Didactique des mathématiques Cycle 2 Cours : apprentissage de la la numération au cycle 2

1. Didactique des mathématiquesCycle 2Cours : apprentissage de la la numération au cycle 2 David Rolland, formateur en mathématiques

2. I. Les objectifs d’apprentissages • Les programmes. Au-delà de 20, pour lire ou écrire les nombres, apprendre la suite des nombres, dénombrer des collections, savoir comparer des nombres…il est nécessaire de s’appuyer sur les propriétés de notre système de numération. Si on se réfère aux compétences exigibles en fin de cycle 2 dans les programmes de 2002, on peut constater que la numération tient la place la plus importante dans le domaine de la connaissance des nombres.

3. « Désignations orales et écrites des nombres entiers naturels (inférieurs à, 1000). - Produire des suites orales et écrites de 1 en 1, de 10 en 10, de 100 en 100 (en avant ou en arrière), à partir de n’importe quel nombre, en particulier citer le nombre qui suit ou qui précède un nombre donné. • Associer les désignations orales et écrites (en chiffres) des nombres. • Dénombrer et réaliser des quantités en utilisant le comptage un à un ou des groupements et des échanges par dizaines et centaines. • Comprendre et déterminer la valeur en chiffres en fonction de leur position dans l’écriture décimale d’un nombre. Ordre sur les nombres entiers naturels. - Comparer deux entiers naturels. • Ranger des nombres en ordre croissant ou décroissant. • Situer un nombre dans une série ordonnée de nombres. • Ecrire des encadrements d’entiers entre deux dizaines ou entre deux centaines consécutives. • Situer des nombres (ou repérer une position par un nombre) sur une ligne graduée de 1 en 1, de 10 en 10 ou de 100 en 100 ».

4. b) Les enjeux de la numération au CP. Prenons l’exemple du nombre 37. En cours de CP, les élèves devront savoir : - réciter la file des nombres au moins jusqu’à 37, à partir de n’importe quel nombre inférieur ou égal à 36; - situer 37 par rapport aux autres nombres déjà connus; - passer de l’écriture chiffrée de 37 à l’écriture littérale ou inversement; - dénombrer des collections de 37 objets manipulables ou dessinés, ces collections pouvant être regroupées par dix ou non; - construire une collection de 37 objets; - représenter le nombre 37 à l’aide de matériels de numération; - représenter 37 euros ou 37 centimes avec de la monnaie; - associer 37 à diverses écritures décomposées, par exemple 10+10+10+7, 30+7, 7+30, 3 dizaines et 7 unités, etc.

5. 37 3 dizaines et 7 unités 7 unités et 3 dizaines 30 + 7 7 + 30 10 + 10 + 10 + 7 7 + 10 + 10 +10 20 + 10 + 7 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Matériel de numération Monnaie

6. c) Les enjeux de la numération au CE1. Ils sont très semblables et plus complexes. Les nombres étudiés augmentant, il va devenir difficile de faire manipuler les élèves avec des collections matérielles contenant plusieurs centaines d’éléments. L’introduction des centaines conduit à diversifier encore plus les décompositions additives des nombres. Ainsi, les élèves devront savoir que 246 se décompose en 2 centaines, 4 dizaines et 6 unités mais aussi en 24 dizaines et 6 unités. Enfin des décompositions multiplicatives commencent à prendre sens. En particulier, il est important que les élèves comprennent bien le fonctionnement de la numération verbale après cent; ils doivent bien faire la différence entre cent trois (100 + 3) et trois cents (3 x 100).

7. II. Les matériels de numération L’enseignement de la numération s’appuie toujours sur l’utilisation de matériels permettant de représenter les quantités et mettant en évidence les groupements de 10, de 100… qu’elles contiennent. Les matériels dessinés sur les fiches de travail doivent correspondre à des matériels réels, que les élèves peuvent ou ont pu manipuler. Dans une classe on n’utilise pas un seul matériel mais plusieurs en même temps ou successivement, en fonction du domaine numérique qu’on est en train d’étudier, des aspects de la numération que l’on veut éclairer…

8. a) Bûchettes + élastiques La dizaine est un fagot de 10 bûchettes reliées par un élastique. Le nombre 23 est représenté par 2 fagots et 3 bûchettes. Pour dénombrer une quantité de bûchettes, l’élève doit constituer des fagots puis écrire le nombre. Pour contrôler son travail ou chercher son erreur s’il n’a pas trouvé le bon résultat, l’élève est obligé de vérifier chacun des fagots qu’il a réalisés.

9. b) Cubes emboîtables. La dizaine est une barre de 10 cubes emboîtés. Avec ce matériel aussi, pour dénombrer des cubes, les élèves doivent d’abord les regrouper par 10. Le nombre 23 est représenté par deux barres de 10 cubes et trois cubes non emboîtés. L’équipotence des barres, c’est-à-dire le fait qu’elles ont toutes le même nombre de cubes, est facile à contrôler en juxtaposant les barres et en vérifiant qu’une barre contient bien 10 cubes.

10. c) Boulier. Il s’agit de perles rangées par 10 et pouvant glisser le long des tiges. On convient de mettre au départ toutes les perles à gauche. La dizaine est donc une rangée de complète de perles déplacées à la droite du boulier. Le nombre 23 est représenté par 2 rangées complètes et 3 perles à la droite du boulier . Ce matériel ne sert pas vraiment à dénombrer, mais plutôt à représenter les nombres, en faisant apparaître leur décomposition en dizaines et unités. Il sert aussi à calculer des sommes.

11. d) Boîtes de Picbille. Le matériel est composé de jetons et de boîtes de 10 cases pouvant contenir 10 jetons. Chaque boîte présente deux compartiments de 5 cases et 2 couvercles juxtaposés. Tant qu’un compartiment n’est pas rempli, son couvercle reste ouvert. Quand le compartiment est rempli, le couvercle est fermé. Ainsi, les dessins ci-dessus représentent successivement les nombres 3, 6 et 10. Le nombre 23 est représenté par 2 boîtes pleines et une boîte contenant 3 billes. Pour dénombrer des jetons, l’élève commence par remplir les boîtes, ferme celles qui doivent l’être; l’écriture du nombre s’ensuit directement. Ce matériel diffère notablement des bûchettes ou des cubes emboîtables par le fait que la constitution des dizaines ne demande pas aux élèves de compter jusqu’à 10 à chaque fois, il leur suffit de remplir les boîtes. Comme pour les bouliers, ce matériel est surtout un matériel pour représenter des nombres et pour calculer. Pour aller au-delà de 100, les créateurs de ce matériel proposent des valises pouvant chacune contenir 10 boîtes.

12. e) Cubes, barres, plaques. Le matériel est composé cubes, de barres, sur lesquelles 10 cubes sont gravé, et de plaques carrées sur lesquelles 100 cubes sont gravés. Pour dénombrer une grande quantité de cubes, les élèves doivent grouper les cubes par 10; chaque paquet de dix est remplacé par une barre; dans le cas où il y a dix barres, celles-ci sont remplacées par une plaque. Les élèves dénombrent les plaques, les barres et les cubes restés isolés, l’écriture du nombre s’ensuit.

13. f) Jetons de couleur Le matériel est composé de jetons de même taille, mais de trois couleurs différentes; les jetons jaunes représentent les unités, les rouges les dizaines et les verts les centaines. Pour dénombrer une grande quantité de jetons jaunes, les élèves doivent regrouper les jetons jaunes par 10; chaque paquet de 10 est remplacé par un jeton rouge; dans le cas où il y a 10 jetons rouges, ceux-ci sont remplacés par un jeton vert. Les élèves dénombrent les jetons verts, les jetons rouges et les jetons jaunes; l’écriture du nombre s’ensuit. Ce matériel est amené par le biais de jeux, servant à représenter des nombres et à comparer les scores.

14. f) Compteurs en carton Les compteurs sont constitués d’un rectangle de carton dans lequel ont été percées 3 fenêtres. Derrière ce rectangle sont fixés 3 disques de carton. Chaque disque porte les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Les disques peuvent tourner, les chiffres apparaissent dans les fenêtres. Le nombre 23 est représenté ci-dessus. Comme pour les compteurs utilisés dans la vie courante, sur la roue de droite défilent les chiffres des unités, sur la roue centrale, les chiffres des dizaines et sur la roue de gauche, les chiffres des centaines. Les compteurs sont parfois utilisés pour dénombrer une collection, de cubes par exemple. Intérêt : illustre le fonctionnement de la suite chiffrée des nombres.

15. g) Les abaques Il s’agit de planchettes munies de 3 tiges et de jetons troués ou de perles. La valeur d’une perle change en fonction de ,la tige sur laquelle elle est enfilée. Le nombre 23 est représenté ci-dessus. Lorsque la colonne des unités contient 10 perles, on enlève les perles et on ajoute une perle dans la colonne des dizaines. Ce matériel sert donc à illustre le principe positionnel de notre numération chiffrée. Il est utile pour faire comprendre le principe de la retenue de l’addition. Ainsi pour calculer 35+17, on commence à représenter 35, on cherche ensuite à ajouter 7 unités. On prend 7 perles, on complète la tige des unités avec 5 perles, on arrive à 10 perles, on les enlève, on ajoute une perle sur la tige des dizaines (la retenue), on met les 2 perles restantes dans la tige des unités. Il reste à mettre encore 3 perles sur la tige des dizaines. Le résultat se lit directement, à savoir 72.

16. h) Autres matériels La monnaie est bien sûr un excellent moyen de travailler la numération ainsi que tous les objets de la vie courante vendus par lots de dix ou de cent : boîtes de craies, paquets de mouchoirs en papier, œufs…

17. III. Les difficultés de l’enseignement de la numération a/ La discordance entre la numération chiffrée et la numération verbale (orale ou écrite) La numération chiffrée obéit à un principe positionnel alors que la numération verbale suit d’abord une logique additive jusqu’à 69 puis devient plutôt hybride. Ainsi, par exemple, dix-sept signifie « dix+sept », vingt-huit signifie « vingt+huit ».

18. Cette discordance explique plusieurs erreurs. - En entendant vingt-huit, des jeunes élèves peuvent être tentés d’écrire 208 s’ils connaissent les écritures chiffrés de vingt et huit. Ils font comme si l’écriture chiffrée obéissait à un principe additif, le signe + étant rendu par la simple juxtaposition. - Plus tard, si on demande à un élève de fin de CP qui maîtrise les nombres jusqu’à 100 inclus, d’écrire « cent-dix », il va écrire 10010. - Cette tendance se retrouve au CE1 où les élèves écrivent 310018 ou 30018 quand ils entendent trois cent dix-huit.

19. b/ Les difficultés spécifiques de la numération verbale. Il faut mémoriser le fait que les mots vingt, trente, quarante… représentent deux dix, trois dix, quatre dix… Les groupements de 10 n’apparaissent pas dans la façon dont on dit les nombres. NB : dans les pays asiatiques, « vingt » se lit « deux-dix » comme nous disons « deux cents ». Les enfants de ces pays apprennent beaucoup plus facilement la numération.

20. Elle présente de nombreuses irrégularités. Alors qu’on dit « dix-sept », « dix-huit », « dix-neuf », on ne dit pas « dix-deux » mais « douze », « dix-trois » mais « treize »… Les nombres de onze à seize exigent un effort de mémorisation. On dit aussi soixante-douze et non septante-deux ou encore quatre-vingt-huit au lieu de octante-huit. Dans ces différents cas, le nombre de groupement de 10 n’est pas présent.

22. Orthographier les nombres 1°) Pour les traits d'union : a) Règle traditionnelle : On utilise des traits d'union pour écrire les nombres composés plus petits que cent sauf autour du mot et (qui remplace alors le trait d'union). Partout ailleurs, il n'y a que des espaces. Exemples : dix-sept (17), vingt et un (21), trente-deux mille cinq cent soixante et onze (32 571). b) Recommandations de 1990 : Tous les numéraux composés sont unis par des traits d'union : trente-deux-mille-cinq-cent-soixante-et-onze (32 571). Seuls les noms tels que millier, million ou milliard ne sont ni précédés ni suivis d'un trait d'union : trente-deux millions cinq-cent-soixante-et-onze-mille (32 571 000). c) Extrait des programmes 2008 de l'école primaire : "L’orthographe révisée est la référence." [autrement dit, voir paragraphe b) ci-dessus]

23. 2°) Pour l'accord de cent et vingt : La règle traditionnelle n'a pas été modifiée en 1990 Règle traditionnelle (toujours en vigueur) : Le mot cent est invariable sauf quand il est précédé d'un nombre qui le multiplie et n'est pas suivi par un autre nombre cardinal. Pour mettre cent au pluriel, il faut donc (première condition) qu'il soit précédé d'un nombre qui le multiplie. Par exemple deux cents (200) (deux fois cent) mais mille cent (1 100) (mille plus cent). La deuxième condition est qu'il ne doit pas être suivi par un autre nombre cardinal. Ainsi on écrira deux-cent-trois (203) et deux-cent-mille (200 000). En revanche, on écrit deux-cents millions (200 000 000) et deux-cents milliards (200 000 000000) car million et milliard sont des noms et pas des adjectifs cardinaux. Le mot vingt dans quatre-vingts (80) suit exactement la même règle que le mot cent. On écrira quatre-vingt-un (81) et quatre-vingt-mille (80 000) mais quatre-vingts millions (80 000 000). 3°) En ce qui concerne mille : • Millier, million et milliard ne sont pas des adjectifs cardinaux mais des noms et donc ne sont pas invariables. • Mille par contre est invariable (ce qui s'explique historiquement par le fait que mille était le pluriel de mil).

24. c/ Les difficultés à bien comprendre les écritures chiffrées. En arrivant au CP, les élèves comprennent assez vite que les nombres avec lesquels ils travaillent s’écrivent d’abord avec un chiffre puis avec deux chiffres : ils savent écrire les nombres les uns après les autres mais ne comprennent pas nécessairement que le nombre de paquets de 10 se voit dans l’écriture chiffrée. Ainsi, par exemple, mis devant une collection de 2 boîtes pleines de 10 œufs et de 4 œufs supplémentaires, certains élèves éprouveront le besoin pour les dénombrer de les compter un par un alors qu’ils pourraient passer directement à l’écriture du nombre 24.

25. Pour quelles raisons ? • L’élève garde toute sa confiance au comptage de un en un pour dénombrer, il ne veut pas abandonner cette procédure; • L’élève n’a pas encore intégré la signification de chacun des chiffres dans l’écriture du nombre. On a alors l’habitude de demander aux élèves de mettre les chiffres des dizaines et des unités dans un tableau de numération.

26. Mais la réussite peut être illusoire. Un élève peut tout à fait s’acquitter de cette tâche de manière mécanique sans pour autant bien comprendre ce qu’il a fait. x x x x x x x x x x x x x x x x x

27. d/Les obstacles repérés chez les élèves de cycle 2 pour l’acquisition du nombre. • Oralité du nombre • Mauvaise utilisation des mots dans le langage courant • Méconnaissance de la suite numérique • Pas de correspondance entre le mot-nombre et la quantité • Pas de notion d’ordre de grandeur, de valeur approchée • Différentes écritures du nombre • Difficulté à écrire les nombres en chiffres : numération de position • Difficulté à manipuler le nombre : décomposer, recomposer de différentes façons • Pas d’automatisme en calcul mental • Difficultés à positionner les chiffres du nombre dans une opération • Difficultés à poser et effectuer une opération • Pas de connaissance du sens de l’opération • Difficulté à réaliser des problèmes à étapes

28. e/. Quelques pistes pédagogiques pour travailler le nombre -Obstacle repéré : oralité du nombre dans le langage français Le langage peut être un obstacle pour l’acquisition des nombres. Le français est mal fait : cf les nombres bizarres. Quand on entend le début d’un nombre : 60 …, on ne sait pas ce que l’on va écrire. Il faut travailler les tranches 60 79 80 99. Activités possibles : comptines, jeux de doigts, albums à compter.

29. -Obstacle repéré : méconnaissance de la comptine numérique Quelques étapes à l’acquisition de la comptine : • 2 à 6 ans : grande variabilité • 4 ans et demi (MS) : jusqu’à 15 (apprentissage par cœur, l’enfant récite) • 5 ans et demi (GS) : jusqu’à 30 Mais savoir réciter, ce n’est pas connaître complètement la comptine, ni savoir l’utiliser.

30. Il faut travailler la comptine en faisant évoluer les compétences : • Vers 6 ans : • Compter à partir de 1 jusqu’à… • Compter à partir de … jusqu’à … Il est plus difficile d’amorcer à plus de 1. • Compter à rebours (décompter) : cela permet de reconstruire, c’est la 1ère étape vers la soustraction. • Utilisation de la comptine pour dénombrer

31. Vers 6-7 ans : • Compter et dénombrer n nombres à partir de … • Compter et dénombrer de … à ..; en tenant compte des nombres énumérés (ex : de 7 à 11, on avance de 4) Activités possibles : Qui va le plus loin, le furet, le nombre cible jusqu’à…, la suite muette, le maître qui se trompe, la fusée, l’escalier…

32. -Obstacle repéré : difficulté à associer nombre dit et nombre écrit Activités possibles : repérer le nombre dit sur la bande numérique, loto des nombres -Obstacle repéré : difficulté à écrire les nombres en chiffres Il faut travailler la numération décimale : place du 0, tous les passages à la dizaine supérieure, à la centaine supérieure Activités possibles : cartons de Montessori, compteurs…

33. -Obstacle repéré : difficulté à manipuler le nombre (décomposer, recomposer de différentes façons) • Travailler toutes les décompositions d’un nombre Activités possibles : carte à points, boîtes à œufs, cascade des additions, dominos (Ermel CE1), le bon chemin.

34. IV. Exemples d’activités pour l’apprentissage de la suite des nombres. a/ Indications générales. Le travail sur la suite orale des nombres (la comptine) et sur la suite écrite des nombres (la file numérique) commencé en maternelle se poursuit au cycle 2 pour des nombres allant jusqu’à 1000. En maternelle, la plupart des procédures numériques s’appuyaient sur la connaissance de ces suites. Au CP et au CE1, elles continuent de jouer un rôle important.

35. En maternelle, la connaissance des suites chiffrée et orale est plutôt globale, ces suites sont apprises, fréquentées jusqu’à 30 environ sans qu’elles soient vraiment analysées. Mais au CP, l’apprentissage des suites orale et écrite s’appuie sur les régularités que l’on peut observer à l’oral comme à l’écrit. Les élèves doivent savoir passer de l’écriture d’un nombre à celle de son suivant. En numération chiffrée, pour passer d’un nombre au nombre suivant, il faut augmenter de 1 le chiffre des unités. Le point difficile est le passage des dizaines, par exemple après 49 vient 50, le chiffre des unités revient à 0, le chiffre des dizaines augment de 1.

36. a/ Exemples d’activités. • Les compteurs en carton permettent de faire fonctionner les règles de la numération ordinale : pour passer au suivant, la roue des unités avance de 1, lorsqu’elle revient à 0 la roue des dizaines avance de 1, si la roue des dizaines revient à 0, la roue des centaines doit avancer de 1. • Au CP, tout au long de l’année on propose aux élèves de compléter des bandes numériques. Voici un exercice proposé dans Cap Maths CP, R. Charnay, Hatier 2000 page 49.

38. Autre exercice :

39. Au CE1, on adopte souvent des présentations (en tableau ou en spirale) qui mettent en évidence les régularités de la suite écrite. Par exemple, dans le manuel Euro Maths CE1, Marie-Lise Peltier, Hatier 2001 p. 46, les élèves doivent écrire la suite des nombres compris entre 100 et 200 dans un tableau. On peut voir sur un tel tableau ce qu’il y a de commun entre les nombres compris entre 100 et 109, et les nombres compris entre 110 et 119…seul le chiffre des dizaines change lorsqu’on passe d’une ligne à l’autre. L’important est que les élèves perçoivent la structuration de la suite écrite des nombres de 10 en 10, de 100 en 100…

40. V. Exemples d’activités privilégiant le sens cardinal des nombres. a/ remarques générales. Les tâches habituellement proposées sont essentiellement de quatre types : • dénombrement d’une collection donnée; • Constitution d’une collection de cardinal donné; • Comparaison de deux collections du point de vue des quantités; • Constitution d’une collection équipotente à une collection donnée.

43. b/ Exemples d’activités. - « Dictée de doigts » Les enfants doivent écrire combien ils ont vu de doigts (36).

44. Mise en évidence de la dizaine dans les nombres inférieurs à 100. On peut utiliser des constellations : par exemple demander aux élèves de CP de dessiner 23 jetons de sorte que l’enseignant sache très vite si le compte est bon. On complète cette activité par un travail sur les écritures additives.

45. Exemple d’activité extraite du manuel Maths CP, J-F Favrat, Editions Delagrave, p 21, que l’on peut proposer aux élèves pour aborder la dizaine. Ce premier exercice est un exercice de dénombrement : les couleurs mettent en évidence les groupements de 10. Les objets coloriés correspondent à 1 groupement de 10. Les élèves peuvent colorier les autres objets qui correspondent au chiffre des unités.

46. Le fait d’aborder les nombres dans l’ordre permet de mettre en évidence ce qui change et ce qui ne change pas dans l’écriture des nombres à partir de 10 lorsqu’on ajoute 1 unité. La solution attendue consiste à représenter la dizaine à l’aide de 2 paquets de 5 points, comme sur deux dés, par exemple :

47. Activité extraite de J’apprends les maths CP, R. Brissiaud, fiche 76, Retz, 2001. Les élèves doivent passer d’une quantité représentée à l’aide des boîtes de Picbille à son écriture chiffrée. Les élèves qui n’ont pas su répondre sont invités à compter les 36 billes une à une en s’arrêtant sur les mots dix, vingt et trente. Cela peut les aider à prendre conscience que le comptage des dix est équivalent au comptage des unités, et que le nombre de groupements de 10 (3) se voit dans l’écriture chiffrée (36).

48. - Dénombrement d’une grande collection :Activité extraite de cap maths CE1, R. Charnay, Hatier p 48. Pour dénombrer de façon efficace cette collection, les élèves doivent effectuer des groupements de dix, puis de cent. D’autres procédures seront cependant utilisées par les élèves : certains feront des paquets de tailles différentes ou de même taille, puis ajouteront les nombres obtenus en posant ou non les opérations. Le comptage de 1 en 1 a très peu de chance d’aboutir.

49. Quelques collections supplémentaires :

50. Conditions matérielles : Une première collection d’une bonne centaine de cubes est rangée dans une boîte. Une deuxième collection ayant à peu près le même nombre d’objets (bûchettes) est rangée dans une autre boîte. Le travail est réalisé par groupes de 4 enfants. Consignes : « Cherchez si les deux collections ont le même nombre d’objets. Mais attention, vous ne pouvez ouvrir qu’une boîte à la fois et vous devez remettre les objets dans la boîte avant d’ouvrir l’autre. » - Comparaison de deux grandes collections : exemple d’activité (fin CP-début CE1)