MATEMATIKA DISKRIT

1. MATEMATIKA DISKRIT FITRI UTAMININGRUM, ST, MT

2. Tujuan Instruksional khusus • Memahami tentang logika proposional • Memahami tentang penggunaan operator logika pada proposisi • Memahami tentang ekuivalensi pada logika proposional

3. Logika • Logika adalah dasar dari penjabaran matematika (mathematical reasoning) • Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar • Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Contoh: Dino adalah mahasiswa UB. Semua mahasiswa UB pandai. Dino orang pandai. • Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar.

4. Proposisi • Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb. • Biasanya berbentuk kalimat deklaratif Contoh proposisi: • Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23 proposisi primitip(primitif ) • Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tenis proposisi majemuk(composite). Contoh bukan proposisi: • Berapa harga tiket ke Malaysia? • Silakan duduk.

5. MACAM PROPOSISI • Kalimat deklaratif yang tidak memuat penghubung disebut proposisi primitif(primitif ) • Kalimat deklaratif yang memuat penghubung ”atau” dan ”jika...maka...” disebut proposisi majemuk (composite).

6. Konektif • Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compoundproposition) dengan menggunakan konektif • Macam-macam konektif: • AND (konjungsi) Simbol ^ • Inclusive OR (disjungsi) Simbol v • Exclusive OR Simbol  • NOT (negasi) Simbol  • Implikasi Simbol  • Implikasi ganda Simbol 

7. Tingkat Presedensi • NEGASI (NOT) • KONJUNGSI (AND) • DISJUNGSI (OR, XOR) • IMPLIKASI • IMPLIKASI GANDA Catatan: mengatasi tingkat presedensi dengancara memberikan kurung di pada proposisi yang ingin didahulukan

8. Tabel KebenaranKonjungsi Contoh : • p = Harimau adalah binatang buas • q = Malang adalah ibukota Jawa Timur • p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur • p ^ q salah. • Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitanantara p dan q

9. Tabel KebenaranDisjungsi (Inclusive OR) Contoh: • p = Jono seorang mahasiswa • q = Mira seorang sarjana hukum • p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum

10. Tabel KebenaranExclusive Disjunction • “Either p or q” (but not both), dengan simbol p  q • p  q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah, atau p salah dan q benar • p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer" • p  q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer"

11. Tabel KebenaranNegasi Contoh: • p = Jono seorang mahasiswa • p = Jono bukan seorang mahasiswa

12. Kalimat majemuk (compound statements) • p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements) • Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai. • Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti: • (pq)^r • p(q^r) • (p)( q) • (pq)^( r) • dll

13. HITUNG Lengkapilahtabeldibawahinisertaberikankesimpulanakhirnya

14. Tabel Kebenaran (p r)q

15. Implikasi • Disebut juga proposisi kondisional (conditionalproposition) dan berbentuk “jika p maka q” • Notasi simboliknya : p  q • Contoh: • p = Jono seorang mahasiswa • q = Mira seorang sarjana hukum • p  q = Jika Jono seorang mahasiswa maka • Mira seorangsarjana hukum

16. Tabel KebenaranImplikasi

17. Hypotesa dan konklusi • Dalam implikasi p  q p disebut antecedent, hypothesis, premise q disebut konsekuensi atau konklusi (consequent,conclusion)

18. Perlu dan Cukup • Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. • Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. • Perlu = necessary; Cukup = sufficient • Contoh: • Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum • Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum • Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa

19. Tabel kebenaranImplikasi Ganda (Biimplikasi) • Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q” • Notasi simboliknya p  q

20. KESIMPULAN BIIMPLIKASI • p  q ekivalen dengan (p  q)^(q  p)

21. Ekivalensi Logikal • Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent). • Contoh:  p  q ekivalen (logically equivalent to) p  q

22. Konversi dan Inversi • Konversi dari p  q adalah q  p • Inversi dari p  q adalah  p   q • Apakah Konversi dan Inversi diatas equivalent??? BUKTIKAN!!!!

23. PEMBUKTIAN • p  q tidak ekivalen q  p • p  q tidak ekivalen  p   q

24. Kontrapositif • kontrapositif dari proposisi p  q adalah  q   p • Buat Tabel Kebenarannya dan apakah p  q dan  q   p ekivalen???

25. JAWAB KONTRAPOSITIF • p  q dan  q   p ekivalen

26. Ekivalensi Logika

27. Ekivalensi Logika

28. Ekivalensi Logika

29. Tautology • Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun • Contoh: p  p v q

30. Kontradiksi • Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun • Contoh : p ^ p

31. Latihan-1 • Dari bbrpkalimatdibawahinimana yang termasukproposisi ? Tentukannilaikebenarandariproposisitsb. • 7 merupakansebuahbilangan prima. • Janganlakukan. • Jika 10 habisdibagidengan 4, makajugahabisdibagidengan 2. • x + y = y + x untuksetiappasangandaribilangan real x dan y • Jam berapasekarang?

32. Latihan 2. Tentukan apakah (p  (p  q))  q adalah tautologi? 3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen dari ketiga logika berikut? a. p  q b. (p  q)  (p  q) c. (p  q) ^ (q  p)