Wykład 2 Wrocław, 11 X 2006

1. Wykład 2 Wrocław,11 X 2006 Wpływ przekształceń Co się stanie ze średnią i odchyleniem standardowym gdy zmienimy jednostki ? • stopnie Celsiuszastopnie Fahrenheita • dolary 1,000 dolarów • wartość faktycznaodległość od minimum • cm : mm, in, nm, m, ft; dolary : euro

2. Zmiana wartości wynikająca ze zmiany jednostek dana jest zwykle funkcją liniową: y’ = ay + c Przykłady: • y’ = 1.8 y + 32 • y’ = 1/1000 y ( + 0) • y’ = (1)y - ymin

3. Liniowa transformacja zmiennych, cd. • Funkcja liniowa nie zmienia w zasadniczy sposób kształtu histogramu. Może go rozszerzyć (|a| >1), ścieśnić (|a|<1), przesunąć (c<>0) i obrócić (a<0).

4. Wpływ stałej (odejmujemy 20)

5. Liniowa transformacja zmiennych, cd. • Średnia zmienia się tak jak y. Mamy: y’ = ay + c • Odchylenie standardowe s zmienia się tylko w zależności od współczynnika a. Stała c nie ma wpływu na odchylenie standardowe, ponieważ zależy ono jedynie od odchyleń od średniej. Mamy: s’ = |a| s

6. Liniowa transformacja zmiennych, cd. • Wariancja próbkowa Wariancja jest kwadratem SD. Mamy: s2’ = a2s2 • Przykład: • Y- temperatura wF: = 98.6, s = 0.9, s2 = 0.81 • Pytanie 1: Oblicz średnią, odchylenie standardowe i wariancję dla tych samych danych wyrażonych w stopniach Celsjusza.

7. Odpowiedź

8. Standardyzacja • Pytanie 2: Jakich wyników należy oczekiwać, gdy dane przekształcimy w następujący sposób Y' = (Y- )/s =(Y-98.6)/0.9 ? • Jest to transformacja liniowa: Y' = 1/s Y - y/s. • Odpowiedź:

9. Liniowa transformacja zmiennych: inne statystyki • Funkcja liniowa zmienia: • medianę i kwartyle tak jak średnią, • rozstęp i IQR tak jak odchylenie standardowe.

10. Transformacje nieliniowe • Funkcje nieliniowe (np. logarytm) zmieniają kształt histogramu i na ogół nie ma dla nich prostych formuł umożliwiających obliczenie nowej średniej i nowego odchylenia standardowego. • Parametry te liczymy z definicji korzystając z „nowego’’ zbioru danych. • Przykład : dla Y’=log(Y) na ogóły’≠logy • Z medianą i kwartylami jest lepiej... • Czasami używamy funkcji nieliniowych, aby przekształcić skośne dane w bardziej symetryczne.

14. Wnioskowanie statystycznePróba a populacja • Populacja: • Zbiór, z którego losujemy próbę i który chcemy opisać. • Czasami rzeczywista, czasami abstrakcyjna (np. „nieskończenie duża próba”) . • Próba: • Podzbiór populacji. • Próba powinna byćreprezentatywna dla populacji. • Wnioskowanie statystyczne: • Wnioskowanie o populacji w oparciu o próbę.

15. Populacja Próba Grupa wykładowa 10 losowo wybranych studentów Wszyscy pacjenci biorący Prozac 30 pacjentów biorących Prozac ``wszystkie’’ rzuty kostkami 25 rzutów kostką Wszystkie owocówki ze śmietnika, albo Wszystkie owocówki w okolicy Owocówki złapane na śmietniku Próbkowanie Populacja  Próba y s Wnioskowanie Parametry : ,  Statystyki

16. Parametry populacji • μ = średnia w populacji, μ=EY, wartość oczekiwana zmiennej Y • σ = odchylenie standardowe w populacji, σ =(Var Y)1/2, ...i inne. • Statystyki z próby sąestymatorami, służą do oceny parametrów całej populacji.

17. Przykład • Grupy krwi u 3696 osóbżyjących w Anglii. • Około 44% ludzi w próbie ma grupę krwi A. • A w Anglii?? • Czy nie było systematycznego błędu przy próbkowaniu? • Czy rozmiar próby był dość duży?

18. Możliwe błędy przy próbkowaniu: • Próbazłożona zprzyjaciół ipracowników może nie być reprezentatywna. Mimo tego... • Grupy krwi mogą być reprezentatywne. Ale już... • Pomiary ciśnienia nie byłyby reprezentatywne (ciśnienie na ogół wzrasta z wiekiem).

19. Populacja a próba • Średnia z próbyyna ogół różni się od wartości oczekiwanej μ=EY (średniej w populacji), ale w miarę wzrostu rozmiaru próby różnica między tymi wielkościami zwykle dąży do zera (Mocne Prawo Wielkich Liczb). • Średnia z próby jest estymatorem wartości oczekiwanej. • Podobnie próbkowe odchylenie standardowe s i wariancja próbkowa s2 są estymatorami odpowiednich parametrów w populacji: σ i σ2=Var Y.

20. Przykład • Rozmiar populacji=50, średnia w populacji =26.48 • Dane: 25.5 17.8 36.7 29.8 40.7 26.0 7.7 27.7 10.3 22.3 45.4 43.4 20.2 42.2 44.5 1.6 5.7 48.6 23.9 27.2 17.0 19.5 47.7 3.9 39.3 9.2 30.7 18.9 25.7 32.8 16.8 11.7 13.9 4.9 49.4 30.5 20.7 38.1 25.6 40.7 45.0 30.8 11.3 34.0 49.7 21.3 3.5 28.7 19.7 35.6 • stopniowo powiększamy próbęlosową do rozmiarów n=10,20,30,40 • otrzymana średnia z próby: 23.5 (dla n=10), 27.3 (n=20), 26.7(n=30), 26.4(n=40)

21. Histogram z populacji a histogram próbkowy • Dane dyskretne (klasy) • Oznaczamy: pi=frakcja (częstość) osobników w całej populacji w i-tej kategorii. • pi można ustalić w oparciu o histogram skonstruowany dla całej populacji. • Oznaczamy: = estymator obliczony w oparciu o histogram z próby (zaobserwowana częstość w danej kategorii).

22. Przykład Rozmiar populacji =10000. 5 klas o tej samej częstościpi= (?). W tabeli tylko kategorie 1. i 5.

23. n=10

26. Próbkowanie, cd. • Prosta próba losowa: • Każdy osobnik z populacji może być wybrany z tym samym prawdopodobieństwem. • Wybory poszczególnych osobników są od siebie niezależne.

27. Jak wybrać prostą próbę losową: • Mechanizm losujący, np.: • Przyznajemy numer każdemu osobnikowi • Zapisujemy numery na kulach • Mieszamy kule w urnie • Losujemy kule=numery=osobników, tyle razy, ile wynosi rozmiar próby • Do losowania możemy również użyć komputera lub gotowej tablicy liczb (numerów) losowych (zob. dalej). • Gdy rozmiar populacji nie jest ustalony lub nie mamy dostępu do wszystkich osobników, zadanie jest dużo trudniejsze.

29. Błędy w póbkowaniu, cd,Przykład 1 (Ochotnicy) • Dziennikarka Ann Landers spytała swoich czytelników „Gdybyście mogli zacząć je-szcze raz: czy mielibyście znowu dzieci?” • Odpisało prawie 10,000 czytelnikówi70%powiedziało: Nie! • Populacja: wszyscy rodzice w USA

30. Przykład 1 (Ochotnicy) cd. • Próba: pewna część populacji, która zdecydowała się odpisać, n=10,000. • Czasopismo Newsdayprzeprowadziło „statystycznie zaplanowaną” ankietę, w której91%z 1,373 przepytanych rodziców odpowiedziało: Tak! • Ochotnicy: bardzo zła reprezentatywność (badanie bezwartościowe).

31. Przykład 2 Przewidywanie wyników wyborów prezydenckich w USA, 1936: • Literary Digest wysłało kwestionariusze do 10 milionów ludzi (25% głosujących) • Odpowiedziało 2.4 miliona: • Przewidywanie: Landon 57%, Roosevelt 43% • Wynikwyborów: Roosevelt 62%, Landon 38% • Uwagi: F.D. Roosevelt, Partia Demokratyczna, prezydent w latach 1933-1945;Wielki Kryzys: 1929-1933

32. Przyczyny błędu Literary Digest: • Złe (dyskryminujące) próbkowanie • Użyto książek telefonicznych, list członkowskich klubów, listy zamówień pocztowych, listy właścicieli pojazdów • Brak odpowiedzi • Tylko 24% odpowiedziało (niemal wyłącznie Republikanie) Uwaga: George Gallup przewidział poprawnie na podstawie reprezentatywnej próbki 50 000 osób.

33. Obciążenie w próbkowaniu • Obciążenie w próbkowaniu występuje, gdy mamy do czynienia z systematycznym błędem faworyzującym pewną część populacji. W przypadku takiego obciążenia nie pomoże nawet duży rozmiar próby. • Losowy wybór elementów do próby zwykle eliminuje takie obciążenie.

34. Warianty losowego wyboru: Stratyfikacja • Dzielimy populację na pod-populacje podobnych jednostek (warstwy) i oddzielnie próbkujemy w każdej warstwie. • Przykłady warstw: • studenci & studentki • grupy zawodowe • regiony geograficzne

35. Podstawowe metody estymacji(patrz tablica) • Metoda momentów • Metoda największej wiarogodności