Produkční funkce: technologická změna

1. Teorie firmy II - Optimum výrobce- Mezní produkt, zákon klesajícího mezního produktu - Izokvanty produkční funkce- Další modely výrobce

2. Produkční funkce: technologická změna f1 f2 : navýšení výrobní kapacity (budov, strojů ..) spojené s navýšením fixních nákladů 12.11.2009 2

3. Produkční funkce: dlouhodobá produkční funkce Lf(x) Lf (x): horní obalová křivka možných produkčních funkcí 12.11.2009 3

4. Optimum výrobce maximalizujícího zisk 1. pro technologii umožňující tvorbu zisku (při daných cenách) V optimu : směrnice w/p izokvanty zisku = směrnice tečny k produkční funkci 12.11.2009 4

5. Optimum výrobce maximalizujícího zisk 2. pro technologii neumožňující tvorbu zisku (při daných cenách) Optimální je v tomto případě nevyrábět (výrobní situace OY) 12.11.2009 5

6. Optimum výrobce maximalizujícího zisk 3. případ lineární technologie y =min (a.x, b) Je-li w/p>a,je optimální bod E1. Je-li w/p< a, je optimem bod E2. Je-li w/p= a, jsou výrobní situace na úsečce E1, E2 indiferentní a optimální 12.11.2009 6

7. Optimum výrobce maximalizujícího zisk 4. Dlouhodobá produkční funkce Lf(x) : a)optimální je technologie f1 (žádná změna) 12.11.2009 7

8. Optimum výrobce maximalizujícího zisk 4. Dlouhodobá produkční funkce Lf(x) : b)optimální je inovovanátechnologie f3 12.11.2009 8

9. Mezní produkt (MP) • ekonomicky: nárůst produkceschopnosti odpovídající zvýšení vstupu o (malou) jednotku • algebraicky: pro malé  • přesněji: (derivace f(x)) • Geometricky: směrnice tečny k produkční funkci, tj. tg ()

10. Zákon klesajícího mezního produktu • Zákon klesajícího mezního produktu: dodatečný produkt z dodatečné jednotky (každého) zdroje při růstu jeho objemu klesá. • Zákon klesajících mezních výnosů z rozsahu: dodatečné výnosy vyvolané proporcionálním růstem všech vstupů o 1% s rostoucím rozsahem výroby klesají. • U mnoha technologií platí při nízkém rozsahu výroby opačné zákony (rostoucí výnosy). Ale: vždy od nějakého rozsahu výroby výše mezní produkt a mezní výnosy z rozsahu klesají. 12.11.2009 10

11. Celkový, mezní a průměrný produkt 12.11.2009 11

12. Základní vlastnost optimální výrobní situace výrobce maximalizujícího zisk • Je-li xE > 0, platí v optimu: w/p = MP p . MP = w 12.11.2009 12

13. Produkční funkce: y = f(x1, x2) • y - objem výstupu • x1, x2 - objemy vstupů • p - cena výstupu • w1, w2- ceny vstupů • Zisk = p.y - w1.x1 - w2.x2 • Výnosy (příjem): R = p.y • Náklady : C = w1.x1 + w2.x2 • Izokvanta produkční fcef(x1, x2) = konst.: množina kombinací vstupů se shodnou produkceschopností • Izokosta: w1.x1 + w2.x2 = konst.: množina stejně nákladných kombinací vstupů

14. Izokvanty nákladů (izokosty) - pro případ dvou vstupů: xj- objem j-tého vstupu, wj - cena j-tého vstupu, C - náklady 12.11.2009 14

15. Křivky stejného produktu (izokvanty) produkční funkce (případ dvou vstupů) xj- objem j-tého vstupu y(j)– objem výstupu pro j – tou izokvantu y(3) > y(2) > y(1) 12.11.2009 15

16. Optimum (případ dvou vstupů) V optimu : směrnice izokosty = směrnice tečny k izokvantě produkční funkce: w1/ MP1= w2 /MP2 = p  v optimu: p . MPj = wjpro každé j. 12.11.2009 16

17. Optimum (případ dvou vstupů) • Pozn.: Podle věty o derivaci implicitně zadané funkce y=f(x1,x2) je její sklon dán podílem parciálních derivací Ekonomicky: • Peněžní hodnota výnosu z mezního produktu každého zdroje je rovna jeho ceně (není-li, je výhodné zdroj nakupovat více resp. méně) • mezní produkt / peněžní jednotky vydané na j-tý zdroj je pro všechna j shodný (není-li, je výhodné nakupovat více alespoň jeden zdroj na úkor jiného zdroje) 12.11.2009 17

18. Izokvantyleontjefské produkční funkce(případ dvou vstupů) - vstupy je nutné zvyšovat proporcionálně f(x1,x2) = min (a.x1, b.x2) xj - objem j-tého vstupu a/b - pevně daný poměr vstupů y(k) - objem výstupu pro j-tou izokvantu, y(3) > y(2) > y(1) 12.11.2009 18

19. Optimum výrobce s leontjefskou produkční funkcí (případ dvou vstupů) V optimu: vždy splněn „předepsaný“ poměr vstupů x2 : x1 = b : a 12.11.2009 19

20. Izokvantylineární produkční funkce : dokonalá substituovatelnost vstupů (případ dvou vstupů) • f(x1,x2) = a.x1 + b.x2 • xj - objem j-tého vstupu • y(k)- objem výstupu pro k-tou izokvantu, y(3)> y(2)>y(1) 12.11.2009 20

21. Optimum výrobce s lineární produkční funkce : • V optimu (není-li náhodou sklon izokvanty produkční funkce shodný se sklonem izokost) • je využíván výhradně efektivnější vstup 12.11.2009 21

22. IzokvantyCobbovy-Douglasovy produkční funkce (případ dvou vstupů) • xj - objem j-tého vstupu • y(k)- objem výstupu pro k-tou izokvantu, y(3) > y(2) > y(1) 12.11.2009 22

23. Izokvanty produkční funkce pro:

24. Poznámky • Rozlišovat následující dvě bodové vlastnosti produkční funkce: • a) Mezní míra (technologické) substituce: sklon tečny k izokvantě = - MP1 / MP2 • b) Elasticita (technologické) substituce: • CES funkce : třída funkcí s konstantní elasticitou substituce ve všech bodech

25. Otázka je subjekt maximalizující zisk totožný se subjektem minimalizujícím náklady? Maximalizace zisku a minimalizace nákladů není totéž !! Platí tzv. reciprokost minimalizace nákladů a maximalizace zisku (nejde o dualitu!!). Když předepíšeme výrobci, který minimalizuje náklady, aby vyráběl objem výstupu odpovídající optimu výrobce maximalizujícho zisk, protom jsou obě řešení stejná. 12.11.2009 25

26. Reciproké úlohy optima pro případ s jedním výstupem a n vstupy • Maximalizace zisku : optimální řešení : výrobní situace • Minimalizace nákladů : optimální řešení :výrobní situace • Věta o reciprocitě : je -li y**= y*, jsou optimální řešení obou úloh stejná : 12.11.2009 26