MATEMÁTICAS Y FÍSICA APLICADA II TRIMESTRE 09/P

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA METROPOLITANA DIVISIÓN DE CIENCIAS Y ARTES PARA EL DISEÑO LICENCIATURA EN ARQUITECTURA MATEMÁTICAS Y FÍSICA APLICADA IITRIMESTRE 09/P DRA. ROSA ELENA ÁLVAREZ MARTÍNEZ

2. ÍNDICE • Bienvenida • Importante • Cómo consultar este material • Objetivo General • Objetivos Particulares • Actividades programadas • Autoevaluación • Lectura • Ejercicio complementario

3. ÍNDICE • Fundamentación teórica • Flexión y esfuerzo • Vigas • Tipos de vigas • Condiciones de apoyo • Tipos de carga • Flexión y esfuerzo • Fuerza cortante • Momento flexionante • Convención de signos • Ejercicios aplicados

4. ÍNDICE Participación en el foro Errores más comunes Instrumento de evaluación Evaluación final ¿Tienes dudas? Glosario Lista de obras consultadas

5. BIENVENIDA Durante esta sesión identificarás la forma de trabajo para este curso. Para ello será necesario que consultes la plataforma siguiendo las instrucciones, en el momento en el que te sea indicado.

6. IMPORTANTE Para la acreditación de la sesión debes entregar todos los ejercicios marcados en cada uno de los temas. Es importante que en paralelo con tus clases presenciales, participes en las actividades y envíes lo que se te solicita en la plataforma, ya que así se evaluará tu avance académico, y permitirá interactuar y re-diseñar estrategias de estudio y aprendizaje que te ayuden a optimizar tu desempeño en el curso.

7. CÓMO CONSULTAR ESTE MATERIAL El material con el que trabajarás durante esta sesión, se constituye básicamente de lecturas, que te permitirán obtener información necesaria acerca del tema, ya que a través de ellas, podrás llevar a cabo los ejercicios teóricos y prácticos posteriores, que a su vez te permitirán desarrollar tu aprendizaje.

8. OBJETIVO GENERAL Definir el concepto de vigas estáticamente determinadas

9. OBJETIVOS PARTICULARES • Definir condiciones de apoyo y tipo de vigas. • Describir los efectos cualitativos de la presencia de esfuerzo cortante de una viga. • Explicar las condiciones de equilibrio y las ecuaciones utilizadas para obtener la ecuación de esfuerzo cortante. • Cuantificar el esfuerzo cortante en una sección de viga sometida a cargas. • Verificar la distribución parabólica de los esfuerzos. cortantes en una sección rectangular de una viga sometida a cargas.

10. ACTIVIDADES PROGRAMADAS

11. AUTOEVALUACIÓN • CUESTIONARIO en plataforma • Instrucciones de acceso a la plataforma para elaborar ejercicios complementarios a su evaluación diagnóstica

12. LECTURA COMPLEMENTARIA García Malo. Carlos. (2002: 25-33) “Propiedades de las secciones planas”. Ed. Pearson. UAM Az. México. Propiedades del acero. http://www.resistenciadematerialesros.blogspot.com.

13. FUERZA CORTANTE EN VIGAS ESTÁTICAMENTE DETERMINADAS FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

14. FLEXIÓN Y ESFUERZO Generalidades La flexión en vigas está constituida por deformaciones en el sentido longitudinal de la viga.

15. T C C T (2) (1) Considérese un par de vigas sometidas a momentos en sus extremos Por convención, se dice que la viga no. 1 está sometida a un momento positivo, mientras que la viga no. 2 está sometida a un momento negativo. En la viga 1, se puede observar que la fibra extrema superior está sometida a compresión y por lo tanto, se acorta; mientras que la fibra extrema inferior está sometida a tensión y por tanto, se alarga.

16. También es posible observar que existe una fibra a una determinada altura, que no sufre deformación. A esta fibra se le conoce como “EJE NEUTRO”. Hablando de las fibras verticales, se observa que éstas se conservan rectas aún después de que la viga ha sido flexionada. Esto último se cumple cuando la sección transversal es simétrica con respecto a su eje vertical, situación que se da en la mayoría de los casos y que además no actúa en la sección la Fuerza Cortante.

17. La RESISTENCIA DE MATERIALES se desarrolló a partir del estudio de las acciones internas de los materiales estructurales que dan forma a trabes losas muros elementos de unión columnas zapatas y otros como remaches pasadores placas soldaduras

18. Las fuerzas consideradas como acciones internas se producen de acuerdo a los elementos de soporte que vienen a ser fuerzas externas o acciones externas cuyos elementos son: magnitud posición dirección y sentido.

19. En la práctica profesional referida al análisis y diseño de as estructuras se ha establecido designar a las acciones internas (también llamadas elementos mecánicos) como: FUERZAS CORTANTES MOMENTOS FLEXIONANTES MOMENTOS DE TORSIÓN ESFUERZOS Y DEFORMACIONES Tensión, compresión, momento En éste capítulo sólo se desarrollan los dos primeros temas.

20. VIGAS • Se llama viga a aquel elemento estructural que soporta una carga determinada y que salva un claro determinado. • Una viga deberá estar apoyada, y los tipos de apoyo pueden ser: • Apoyo empotrado • Dos o más apoyos libres • Apoyos articulados

21. Una viga se dice que es estáticamente determinada cuando cumple con las condiciones de equilibrio: • Fx = 0 movimientos horizontales • Fy = 0 movimientos verticales • MoF = 0 movimientos de rotación

22. a b F RA RB L TIPOS DE VIGAS 1) VIGA APOYADA: Es una pieza de carga transversalmente con sus dos apoyos articulados siendo uno de ellos deslizable, así se descarta la posibilidad de que existan reacciones horizontales y momentos en los apoyos, por lo que las reacciones sólo serán verticales.

23. Fa RA= L Fa RB= L De haber una fuerza inclinada, habría una componente horizontal que tendría que ser equilibrada en el apoyo no deslizable. • Aplicando las condiciones de equilibrio: • Fa = RBL • haciendo S M en Ro. • F (a) + R1L = 0 • RA + RB = F

24. F a M R L 2) VIGA EN MÉNSULA: Es una pieza cargada transversalmente con un extremo libre y el otro empotrado, en el que solo se impiden los movimientos de rotación y vertical. Existencia de dos incógnitas: M = Fa R = F

25. F L a RA RB RA = - Fa L RA +RB = F RBL = F (a + L) RB= F (a + L) L 3) VIGA APOYADA CON UN EXTREMO EN MÉNSULA: Pieza cargada transversalmente con un apoyo articulado y el otro deslizable, en éste punto prolongada en voladizo. Estas condiciones destruyen la posibilidad de reacción horizontal.

26. Una fuerza concentrada o uniformemente repartida (rectangular o triangular) se representa por un vector. Una fuerza representa una acción y con ello, aparecerá una reacción que llamaremos equilibrante.

27. CONDICIONES DE APOYO • Apoyo deslizable:No hay resistencia al movimiento horizontal. Implica que en él no habrá reacción horizontal. • Apoyo articulado:No tiene resistencia al movimiento de rotación. Implica que no habrá momento. • Empotre: Este apoyo existe sólo cuando la viga está en “ménsula” porque de haber un segundo apoyo se convertiría en una solución hiperestática.

28. Con la intención de poder comprender con más claridad los experimentos en laboratorio, se plantean a continuación ciertos conceptos complementarios a esfuerzos y a flexión. • Sección recta: entiéndase al área mínima que se obtiene la efectuar un corte en dicho material siendo por lo tanto necesario, que el plano del corte sea perpendicular al eje longitudinal del material. • Esfuerzos principales: los esfuerzos principales s1y s2 son un máximo y un mínimo respectivamente y son normales entre sí. Se dice también que son esfuerzos que actúan en los planos donde el esfuerzo normal es máximo o mínimo y el esfuerzo cortante es nulo. • Esfuerzo normal máximo: sección recta • Esfuerzo normal mínimo: donde el ángulo = 90o

29. La deformación producida por el esfuerzo cortante será máxima en el eje neutro y mínima en las fibras más alejadas de dicho eje. • En el plano neutro, donde el esfuerzo normal es nulo y el esfuerzo cortante es máximo, los esfuerzos principales son iguales y tienen una inclinación de 45o. • Ductilidad: es la propiedad de algunos cuerpos para soportar deformación plástica al estar sometidos a la tensión. • Maleabilidad: permite la sección, soportar deformación plática al estar sometido a compresión. • Tenacidad: propiedad que permite al material soportar choque o golpe. • Rigidez: propiedad que permite al material soportar una fatiga y sufrir una deformación muy pequeña.

30. Y Y Y sxdA M z z z x x Aplicando los conceptos anteriores y considerando la siguiente sección de una viga, en donde actúan fuerzas en elementos diferenciales de área, observamos:

31. donde, estableciendo algunas ecuaciones de la estática, se tiene: • Fx = sxdA = 0………………. (1) • My = z sxdA = 0 ................... (2) • Mz = (-y sx dA = M …...……. (3) El signo (-) en la tercera ecuación, corresponde a la conversión del signo de momentos positivos. Considerando el eje X, que tiene un origen 0, podemos determinar que, teniendo un tornillo en la posición indicada, y dándole vuelta en la dirección el tornillo avanza en el sentido positivo del eje X:

32. K J E D L Y J K Y Z eje neutro I Por otra parte, considerando una viga flexionada, cuya longitud inicial era L, se tiene: FALTA CONO Denotando por p el radio del arco DE, por qel ángulo central correspondiente a CE y observando que la longitud L del elemento no deformado se tiene: L = p q

33. R = 2 Wo L p Wx = Wo sen px 2L TIPOS DE CARGA Carga Representación Resultante P Concentrada R = P W Uniformemente distribuída R = w L R 2/2 R = Wo L 2 Wo Wx Distribuída Aler Wx = Wo x L L 3 X R Wx Distribución senoidal Wx R

34. Carga Representación Resultante Distribución arbitraria R = Wxdx x = Wx (x) dx R X

35. m Mx Aislando a la derecha, después de haber determinado la reacción del empotrado P as q Nx X Vx P sen q n para determinar las reacciones Nx , Vx y Mx S Fx = 0 ; Nx = P as q S Fy = 0 ; Vx = P sen q S M m-n = 0 ; Mx = - P (x) sen q

36. w w P P m p q RH A n q B RA RB Ejemplo L • MB = 0 ; RA (L) = WL L + P sen q (L – a) 2 RA = W L + P sen q (L –a) 2 S Fx = 0 RH = P cos q

37. w Mx Nx RH RA Vx x S Fx = 0 ; Nx = RH = P as q S Fy = 0 Vx = RA – W (x) S M m-n = 0 Hx = RA (x) – w (x) x 2 Mx = RA (x) – w x 2 2 De las ecuaciones se puede concluir que la fuerza normal Nx es constante; mientras que la fuerza cortante Vx y el momento flexión Mx son funciones de x.

38. momento + momento - FLEXIÓN Y ESFUERZO Retomando la flexión en vigas está constituido por deformaciones en el sentido longitudinal de la viga.

39. FUERZA CORTANTE Es la suma algebraica de las fuerzas de un sistema determinado en equilibrio, a la izquierda o a la derecha de la sección de viga considerada. En general, las vigas son de sección regular y tienen un plano vertical de simetría en el que se considera que actúan cargas y reacciones y en el que por lo tanto se efectúa “la Flexión”; si la viga está en equilibrio, cargas y reacciones constituirán un sistema coplanar también en equilibrio. Este sistema externo ejercerá cierta acción interna en la viga, lo que puede ser investigado tomando en cualquier parte de su longitud una porción diferencial de viga. Si se aisla esta porción elemental y se determinan las fuerzas y momentos que actúan en sus caras, se habrán investigado las acciones internas a que está sometida la VIGA FLEXIONADA en el punto considerado.

40. L/2 L/2 P a elástica MOMENTO FLEXIONANTE Es igual a la suma algebraica de los momentos de un sistema de fuerzas determinado en equilibrio, a la izquierda o a la derecha de la sección considerada. El cálculo del momento flexionante establece la FLEXIÓN DE LA VIGA a = flecha La concavidad de la viga por la flexión puede ser El momento es máximo donde el cortante vale cero. El cortante es máximo en los apoyos.

41. FUERZA CORTANTE MOMENTO FLEXIONANTE - - + + CONVENCIÓN DE SIGNOS

42. F3 F1 F2 En “x” En “x” En “x” L Ro R1 X R´o X1 Ro Ro R´o R´1 R1 X2 Vc = V b d - + V = + V = - La fuerza cortante es máxima en los apoyos Al cortar una viga siempre hay una fuerza y se produce un par. Si la suma de fuerzas a la izquierda es hacia arriba, las de la derecha serán hacia abajo y el cortante entonces es positivo.

43. Pq W RH P RA RB a VX Diagrama de cortante Vx + P sen q R X RA RB x Diagrama de momento X MX Mx - MV El mayor interés se muestra en la obtención de la fuerza cortante máxima y del mayor momento flexionante, pero ¿cómo obtener éstas máximas?

44. EJERCICIOS A continuación se te presentan una serie ejercicios que deberás resolver de forma individual o colectiva y mandarlos a tu profesora por medio de correo electrónico o medio de la plataforma indicada.