Matematika Diskrit

1. Matematika Diskrit Teori Graf

2. Sejarah Graf Makalah pertama tentang teori graf ditulis pada tahun 1736 oleh seorang matematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Ia menggunakan teori graf untuk menyelesaikan masalah jembatan Königsberg (sekarang, bernama Kaliningrad). Berikut adalah ilustrasi masalah tersebut : Gambar 1. Masalah Jembatan Königsberg (Rossen, 2003)

3. Sejarah Graf Masalah yang dikemukakan Euler : Dapatkah melewati setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula? Berikut adalah sketsa yang merepresentasikan ilustrasi jembatan Königsberg yang pada gambar diatas. Himpunan titik yaitu {A, B, C, D} merepresentasikan sebagai daratan, dan garis yang menghubungkan titik-titik tersebut adalah sebagai jembatan. Gambar 2. Representasi graf masalah jembatan Königsberg

4. Sejarah Graf Jawaban pertanyaan Euler adalah tidak mungkin. Agar bisa melalui setiap jembatan tepat sekali dan kembali lagi ke tempat semula maka jumlah jembatan yang menghubungkan setiap daratan harus genap.

5. Teori Graf Graf adalah suatu diagram yang memuat informasi tertentu jika diinterprestasikan secara tepat. Tujuannya adalah sebagai visualisasi objek – objek agar lebih mudah dimengerti. Tiap – tiap diagram memuat sekumpulan objek (kotak, titik, dan lain – lain) beserta garis – garis yang menghubungkan objek – objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah menyatakan objek dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis.

6. Dasar – Dasar Graf Definisi 1 Suatu graf terdiri dari 2 himpunan yang berhingga, yaitu himpunan titik – titik tidak kosong (simbol V(G)) dan himpunan garis – garis (simbol E(G)). Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), di tulis dengan notasi G = (V, E), yang dalam hal ini V adalah himpunan tidak-kosong dari simpul – simpul (vertice and node) dan E adalah himpunan sisi (edges and arcs) yang menghubungkan sepasang simpul.

7. Dasar – dasar Graf v Definisidiatasmenyatakanbahwa V tidakbolehkosong, sedangkan E bolehkosong. Jadi, sebuahgrafdimungkinkantidakmempunyaisisisatubuah pun, tetapisimpulnyaharusada, minimal satu. Graf yang hanyamempunyaisatubuahsimpultanpasebuahsisidinamakanGraf Trivial. Graf dinyatakandengangambar. Gambarsuatu Graf G terdiridarihimpunantitik – titikatausimpul V(G), himpunangaris – garisatausisi yang dinyatakandengan E(G) yang menghubungkantitiktersebut (besertaarahgarispadagrafberarah), dan label padagarisnya (jikaada).

8. Dasar – dasar Graf v Simpulpadagrafdapatdinomoridenganhuruf, sepertia, b, c, …., v, w, … denganbilanganasli 1, 2, 3, … , ataugabungandarikeduanya. Sedangkansisi yang menghubungkansimpuludengansimpulvdinyatakandenganpasangan(u,v) ataudinyatakandenganlambange1, e2, … Dengankata lain, jikaeadalahsisi yang menghubungkansimpuludanv,maka e dapatditulissebagai e = (u,v)

9. Secarageometrigrafdigambarkansebagaisekumpulannoktah (simpul) yang dihubungkandengansejumlahgaris. Dan berikutadalahbeberapacontoh Graf.

10. Dasar – dasar Graf • Setiapgarisberhubungandengansatuatauduatitik. Titik – titiktersebutdinamakanTitik Ujung. • Garis yang hanyaberhubungandengansatutitikujungdisebutLoop. • Duagarisberbeda yang menghubungkantitik yang samadisebutGarisParalel. • DuatitikdikatakanBerhubungan (adjacent) jikaadagaris yang menghubungkankeduanya.

11. Dasar – dasar Graf • Titik yang tidakmemilikigaris yang berhubungandengannyadisebutTitikTerasing(Isolating Point) • Graf yang tidakmemilikititik (sehinggatidakmemilikigaris) disebutGraf Kosong.

12. Perhatikangambarberikutini: Gambartesebutmemperlihatkantigabuahgraf, G1, G2, danG3.

13. G1 adalahgrafdenganhimpunansimpulVdanHimpunansisiEadalah : V (G) = {1, 2, 3, 4} E (G) = {(1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (3,4)} G2 adalahgrafdenganhimpunansimpulVdanHimpunansisiEadalah : V (G) = {1, 2, 3, 4} E (G) = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4)} Himp. Ganda. = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

14. G3 adalahgrafdenganhimpunansimpulVdanHimpunansisiEadalah : V (G) = {1, 2, 3, 4} E (G) = {(1,2), (2,3), (1,3), (1,3), (2,4), (3,4), (3,4), (3, 3)} Himp. Ganda = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8} • Pada G2, sisi e3 = (1,3) dansisi e4 = (1,3) dinamakanSisiGanda(Multiple edges atauparaleladges) karenakeduasimpulmenghubungkanduabuahsimpul yang sama, yaitusimpul 1 dengansimpul 3. • Pada G3, sisi e8 = (3,3) dinamakanGelangatauKalangataudisebutjugasebagaiLoop, karenadiaberawaldanberakhirdisimpul yang sama.

15. ContohSoal Ada 7 kota (A,..,G) yang beberapadiantaranyadapatdihubungkansecaralangsungdenganjalandarat. Hubungan – hubunganlangsung yang dapatdilakukanadalahsebagaiberikut : A dengan B A dengan D B dengan D C dengan B E dengan F Buatlahgraf yang menunjukankeadaantransportasidi 7 kotatesebut:

16. ContohSoal Penyelesaian : Misalkankota – kotadianggapsebagaititik – titik. Duatitik / ataulebihdihubungkandengangarisbiladanhanyabilaadajalan yang menghubungkanlangsungkeduakotatersebut. Untukitukeadaantransportasidalamkotatersebutadalahsebagaiberikut : Dalamgraftersebut, e1 berhubungandengantitik A dan B (keduanyadisebuttitikujung e1). Titik A danBdikatakanberhubungan, sedangkantitik A dan C tidakberhubungankarenatidakadagaris yang menghubungkannyasecaralangsung. Titik G adalahtitikterasingkarenatidakadagaris yang berhubungandengan G.

17. Soallatihan Gambarlah Graf G dengantitik V(G) = {V1, V2, V3, V4} dangaris E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5} dengantitik-titikujungberikut :

18. Soallatihan Gambarlah Graf G dengantitik V(G) = {V1, V2, V3, V4, V5, V6} dangaris E(G) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6} dengantitik-titikujungberikut :

19. Soallatihan Dalamgraf G padagambarberikut, tentukan : • Himpunantitik – titik, himpunangaris – garis, titik – titikujungmasing – masinggaris, dangarisparalel. • Loop dantitikTerasing.

20. Jenis – jenis graf • Graf Sederhana (Simple graf) adalah graf yang tidak mengandung Loop maupun Garis Paralel. Graf d bawah ini adalah contoh graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan tak-terurut (Unordered Pairs). Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u). Kita juga dapat mendeskripsikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang berbeda yang disebut sisi.

21. Jenis – jenis Graf • Graf tak sederhana (Unsimple-graph), adalah graf yang mengandung garis paralel atau Loop. Ada dua macam Graf tak sederhana, yaitu : • Graf Ganda (MultiGraph), adalah graf yang mengandung sisi ganda (garis paralel). Sisi ganda yang menghubungkan sepasang simpul bisa lebih dari dua buah.

22. Jenis – jenis graf 2. Graf Semu (Pseudograph), adalah graf yang mengandung Loop. Contoh geaf di bawah ini disebut graf semu walaupun memiliki sisi ganda sekalipun.

23. Jenis – jenis graf Sisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah, berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf dibedakan atas 2 jenis : • Graf Tak Berarah , adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut graf tak berarah. Pada graf tak – berarah, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di perhatikan. Jadi (u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama.

24. Jenis – jenis graf • Graf Berarah , adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Sisi berarah disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v) dan (v,u) menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk simpul (u,v), simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v disebut sebagai Simpul Terminal.