Matematika Diskrit

Matematika Diskrit 3. MATRIKS, RELASI, DAN FUNGSI Kuliah 5 Dr.-Ing. Erwin Sitompul http://zitompul.wordpress.com

Pekerjaan Rumah (PR 4) BuktikanbahwauntuksembaranghimpunanAdanBberlaku: a) A(A  B) = AB b) A (A  B) = A B

Solusi Pekerjaan Rumah (PR 4) Solusi: a) A(A  B) = (AA)  (AB) Hk. Distributif = U (AB)Hk. Komplemen = AB Hk. Identitas b) A(A  B) = (AA) (AB) Hk. Distributif = (AB)Hk. Komplemen = AB Hk. Identitas

Matriks • Matriks adalah susunan elemen-elemen skalar dalam bentuk baris dan kolom. • Ukuran suatu matriks A dinyatakan dengan jumlah baris m dan jumlah kolom n, (m,n). • Matriks bujursangkar adalah matriks yang berukuran nn. • Contoh matriks, yang berukuran 34, adalah:

Matriks • Matriks simetri adalah matriks dengan aij = aji untuk setiap i dan j. • Matriks zero-one (0/1) adalah matriks yang setiap elemennya hanya bernilai 0 atau 1.

Relasi • Relasi biner R antara himpunan A dan B adalah himpunan bagian (improper subset) dari A  B. • Notasi: R (AB) • a R b adalah notasi untuk (a,b)  R, yang artinya relasi R menghubungkan a dengan b. • a R b adalah notasi untuk (a,b) R, yang artinya relasi R tidak menghubungkan a dengan b. • Himpunan A adalah daerah asal (domain) dari R.Himpunan B adalah daerah hasil (range) dari R.

Relasi • Contoh: • Misalkan A = { Amir, Budi, Cora } B = { Discrete Mathematics (DM), Data Structure and Algorithm (DSA), State Philosophy (SP), English III (E3) } • AB = { (Amir,DM), (Amir, DSA), (Amir,SP), (Amir,E3), (Budi,DM), (Budi, DSA), (Budi,SP), (Budi,E3), (Cora,DM), (Cora, DSA), (Cora,SP), (Cora,E3) } • Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa IT pada semester Mei-Agustus, yaitu: • R = { (Amir,DM), (Amir, SP), (Budi,DM), (Budi,E3), (Cora,SP) } • Dapat dilihat bahwa: • R (AB) • A adalah daerah asal R, B adalah daerah hasil R • (Amir,DM)  R atau Amir R DM • (Amir,DSA) R atau Amir RDSA

Relasi Contoh: Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 } Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p,q)  R jika p habis membagi q, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }.

Relasi • Relasi pada satu himpunan adalah suatu relasi yang khusus. • Relasi pada himpunan A adalah relasi dari AA. • Relasi pada himpunan A adalah himpunan bagian dari AA. Contoh: Misalkan R adalah relasi pada A = { 2,3,4,8,9 } yang didefinisikan oleh (x,y)  R jika x adalah faktor prima dari y, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,3),(3,9) }.

Representasi Relasi 1. Representasi dengan Diagram Panah

Representasi Relasi 2. Representasi dengan Tabel

Representasi Relasi 3. Representasi dengan Matriks • Misalkan R adalah relasi dari A = {a1,a2, …,am} dan B = {b1,b2, …,bn}. • Relasi R dapat disajikan dengan matriks M = [mij] dimana:

Representasi Relasi a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Cora, dan b1 = DM, b2 = DSA, b3 = SP, dan b4 = E3 p1 = 2, p2 = 3, p3 = 4, dan q1 = 2, q2 = 4, q3 = 8, q4 = 9, q5 = 15 a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, a4 = 8, a5 = 9

Representasi Relasi 4. Representasi dengan Graf (Graph) Berarah • Relasi pada satu himpunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph). • Graf berarah tidak didefinisikan untuk merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain. • Tiap anggota himpunan dinyatakan dengan sebuah simpul (vertex), dan tiap relasi dinyatakan dengan busur (arc). • Jika (a,b) R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebut simpul asal (initial vertex) dan simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex). • Pasangan relasi (a,a) dinyatakan dengan busur dari simpul a ke simpul a sendiri. Busur semacam itu disebut gelang (loop).

Representasi Relasi Contoh: Misalkan R = { (a,a),(a,b),(b,a),(b,c),(b,d),(c,a),(c,d),(d,b) } adalah relasi pada himpunan { a,b,c,d }, maka R dapat direpresentasikan dengan graf berarah sbb:

Relasi Biner • Relasi-relasi pada satuhimpunandisebut juga relasi biner. • Relasi biner memiliki sifat-sifat: • Refleksif (reflexive) • Menghantar (transitive) • Simetris (symmetric) dan anti simetris (antisymmetric)

Relasi Biner 1. Refleksif (Reflexive) • Relasi R pada himpunan A disebut refleksif jika (a,a) R untuk setiap aA. • Relasi R pada himpunan A tidak refleksif jika adaaA sedemikiansehingga (a,a) R. Contoh: Misalkan A = {1,2,3,4}, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a) RelasiR = {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4) } bersifat refleksif karena terdapat anggota relasiyang berbentuk (a,a) untuk tiap a yang mungkin, yaitu (1,1),(2,2),(3,3), dan (4,4). (b) Relasi R = {(1,1),(2,2),(2,3),(4,2),(4,3),(4,4) } tidakrefleksif karena (3,3) R.

Relasi Biner Contoh: Diberikan relasi “habis membagi” untuk himpunan bilangan bulat positif. Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak? Setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri (a,a)R untuk setiap a A  relasi bersifat refleksif Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4, T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat refleksif atau tidak? Stidakrefleksif, karena walaupun (2,2) adalah anggota S, ada (a,a) S untuk aN,seperti (1,1), (3,3). Ttidakrefleksif karena bahkan tidak ada satu pun (a,a) Tyang memenuhi relasi tersebut.

Relasi Biner • Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, atau mii = 1, untuk i = 1, 2, …, n. • Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan dengan adanya gelang pada setiap simpulnya.

Relasi Biner 2. Menghantar (Transitive) • Relasi R pada himpunan A disebut menghantarjika (a,b) R dan (b,c) R, maka (a,c) R untuk semua a, b, cA.

Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1, 2, 3, 4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a)R = { (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3) } bersifat menghantar. (b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } tidak menghantar karena (2,4) dan (4,2) R, tetapi (2,2) R, juga (4,2) dan (2,3) R, tetapi (4,3) R. (c)R = { (1,2), (3,4) } bersifat menghantar karena tidak ada pelanggaran untuk aturan { (a,b) R dan (b,c) R }  (a,c) R. Relasi yang hanya berisi satu elemen seperti R = { (4,5) } selalu menghantar.

Relasi Biner Contoh: Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar atau tidak? Bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c, maka pasti a habis membagi c. { a R b  b R c }  a R c Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4, T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat menghantar atau tidak? Stidakmenghantar, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S, tetapi (3,3) dan (1,1) bukan anggota S. T= { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidakmenghantar karena (3,7) R.

Relasi Biner 3. Simetris (Symmetric) dan Anti Simetris (Antisymmetric) • Relasi R pada himpunan A disebut simetris jika (a,b)  R, maka (b,a)  R untuk semua a,b A. • Relasi R pada himpunan Atidak simetris jika (a,b)  R sedemikian sehingga (b,a)  R. • Relasi R pada himpunan A sedemi-kian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R hanya jika a = b untuk a,b A disebut anti simetris. • Relasi R pada himpunan Atidak anti simetris jika ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R. Relasi Simetris Relasi Anti Simetris

Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (a)R = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,4),(4,2),(4,4) } bersifat simetris, karena jika (a,b)  R maka juga (b,a)  R. Disini, (1,2) dan (2,1)  R, begitu juga (2,4) dan (4,2)  R. bersifat tidak anti simetris, karena misalnya (1,2)  R dan (2,1)  R padahal 1  2. (b) R = { (1,1),(2,3),(2,4),(4,2) } bersifat tidaksimetris, karena (2,3) R, tetapi (3,2) R. bersifat tidak anti simetris, karena terdapat (2,4)  R dan (4,2)  R padahal 2  4.

Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (c)R = { (1,1),(2,2),(3,3) } bersifat simetris dan anti simetris, karena (1,1) R dan 1 = 1, (2,2) R dan 2 = 2, dan (3,3) R dan 3 = 3. (d)R = { (1,1),(1,2),(2,2),(2,3) } bersifat tidaksimetris, karena (2,3) R, tetapi (3,2) R. bersifat anti simetris, karena (1,1) R dan 1 = 1 dan, (2,2) R dan 2 = 2.

Relasi Biner Contoh: Misalkan A = { 1,2,3,4 }, dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka: (e) R = { (1,1),(2,4),(3,3),(4,2) } bersifat simetris. bersifat tidak anti simetris, karena terdapat (2,4) dan (4,2) pada Rpadahal 2  4. (f)R = { (1,2),(2,3),(1,3) } bersifat tidak simetris. bersifat anti simetris, karena tidak ada elemen berbeda a dan b sedemikian sehingga (a,b)  R dan (b,a)  R.

Relasi Biner Relasi R = { (1,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,2),(4,4)} tidak simetris dan tidak anti simetris. Rtidak simetris, karena (4,2) R tetapi (2,4) R. Rtidak anti simetris,karena (2,3) R dan (3,2) R tetapi 2  3.

Relasi Biner Contoh: Apakah relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat simetris? Anti simetris? Bersifat tidak simetris, karena jika a habis membagi b, maka b tidak habis membagi a, kecuali jika a = b. Contohnya, 2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis membagi 2. Karena itu, (2,4) R tetapi (4,2) R. Bersifat anti simetris, karena jika a habis membagi b, dan b habis membagi a, maka hanya berlaku untuk a = b. Contohnya, 3 habis membagi 3, maka (3,3) Rdan 3 = 3.

Relasi Biner Contoh: Diberikan relasi pada himpunan bilangan bulat positif N: S : x + y = 4, T : 3x + y = 10 Apakah relasi ini bersifat simetris? Anti simetris? Sbersifatsimetris, karena misalkan (3,1) dan (1,3) adalah anggota S. Sbersifattidak anti simetris, karena walaupun terdapat(2,2) R, terdapat pula { (3,1),(1,3) } R padahal 3  1. T= { (1,7),(2,4),(3,1) }  tidak simetris. T= { (1,7),(2,4),(3,1) }  anti simetris.

Inversi Relasi Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, maka Inversi dari relasi R, dilambangkan dengan R–1, adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh: R–1 = { (b,a) | (a,b) R }.

Inversi Relasi Contoh: Misalkan P = { 2,3,4 } Q = { 2,4,8,9,15 }. Jika didefinisikan relasi R dari P ke Q dengan: (p,q)  R jika p habis membagi q, maka akan diperoleh: R = { (2,2),(2,4),(2,8),(3,9),(3,15),(4,4),(4,8) }. R–1 adalah inversi dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P dengan: (q,p) R–1 jika q adalah kelipatan dari p. Maka akan diperoleh: R–1 = { (2,2),(4,2),(8,2),(9,3),(15,3),(4,4),(8,4) }.

Inversi Relasi Jika M adalah matriks yang merepresentasikan R, maka matriks yang merepresentasikan R–1, misalkan N, adalah transpose dari matriks M. N = MT berarti bahwa baris-baris dari M menjadi kolom-kolom dari N

Pekerjaan Rumah (PR5) No.1: Untuk tiap-tiap relasi berikut pada himpunan A = { 1,2,3,4 }, tentukanlah apakah relasi tersebut refleksif, apakah menghantar, apakah simetris, dan apakah anti simetris: (a)R = { (2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4) } (b) S = { (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4) } (c) T = { (1,2),(2,3),(3,4) } No.2: Representasikan relasi R, S, dan T dengan menggunakan matriks dan graf berarah.

Matematika Diskrit