Vectores

1. Vectores • Un vector es un ente matemático que posee dirección sentido y magnitud. • La dirección se refiere a la posición del vector: Horizontal, vertical, oblicuo, etc. • El sentido señala la orientación: De arriba hacia abajo, de Norte a Sur etc. • La magnitud es tamaño del vector, es el valor numérico del mismo.

2. Representación gráfica de vectores

3. Gráficamente: Un vector se representa como un segmento orientado, identificando sus extremos mediante dos letras mayúsculas, o colocado una sola letra minúscula en al segmento.

4. Suma gráfica de vectores

5. Con más de dos vectores

6. Componentes de un vector • Podemos definir la posición de un vector en el plano mediante sus componentes referidas a unos ejes de coordenadas. • Para hallar las componentes de un vector basta ver cuantas unidades avanza horizontal y verticalmente desde su origen hasta su extremo. Para ello hallamos la diferencia entre las coordenadas del punto extremo y el punto origen del vector.

7. Escrito matemáticamente • Sea  el ángulo que forma con el eje horizontal • Sea ax y ay las proyecciones en los ejes x e y respectivamente

8. Usando trigonometría, recordemos: Cat. Opuesto al ángulo Cat. adyacente al ángulo

9. Luego:

10. Sea por lo tanto cada componente escrita de la siguiente forma

11. Donde: Representa el módulo del vector “a” Representan vectores unitarios para los ejes x,y,z respectivamente

12. Operaciones con vectores • Suma de vectores: • Un vector que posee diferentes componentes se sumara a otro respetando estas componentes, es decir se sumaran los términos que correspondan al mismo grupo de pares ordenados.

13. Sumando dos vectores y sus proyecciones

14. Producto punto • El producto o multiplicación de vectores se puede realizar de la misma forma en que se resuelven los polinomios, pero respetando un par de reglas para los vectores unitarios.

16. Ejemplo: • Sean los siguientes vectores:

17. 0 0 0 0 0 0

18. 1 1 1 El resultado es un escalar (NO VECTOR)

19. Módulo de un vector El modulo representa el tamaño del vector Y es un escalar. Matemáticamente se escribe: si

20. Además se define el vector unitario del vector A

21. Producto Cruz • El producto cruz (X) es otro tipo de producto entre vectores, a diferencia del producto usual o punto su resultado es un vector. • Al igual que en el caso anterior existen reglas que se deben respetar.

22. No es conmutativo

23. Existe una regla mnemotécnica para el producto cruz X ( + ) = Producto en sentido Horario es positivo

24. X ( - ) = Producto en sentido anti-horario es negativo

25. Ejemplo: • Sean nuevamente los siguientes vectores:

26. 0 0 0

28. Reordenando

29. Ejemplo numérico

31. Una aplicación simple de vectores • El ciclo cardíaco puede representarse de forma simple con los siguientes vectores que aparecen de forma sucesiva en el tiempo:

32. VECTORES ELÉCTRICOS El potencial que registra un electrodo depende de la variación en el tamaño, la geometría yla posición que ocupa sucesivamente la superficie que separa el área activa de la de reposo durantela despolarización y la repolarización. Durante la despolarización el área activa será negativa con respecto a la que aún está en reposo, es decir, que la excitación se propaga como un frente que lleva cargas positivas en la ”cabeza” y deja cargas negativas en la ”cola”. Estos dipolos pueden representarse mediante vectores que se dirigen hacia la parte positiva y cuya magnitud depende de la superficie libre del órgano que está despolarizada. Si este vector se proyecta sobre una línea de derivación el tamaño y polaridad de esta proyección corresponde a la amplitud y la polaridad de la onda que se registra en ese momento.

33. Para la proyección de los vectores en el plano, se supone que los miembros forman los vértices de un triángulo equilátero (Triángulo de Einthoven) cuyo centro es ocupado por el corazón y cuyos lados constituyen las líneas de derivación Dl, Dll y Dlll. Se supone también que el cuerpo se comporta como un conductor homogéneo.

34. . Proyecciones de un vector (flecha sombreada) sobre el triángulo de Einthoven y el sistema triaxial

36. Un vector que corresponde la activación auricular (A). • Un vector que corresponde a la activación septal y que tiene una dirección principal de izquierda a derecha (1). • Un vector que inicialmente corresponde a la activación coincidente de los dos ventrículos y posteriormente a la activación de las regiones central y apical del ventrículo izquierdo -ya estando el ventrículo derecho despolarizado- (2). • Un vector que corresponde la activación basal y posterior del ventrículo izquierdo y del septo (3). • Un vector (no representado) que corresponde a la repolarización ventricular.

37. En pocas palabras. • La despolarización o activación y la repolarización o activación de los miocitos, se representa con un vector con diferentes cargas en su cabeza (punta del vector) y en su cola (origen del vector). • La despolarización: se representa con un vector cuya cabeza es positiva y cola negativa.

38. La orientación angular o derivación de todo electrodo del vector, lo que define el carácter positivo o negativo del mismo da origen al ECG. • En la repolarización el vector será negativo en la cabeza del mismo y positivo en la cola.

39. Por lo dicho anteriormente, cada una de estas zonas tiene su correspondencia en el ECG