Rotações e Quatérnios

1. Rotações e Quatérnios

2. Objetos compostos hierarquicamente

3. Hieraquia de movimentos

4. x’ y’ z’ 1 x’ y’ z’ 1 Transformações em 3D(translações e escalas) y 1 0 0 tx x x 0 1 0 ty y = 0 0 1 tz z z 0 0 0 1 1 sx 0 0 0 x 0 sy 0 0 y = 0 0 sz 0 z 0 0 0 1 1

5. Rotação em torno do eixo y x y qy qy x z z

6. Rotação em torno do eixo x y x qx z

7. Rotação em torno do eixo z y x qz z

8. Rotações em torno dos eixos cartesianos y qy x qx qz z

9. braço y 1 ante-braço 1 x z 1 Instanciação de objetos

10. y T R x y x y y y T R x x x Ordem das transformações (a) (b)

11. p’ yL y y,yL y yL R TL xL xL x x x,xL x y y y T R x x x Composição com sistema local móvel p2 p p2= R T p p’= R p e p2 = TL p’  p2 = R T R-1 R p ou p1= Tpep2 = R p1 p2 = R T p 

12. Instâncias de objetos d2 y3 y4 z3 z4 x3 y5 d1 x5 z5 x4 y2 z2 x6 x2 y y1 x1 z x z1

13. d2 y3 y4 z3 z4 x3 d1 y5 x5 z5 x4 y2 z2 x2 y y1 x1 z x z1 OpenGL:

14. d2 y3 y4 z3 z4 x3 d1 y5 x5 z5 x4 y2 z2 x2 y y1 x1 Desenha a base; Roda em y; Roda em z1; Translada em y1 de d1/2; Desenha o ante-braço; Translada em y2 de d1/2; Desenha cotovelo; Roda em z3; Translada em y3 de d2/2; Desenha o braço; Translada em y3 de d2/2; Desenha o pulso; Roda em z5; Desenha a mão; z x z1

15. Hierarquia em árvore base braço esquerdo braço direito

16. Hierarquia em árvore a x5 palma y5 x6 a y6 base dos dedos x7 b y7 x9 x8 c dedo esquerdo dedo direito y8 y9 e f e d

17. a x7 b y7 x9 x8 c y8 y9 f e e void desenhaDedos(float b,float c, float e, float f) { /* dedo esquerdo */ glPushMatrix(); /* Salva matriz corrente C0*/ glTranslatef((f+e)/2,(b+c)/2,0.); /* C=CTesq*/ glScalef(e,c,e); /* C=CS */ glutSolidCube(1.0); glPopMatrix(); /* Recupera da pilha C=C0*/ /* dedo direito */ glPushMatrix(); /* Salva matriz corrente C0*/ glTranslatef(-(f+e)/2,(b+c)/2,0.); /* C=CTdir*/ glScalef(e,c,e); /* C=CS */ glutSolidCube(1.0); glPopMatrix(); /* Recupera da pilha C=C0*/ }

18. Algebra da rotação em torno de um eixo unitário ê z y x

19. Rotação em torno de um eixo ê z y x

20. A coluna da matriz é a transformada dos vetores da base

21. Matriz da rotação em torno de um eixo ê z  y x

22. Fórmula de Rodrigues 1

23. Fórmula de Rodrigues 2

24. Matriz de rotação em torno de um eixo ê que não passa pela origem z z   p0 p0 y y x x z z   M p0 p0 y y x x

25. Interface para rotaçõestipo ArcBall

26. Rotação do ArcBall

27. Conservativo

28. 90° + 90° Complexidade da Rotação Giroscópio

30. Yaw-Pitch-Roll x z y  - yaw  - pitch  - roll

31. Parametrização de rotações: Ângulos de Euler z z z qz y y y qy qx x x x

32. Ângulos de EulerGimbal lock

33. Ângulos de EulerGimbal lock z z z qz y y y qy=90o qx x x x

34. Interpolação não gera posições “entre”

35. Quatérnios

36. Soma e multiplicação por escalar

37. Produto de dois quatérnios

38. Produto de dois quatérnios(cont.)

39. Conjugado, normas eproduto interno conjugado de um quatérnio norma de um quatérnio produto interno de dois quatérnios norma euclidiana

40. Quatérnio inverso e unitário inverso de um quatérnio unitário de um quatérnio

41. Quatérnios e rotações Dada uma rotação definida por um eixo ê e um ânguloconstruímos o quatérnio unitário: Dado um ponto qualquer p doR3construímos o quatérnio: Calculamos o produto:

42. Demostração …

43. Composição de rotações seguida de

44. Composição de rotações

45. Exemplo

47. Interpolação de quatérnios não é unitário não representa rotação

48. Interpolação de quatérnios (1-t)  t