MATEMATIKA DISKRIT
MATEMATIKA DISKRIT. FITRI UTAMININGRUM, ST, MT. Tujuan Instruksional khusus. Memahami tentang logika proposional Memahami tentang penggunaan operator logika pada proposisi Memahami tentang ekuivalensi pada logika proposional. Logika.
MATEMATIKA DISKRIT
E N D
Presentation Transcript
MATEMATIKA DISKRIT FITRI UTAMININGRUM, ST, MT
Tujuan Instruksional khusus • Memahami tentang logika proposional • Memahami tentang penggunaan operator logika pada proposisi • Memahami tentang ekuivalensi pada logika proposional
Logika • Logika adalah dasar dari penjabaran matematika (mathematical reasoning) • Logika mempelajari penjabaran (reasoning) secara benar • Fokus pada relasi antar pernyataan (statement) / kalimat (sentence). Contoh: Dino adalah mahasiswa UB. Semua mahasiswa UB pandai. Dino orang pandai. • Perhatikan bahwa logika tidak harus memperhatikan isi kalimat; jika diketahui bahwa dua kalimat pertama di atas benar, maka kalimat ketiga harus benar.
Proposisi • Proposisi merupakan sebuah pernyataan atau kalimat yang punya nilai kebenaran (benar = 1 / salah = 0). Proposisi disimbolkan dengan huruf p, q, dsb. • Biasanya berbentuk kalimat deklaratif Contoh proposisi: • Bilangan bulat yang membagi habis 23 adalah 1 dan 23 proposisi primitip(primitif ) • Taufik Hidayat pandai main bulu tangkis atau tenis proposisi majemuk(composite). Contoh bukan proposisi: • Berapa harga tiket ke Malaysia? • Silakan duduk.
MACAM PROPOSISI • Kalimat deklaratif yang tidak memuat penghubung disebut proposisi primitif(primitif ) • Kalimat deklaratif yang memuat penghubung ”atau” dan ”jika...maka...” disebut proposisi majemuk (composite).
Konektif • Jika p dan q adalah proposisi, dapat dibentuk proposisi (majemuk) baru (compoundproposition) dengan menggunakan konektif • Macam-macam konektif: • AND (konjungsi) Simbol ^ • Inclusive OR (disjungsi) Simbol v • Exclusive OR Simbol • NOT (negasi) Simbol • Implikasi Simbol • Implikasi ganda Simbol
Tingkat Presedensi • NEGASI (NOT) • KONJUNGSI (AND) • DISJUNGSI (OR, XOR) • IMPLIKASI • IMPLIKASI GANDA Catatan: mengatasi tingkat presedensi dengancara memberikan kurung di pada proposisi yang ingin didahulukan
Tabel KebenaranKonjungsi Contoh : • p = Harimau adalah binatang buas • q = Malang adalah ibukota Jawa Timur • p ^ q = Harimau adalah binatang buas dan Malang adalah ibukota Jawa Timur • p ^ q salah. • Perhatikan bahwa tidak perlu ada keterkaitanantara p dan q
Tabel KebenaranDisjungsi (Inclusive OR) Contoh: • p = Jono seorang mahasiswa • q = Mira seorang sarjana hukum • p v q = Jono seorang mahasiswa atau Mira seorang sarjana hukum
Tabel KebenaranExclusive Disjunction • “Either p or q” (but not both), dengan simbol p q • p q bernilai benar hanya jika p benar dan q salah, atau p salah dan q benar • p = "John is programmer, q = "Mary is a lawyer" • p q = "Either John is a programmer or Mary is a lawyer"
Tabel KebenaranNegasi Contoh: • p = Jono seorang mahasiswa • p = Jono bukan seorang mahasiswa
Kalimat majemuk (compound statements) • p, q, r merupakan kalimat / pernyataan sederhana (simple statements) • Apabila ada dua buah proposisi misalkan proposisi A dan proposisi B maka dapat dibentuk proposisi baru (Compound Proposition) dengan menggunakan konektor atau perangkai. • Beberapa contoh bentukan compound statements, seperti: • (pq)^r • p(q^r) • (p)( q) • (pq)^( r) • dll
HITUNG Lengkapilahtabeldibawahinisertaberikankesimpulanakhirnya
Implikasi • Disebut juga proposisi kondisional (conditionalproposition) dan berbentuk “jika p maka q” • Notasi simboliknya : p q • Contoh: • p = Jono seorang mahasiswa • q = Mira seorang sarjana hukum • p q = Jika Jono seorang mahasiswa maka • Mira seorangsarjana hukum
Hypotesa dan konklusi • Dalam implikasi p q p disebut antecedent, hypothesis, premise q disebut konsekuensi atau konklusi (consequent,conclusion)
Perlu dan Cukup • Kondisi “perlu” dinyatakan oleh konklusi. • Kondisi “cukup” dinyatakan oleh hipotesa. • Perlu = necessary; Cukup = sufficient • Contoh: • Jika Jono seorang mahasiswa maka Mira seorang sarjana hukum • Kondisi perlu: Mira seorang sarjana hukum • Kondisi cukup: Jono seorang mahasiswa
Tabel kebenaranImplikasi Ganda (Biimplikasi) • Implikasi Ganda (double implication) dibaca “p jika dan hanya jika q” • Notasi simboliknya p q
KESIMPULAN BIIMPLIKASI • p q ekivalen dengan (p q)^(q p)
Ekivalensi Logikal • Dua proposisi yang tabel kebenarannya identik disebut ekivalen (logically equivalent). • Contoh: p q ekivalen (logically equivalent to) p q
Konversi dan Inversi • Konversi dari p q adalah q p • Inversi dari p q adalah p q • Apakah Konversi dan Inversi diatas equivalent??? BUKTIKAN!!!!
PEMBUKTIAN • p q tidak ekivalen q p • p q tidak ekivalen p q
Kontrapositif • kontrapositif dari proposisi p q adalah q p • Buat Tabel Kebenarannya dan apakah p q dan q p ekivalen???
JAWAB KONTRAPOSITIF • p q dan q p ekivalen
Tautology • Proposisi yang selalu bernilai benar (true) dalam keadaan apapun • Contoh: p p v q
Kontradiksi • Proposisi yang selalu bernilai salah (false) dalam keadaan apapun • Contoh : p ^ p
Latihan-1 • Dari bbrpkalimatdibawahinimana yang termasukproposisi ? Tentukannilaikebenarandariproposisitsb. • 7 merupakansebuahbilangan prima. • Janganlakukan. • Jika 10 habisdibagidengan 4, makajugahabisdibagidengan 2. • x + y = y + x untuksetiappasangandaribilangan real x dan y • Jam berapasekarang?
Latihan 2. Tentukan apakah (p (p q)) q adalah tautologi? 3. Tunjukkan bahwa manakah yang ekivalen dari ketiga logika berikut? a. p q b. (p q) (p q) c. (p q) ^ (q p)
