MATRICES

1. Autora: Mª Soledad Vega Fernández Departamento de Matemáticas MATRICES

2. Departamento de Matemáticas Contenidos • Concepto de matriz. • Tipos de matrices. Matriz inversa • Operaciones con matrices. • Rango de una matriz.

3. Departamento de Matemáticas Matrices • Es un conjunto de números dispuestos en un cuadro de m filas y n columnas. • El tamaño de una matriz se describe por la cantidad de filas y columnas (m x n). EJEMPLOSde matrices: B = (3 4 5 7 0)

4. Departamento de Matemáticas Tiposde matrices: Matriz DIAGONAL: Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son iguales a 0 Matriz ESCALAR: Es una matriz diagonal en la que todos los elementos situados de la diagonal principal son iguales.

5. Departamento de Matemáticas Tiposde matrices: Matriz IDENTIDAD o UNIDAD (I) : Es una matriz diagonal, en la que todos los elementos de la diagonal principal son iguales a 1. MatrizCOLUMNA: Es una matriz con una sola columna (dim. m x 1). Matriz FILA: Es una matriz con una sola fila (dim.1x n). B = (3 4 5 7 0)

6. Departamento de Matemáticas Tiposde matrices: MatrizSIMÉTRICA: Es una matriz cuadrada que verifica que: MatrizTRIANGULARINFERIOR: Es una matriz cuadrada en la que los elementos sobre la diagonal principal son 0. Matriz TRIANGULAR SUPERIOR: Es una matriz cuadrada en la que los elementos bajo la diagonal principal son 0.

7. Si entonces Matriz INVERSAde la matriz M: Es una matriz que verifica que: M · = I Departamento de Matemáticas Tiposde matrices: Matriz NULA: Todossus elementos son iguales a 0. MatrizTRASPUESTAdeuna matriz M: Es la matriz que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas o viceversa.

8. Departamento de Matemáticas Operaciones con matrices: SUMA Dos matrices de la misma dimensión pueden sumarse o restarse. Ejemplo: La suma es unaoperación interna.

9. Para multiplicar una matriz por un número real k, se multiplica dicho número por todos y cada uno de los elementos de la matriz dada. El resultado es otra matriz de la forma . Departamento de Matemáticas Operaciones con matrices: PRODUCTO de una matriz cualquiera por un NÚMERO Ejemplo: El producto de una matriz por un nº es una operación externa.

10. Departamento de Matemáticas Operaciones con matrices: PRODUCTO El producto de dos matrices A y B cuyas dimensiones respectivas son m x n y n x r, es otra matriz de dimensión m x r cuyos términos tienen la forma: El producto es una operación interna.

11. Departamento de Matemáticas SUMA de matrices: PROPIEDADES • Asociativa: (A + B) + C = A +(B + C) • Elemento neutro: Matriz nula. A + 0 = A • Elemento simétrico: A + (-A) = 0 • Conmutativa: A + B = B + A El conjunto (M ,+) es un grupo conmutativo El conjunto (M ,+) es un grupo conmutativo

12. Departamento de Matemáticas Producto de una matriz por un nº real (escalar): PROPIEDADES • (α+ β ) · = α·+β·siendo α, βnº reales. 2. α·[] = α· + α· siendoαun nº real 3. α · (β· )=(α·β) · siendo α, βnº reales. 4. 1 · = Elconjunto (M ,+, ·R) es un espacio vectorial

13. Departamento de Matemáticas PRODUCTO de matrices: PROPIEDADES • Asociativa. ( A · B) · C = A · (B · C) • Distributiva. A · ( B + C ) = A · B + A · C • No se cumple la Conmutativa: • No todas tienen inversa. • Existen divisores de cero : El producto de dos matrices no nulas, puede ser la matriz nula. El conjunto (M , +, · )es un anillo

14. Rango A = 3 Rango B = 1 Departamento de Matemáticas RANGO de una matriz Es el número de filas o columnas de dicha matriz que son linealmente independientes. Modo de calcularlo(Método de Gauss):