Diplomado de Ense anza de las Matem ticas

1. Diplomado de Enseñanza de las Matemáticas

2. Geometría euclidiana, los inicios del razonamiento científico

3. Programa de contenidos. Modulo 2. Clase 1. Geometría Euclidiana: líneas, puntos y ángulos, polígonos y circunferencias. Aplicaciones. Clase2. Geometría Euclidiana: Círculos y triángulos, propiedades y aplicaciones Clase 3. Trigonometría: Triángulos rectángulos, relaciones, aplicaciones. Clase 4. Representación de funciones algebraicas, exponenciales y trigonométricas, aproximación de funciones, aplicaciones Clase 5. Funciones continuas y discontinuas, representación. Aplicaciones Clase 6. . Pendientes y derivadas de funciones, máximos y mínimos, variaciones y limites, aplicaciones.

4. Programa de contenidos. Modulo 2. Clase 7. Calculo de áreas y volúmenes, ejemplos , problemas y aplicaciones. Clase 8. La geometría de tres dimensiones. Generación de figuras básicas, cuerpos simétricos, aplicaciones. Clase 9. Manipulación y ensamble de cuerpos tridimensionales, estimación de áreas y volúmenes, aplicaciones. Clase 10. Modelado de objetos y procesos mediante funciones. Aplicaciones.

5. Tabla de contenidos Observando la naturaleza e identificando formas. La necesidad de replicar formas. Figuras de diferentes tamaños El taller de Euclides Ángulos y Bisectrices Representaciones del espacio en 3D. Polígonos y cuadriláteros Aplicaciones (estudio de mecanismos) Polígonos irregulares Triángulos semejantes.

6. Observando la naturaleza e identificando sus formas.

7. Observando la naturaleza e identificando sus formas.

8. Observando la naturaleza e identificando sus formas.

9. Observando la naturaleza e identificando sus formas. Seguramente eso les ayudo a desarrollar la imaginación y a plantearse la posibilidad de hacer sus propias representaciones de los objetos en su entorno. Las líneas rectas y pequeños trazos curvos les permitieron representar paisajes animales y personas.

10. Observando la naturaleza e identificando sus formas. Desde luego las simetrías y los objetos redondos como el sol y la luna les llamaron profundamente la atención, luego descubrieron que había otros igualmente redondos, como piedras y frutos en los arboles. Así nació la idea del circulo y la necesidad de representarlo

11. La necesidad de replicar formas Cuando ellos pudieron replicar segmentos de rectas y círculos en las paredes de las cuevas, su imaginación les llevo a la idea de construir objetos que tuviesen esas formas. Lar ramas y varas de los arboles por un lado y el barro al que podían darle forma les permitió lograr su propósito Así nació la geometría.

12. Figuras de diferentes tamaños Desde luego que pronto se dieron cuenta que los objetos al igual que las figuras podían ser de diferentes tamaños y ello las a hacia distintas. De allí surgió la necesidad de crear medidas y usarlas en sus pinturas y construcciones.

13. El taller de Euclides

14. El taller de Euclides

15. La división del circulo Un hecho que llamo la atención a los hombres antiguos fue que además de su tamaño, los círculos podían dividirse en porciones o arcos de diferente “amplitud” surgiendo el concepto de amplitud o ángulo .

16. Ángulos iguales y bisectrices Una vez que los primeros estudiosos de la geometría pudieron partir el circulo en fracciones les dieron a estas particiones el nombre de ángulos. Saber si dos ángulos eran iguales y dividir un Angulo en dos porciones iguales se convirtieron en objetivos importantes.

17. La bisectriz de un ángulo

18. La bisectriz de un ángulo

19. La bisectriz de un ángulo

20. Ángulos iguales y comparación de ángulos.

21. La medición de los ángulos Los primeros pueblos que se interesaron en las fracciones fueron los babilonios, que utilizaron el numero 60 para dividir la unidad. De ellos heredamos los 360º = 60º x 6 para medir una circunvolución completa alrededor del circulo y partes de ella.

22. Las dimensiones del espacio Desde algún momento remoto, los hombres primitivos se percataron que mientras sus pinturas se podían trazar en una superficie plana, los objetos reales existían en un espacio diferente y mas amplio. No sabemos cuando, pero en algún momento ellos comenzaron a distinguir entre el espacio de dos dimensiones y el real de tres dimensiones. (ser consientes de esto fue un gran paso adelante).

23. Los polígonos En el plano los objetos reales se pueden aproximar por polígonos (varios lados) cerrados, diferentes a los polígonos abiertos que también les eran de utilidad en el trazo de escenarios. Los polígonos cerrados pueden ser construidos de manera que todos sus lados sean iguales.

24. Triángulos y cuadrángulos

25. Tetrágonos y rectángulos En estas dos figuras podemos observar la configuración inicial de un cuadrángulo y una posible deformación que no modifica la longitud der ninguno de sus lados

26. Tetrágonos y rectángulos

27. El pantógrafo ferroviario El pantógrafo ferroviario es un mecanismo articulado que transmite la energía eléctrica que proporciona la fuerza de tracción a locomotoras, trolebuses, tranvías y otros vehículos.

28. El pantógrafo Un pantógrafo es un mecanismo articulado basado en las propiedades de los paralelogramos; este instrumento dispone de unas varillas conectadas de tal manera que se pueden mover respecto de un punto fijo (pivote).

29. Movimientos de un mecanismo utilizado en los motores de combustión.

30. Movimientos de un mecanismo utilizado en los motores de combustión.

31. ¿Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares? Cuando nosotros construimos un cuadrilátero cualquiera, nos encontramos que al unir los puntos medios de sus lados, nos encontramos con un paralelogramo cuyos lados alternos son iguales.

32. Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares Cuando nosotros construimos un cuadrilátero cualquiera, nos encontramos con que al unir los puntos medios de sus lados, nos encontramos con un paralelogramo cuyos lados alternos son iguales.

33. Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares || ¿Sera esto cierto en todos los casos?

34. Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares ¿Sera esto cierto en todos los casos? En esta nueva figura hemos modificado la posición del vértice A a la de A’, el nuevo polígono formado con los puntos medios es también un nuevo paralelogramo, aunque el cambio de A fue arbitrario.

35. Que tan irregulares son los cuadriláteros irregulares ¿Sera esto cierto en todos los casos? Esto quiere decir, que si ahora modificamos la posición de cualquiera de los otros vértices arbitrariamente , los puntos medios de los lados seguirán definiendo nuevos paralelogramos.

36. Dividiendo un segmento en dos partes iguales

37. Dividiendo un segmento en varias partes iguales

38. Dividiendo un segmento en partes iguales

39. Dividiendo un segmento en varias partes iguales

40. Los triángulos Los polígonos cerrados mas simples que podemos construir son los triángulos, polígonos de tres lados, que tienen también tres ángulos. Su importancia en el desarrollo de las matemáticas y de la ciencia en general dio lugar al desarrollo de la trigonometría, que se centra de manera particular en los triángulos, uno de cuyos vértices forma un ángulo recto

41. Una propiedad de los triángulos Si nosotros tomamos un triangulo y medimos las aperturas de los tres ángulos en sus vértices, nos encontraremos que la suma de estos es 180º. Nuestro primer impulso, es pensar que se trata de una casualidad, pero lego vemos que no lo es, y entonces nos preguntamos si existirá alguno por allí que no cumpla esta regla.

42. Una propiedad de los triángulos Si nosotros tomamos un triangulo y medimos las aperturas de los tres ángulos en sus vértices, nos encontraremos que la suma de estos es 180º. Nuestro primer impulso, es pensar que se trata de una casualidad, pero lego vemos que no lo es, y entonces nos preguntamos si existirá alguno por allí que no cumpla esta regla.

43. Triángulos equiláteros e isósceles Los triángulos equiláteros son los que tienen sus tres lados iguales, su construcción es muy sencilla, ella puede observarse en la siguiente figura. La construcción de los triángulos isoceles,llamados así por tener dos de sus lados iguales es también sencilla como se ve en la figura siguiente.

44. La utilización de triángulos en la generación de polígonos regulares

45. Tarea Realizar con el taller de Euclides el trazo de un pentágono inscrito en un circulo.