究の背景 : ゲームプレイングプログラム/コンピュータの強さ • チェッカー : CHINOOK (Jonathan Schaeffer) • 1992, 1994にTinsleyと対戦 • オセロ : Logistello (Michael Buro) • 1996に世界チャンピオン村上に勝利 • チェス : Deep Blue • 1997にKasparovに勝利 • 中国将棋 • チェスと将棋の中間の強さらしい • 将棋 :激指、 YSS 、IS将棋、Bonanza… • アマ五段クラス角落ちでプロ(勝又五段)に勝利 • アマ竜王戦ベスト16 (激指) • 囲碁 • 甘く見て、アマ初段

65 65 62 65 90 62 83 65 35 90 49 62 30 83 80 αβの基本 • mini-maxと同じ結果を返すことが保証される • αカット、βカットにより探索が省略される • 候補手が理想的な順番にソートされていれば、 • 探索ノード数は元のツリーのノード数のほぼsqrtになる • 2倍深く読める • [Knuth and Moore 1975] Max node Min node

αβの進歩 • 探索アルゴリズム自体の進歩 • PVS, MTD(f), … • 評価関数の研究 • 学習など • logistelloなどが有名

対αβ耐性(こんな言葉はありません、念のため)対αβ耐性(こんな言葉はありません、念のため) • αβにやられてしまったゲーム • チェッカー、オセロ、チェス、中国将棋、・・・ • ギリギリ持ちこたえているゲーム • 将棋 • αβだけではどうにもならないゲーム • 囲碁 DFPNなど ???

ゲーム研究の意義 • 確かに、強くするのが研究目的であるが • αβは凄いが、それだけをやっているわけではない • それだけじゃつまらない • 囲碁は難しいので、囲碁を強くすることができれば、自然と意義のある成果が生まれているはず

評価関数が存在することがαβの前提 囲碁には適切な評価関数が無い静的に評価すると不正確正確に評価するには探索が必要囲碁の難しさここの評価値が知りたいさらなる探索が必要

現在、僕(美添)が取り組んでいるテーマ • 単一の評価関数が作れない場合にどうやって探索を行うか • 目指すものは、単純な評価関数の代わりに、いろいろ自動的に探索したり評価したりしてくれる枠組みを作ること • 単純な評価関数の組み合わせで評価し、依存関係の解決をする • 単純な評価値では無い、確率分布のようなものを元に探索する

副産物λDFPN Search Algorithm • 目標達成までの「手数」を考慮した探索アルゴリズム • 証明数を用いた探索アルゴリズムと、threatという考え方を用いたアルゴリズムの融合 • 囲碁の捕獲探索について、過去のアルゴリズムを凌駕する性能を発揮 • 論文執筆中・・・締め切りは6月30日

計算量理論・暗号理論 永岡　悟（M1）高橋　敏明（M1）上野　賢哉（M2）

今井研での最近の研究 暗号理論ゼロ知識証明サイドチャネル攻撃秘密鍵暗号対話証明系 PCP定理ストリーム暗号 Unique Game Conjecture ブロック暗号近似不可能性一例として擬似乱数という観点から概観量子計算・通信計算量理論領域計算量量子領域計算量 P versus PSPACE L versus P

近年のブレークスルー 確率的アルゴリズムの威力 • 素数判定問題（２、３、５、７、１１、１３・・・） • Solovay & Strassen 1977 • Rabin 1980 • 無向グラフの連結性判定問題 • Aleliunas, Karp, Lipton Lovasz & Rackoff 1979 Randomized Polynomial Time Agrawal, Kayal & Saxena 2004 Randomized Logarithm Space t Reingold 2005 s

領域制約アルゴリズムの脱ランダム化 • Nisan & Zuckermanの擬似乱数生成器 • 長さnのシードからnの多項式の長さの乱数列を生成 • この乱数列は、どんなn領域限定のチューリングマシンからも • ランダムに見えてしまう（⇒だませる）シード乱数列 Randomized Linear Space Logarithm Spaceでも可能かは未解決 Deterministic Linear Space

擬似乱数と暗号の関係 ゼロ知識証明パスワード等の秘密情報をそれ自体を相手に渡さずに保持していることを示すパスポート、クレジットカードストリーム暗号擬似乱数列と平文を１ビットずつXORし暗号化小規模で高速携帯電話やBluetooth で採用単純に作ると簡単にコピー可能 →擬似乱数を用いて安全に電子通貨デジタル署名電子投票擬似乱数

1 2 6 3 5 4 ３彩色問題を使用したゼロ知識証明の例 1 2 6 3 検証者 5 証明者 4 1.色の対応をランダムに置換 1 2 6 3 5 4 2.色情報を箱に入れ 3.枝をランダムに１つ選んで送る鍵をかけて送る (1,4) 4.対応する鍵を送る 5.対応する箱を開け異なることを比較

擬似乱数生成とストリーム暗号 秘密鍵乱数列量子計算・通信との関連 • 量子暗号を使うと秘密鍵を安全に通信できる（どんなに強力な計算能力をもってしても破れない） • 量子計算では、素因数分解などを基礎とした公開鍵暗号系は破られてしまう＋平文＝ • 安全性 • 統計的乱数性 • 非線形性 • 無相関性 • 長周期性 • 線形複雑度暗号文共有攻撃通信暗号文＋秘密鍵乱数列＝平文

ゲーム理論 加藤公一、牟田秀俊、西鳥羽二郎

ゲーム理論とは… • 複数の行為主体がいる • 各主体が自分の利得が最大となるよう行動する • 行動が状況や相手に影響を及ぼす • 以上の特徴を持つモデルを分析する学問 • 実用的なおもしろさ • ネットワーク解析 • 計算量的なおもしろさ • Nash均衡点を求める難しさは？

Nash均衡と計算量 利得行列(囚人のジレンマ): とある囚人の話 • 両方黙秘 • 両方とも3年 • 片方のみが自白 • 自白した方1年 • 黙秘した方10年 • 両方自白 • 両方とも8年

Nash均衡と計算量 利得行列(囚人のジレンマ): • Bさんが黙秘なら • Aさんは自白 • Bさんが自白なら • Aさんは自白 • 結局Aさんは自白

Nash均衡と計算量 利得行列(囚人のジレンマ): • 同様に考えると • Bさんも自白 • Aさんは自白だった • 結局自白×自白に落ち着く Nash均衡点

Nash均衡と計算量 利得行列(囚人のジレンマ): 二行二列は簡単じゃあ巨大なら？ Nash均衡点を求める多項式時間アルゴリズムはあるのか？ OPEN Nash均衡点

研究テーマの例 ネットワーク解析計算量 • ユーザーが利己的な時のスループットの解析 Open Problem: Nash均衡を求める問題の計算量 (PとNPの間?) Nash均衡最適化、凸多面体他の均衡点市場解析等 Nash均衡を求める問題は線形相補性問題で表せる

量子計算・量子情報

背景量子効果による高速化への限界量子効果を積極的に利用した計算原理古典の場合と準指数的なギャップ RSA暗号が破られる　　 Shorのアルゴリズム素因数分解 Groverのアルゴリズム非ソートデータの検索

量子暗号 古典暗号だと RSAなど計算量的安全性量子計算機を用いて破られる可能性

量子暗号 量子暗号だと物理的安全性

隠れ部分群問題 G 入力：群GとGを定義域とする関数f … H g1H gkH fにはGの部分群Hに関する制約があり、 fの入力と出力からHを求めたい Shorのアルゴリズムの基本部分は Gが巡回群の隠れ部分群問題 S

量子ウォーク 一言で言えばランダムウォークの量子版しかしその性能は全く違う Glued Tree Start goal ・・・ランダムウォークの機能を持ったロボットが左から右に移動するのに・・・量子だと古典だと

対話証明 このような計算モデルで量子の場合の計算能力を見る

その他の今井研での研究 関連する他の分野領域に制限の付いた量子計算量隠れ部分群問題を解く量子アルゴリズム計算量計算幾何量子計算最短ベクトル発見アルゴリズムノイズの下での量子計算の理論，数値解析グラフの量子彩色数群論グラフ理論量子暗号の性能評価量子誤り訂正符号の構築，性能評価符号理論 Bell不等式の列挙，破れの発見量子情報情報幾何量子情報幾何量子通信路容量・量子エントロピー情報理論

2006 年度今井研研究室紹介