1. Robótica Prof. Reinaldo Bianchi Centro Universitário da FEI 2013

2. 3aaula Parte A 3ª aula completa para a graduação

3. Objetivos desta aula • Sistemas de Referência • Coordenadas Homogêneas. • Transformações entre sistemas de coordenadas. • Cinemática de manipuladores: • Modelo geométrico de um manipulador. • Modelo de Denavit-Hartenberg. • Cinemática direta. • Capítulos 2 e 3 de “ Introduction to Robotics”, de J. J. Craig.

4. Introdução

5. Introdução • Para realizar o controle do manipulador é necessário o estudo do seu funcionamento mecânico. • Mecânica = • dinâmica + • estática + • cinemática!

6. Cinemática • Cinemática é o estudo do movimento dos robôs sem levar em conta as forças e as massas envolvidas. • Envolve apenas: • posição, • velocidade, • aceleração • e suas derivadas.

7. O problema central da cinemática • O problema central da cinemática é como definir a posição do robô: • Cinemática direta: • A partir das posições das articulações, encontrar a posição e orientação da ferramenta no espaço cartesiano da base. • Cinemática inversa: • Definir as posições das articulações, dada uma posição e orientação desejada para a ferramenta.

8. Atuador Z . . . n i 2 Y 1 Base O X O problema central px ,py, pz    Variáveis das Juntas Variáveis no espaço cartesiano Direta x (Juntas) (Cartesiano) Inversa

9. Solucionando a Cinemática • Para solucionar os problemas de cinemática direta e inversa, “basta” saber computar as relações matemáticas entre as posições de cada elo: • Adota-se um sistema de coordenadas por elo. • Utiliza-se conceitos de álgebra linear ...

10. Descrições Espaciais e Transformações Capítulo 2 do Craig.

11. Descrições espaciais • Uma descrição é uma matriz utilizada para descrever os objetos com os quais um manipulador deve tratar. • A descrição de uma posição é uma matriz 3 x 1:

12. Descrições espaciais (II) • A descrição de uma orientação é uma matriz de rotação 3 x 3: • Denota a diferença entre a orientação desejada e um sistema de coordenadas qualquer:

13. {A} ZA AP XA Descrição de umaposição YA

14. {B} ZB AP {A} ZA BP YB APBORG XB YA XA Translação x0 = x1 + xf, y0 = y1 + yf.

15. YA y0 YB XB x1 y1 x0 XA Rotação 2D 

16. ZA BP ZB YB YA XA XB Rotação 3D

17. Matrizes de rotaçãoparciais 3D

18. {A} XB αZ αY αX De {A}para {B} Pode-se concluirque:

19. Sistemas de Referências (Frames) • Um sistema de referência é uma descrição da posição e orientação de um objeto de maneira conjunta. • É composto por 4 matrizes, que eqüivalem a uma matriz de posição (origem do sistema) e uma matriz de rotação.

20. Sistemas de Referências (Frames) • Como visto na segunda aula, existem diversos sistemas de referências utilizados: • Sistema de coordenadas do mundo. • Sistema de coordenadas de juntas. • Sistema de coordenadas do ponto de montagem. • Origem do sistema: Centro do Atuador.

21. Sistema do mundo (Base)

22. Sistema da garra

23. Sistemas com nomes definidos. Base, Wrist, Tool, Station, Goal

24. Sistemas com nomes definidos.

25. z y x x y z Mapeamento entre 2 sistemas • A relação entre dois sistemas quaisquer é conseguida com uma translação e uma rotação.

26. Mapeamento • Se {A} possui a mesmaorientação de {B}, então {B} difere de {A} porumatranslaçãoAPBORG: AP = BP + APBORG • Mapeamento: a mudança de descrição de um frame paraoutro. • O vetorAPBORG define um mapeamento.

27. BP AP XB ZA ZB APBORG YB YA XA Mapeamentos gerais:Translação + Rotação 2D {A} Qual a matriz que implementa esta transformação???

28. Matriz de transformação homogênea

29. Coordenadas Homogêneas • A matemática para implementar a composição de translação e rotação se torna complicada quando se deseja realizar diversas operações. • Fato comum em Álgebra Linear, usada em Robótica e Computação Gráfica. • Matrizes de transformações homogêneas permitem compor transformações de maneira elegante: • Rotações, Translações e Escalas. • Em qualquer dimensão do espaço.

30. Coordenadas Homogêneas • Uma representação homogênea de um vetor n-dimensional utiliza um vetor com n+1 elementos. • O vetor real é obtido dividindo-se todos os elementos pelo elemento n+1. • O elemento n+1é um fator de escala.

31. Matriz homogênea • Um conjunto de transformações no mundo 2D pode ser representada completamente por uma matriz 3 x 3:

32. 3x3 rotationmatrix 3x1 translation matrix perspective global scale Matriz de Transformação Homogênea 3D

33. Exemplo • Um frame{B} se encontra rotacionado com relação a um frame{A} por 30 graus (sobre o eixo z), e transladado de 10 unidades no eixo x e 5 unidades no eixo y. • Dado que um ponto se encontra na posição (3,7) no frame{B}, onde ele se encontra no frame{A}?

34. Exemplo • Dado que: • Usamos a definição e encontramos:

35. Interpretações da matriz de transformação homogênea. • O mapeamento muda a descrição de um ponto de um sistema de coordenadas para o outro. • No mapeamento, o ponto não é modificado: somente sua descrição se altera.

36. Cinemática de manipuladores Capítulo 3 do Craig.

37. Definição mecânica de um manipulador • Um manipulador pode ser representado por n corpos rígidos móveis e um corpo fixo, ligados por n juntas (ou articulações), formando uma estrutura de cadeia. • Teoria de elementos (ou corpos rígidos) é muito bem fundamentada na engenharia mecânica.

38. Definição mecânica de um manipulador • Um manipulador é uma cadeia cinética composta por: • Elos (Links): • Os corpos da cadeia. • Juntas (Joints): • As articulações entre os corpos. • Conectam os elos e permitem a realização de movimentos de um elo em relação ao elo anterior.

39. Exemplo de manipulador: PUMA

40. Elos (Links) • Um elo (link) é um corpo rígido que define uma relação entre duas juntas adjacentes de um manipulador. • Elos são numerados em ordem crescente, iniciando pela base do manipulador: • A base imóvel é o elo 0 • A primeira parte móvel é o elo 1, • ...

41. Numeração dos elos Elo 2 Elo 1 Elo 3 Elo 0

42. Juntas ou Articulações • Juntas (ou articulações) são definidas por vetores no espaço 3D: • A junta i é definida pelo vetor no espaço sobre o qual o elo i rotaciona (ou translada) em relação ao elo i - 1. • São numeradas a partir do primeiro elo.

43. Juntas • Todas podem ser produzidas a partir de duas: Revolução (R) e Prismática (P) Sliding pair – Prismatic (P) Rotating pair – Revolute (R)

44. Tipos de juntas • Revolução (R): • 1 Dof (Rotação) • Prismática (P): • 1 Dof (Translação) • Cilindrica (C): • 2 Dof (Rotação + Translação) • Helicoidal (H) • 1 Dof (Rotação/ Translação com acoplamento) • Planar (E) • 2 Dof (Translação em 2 direções) • Esférica (S) • 3 Dof (Rotação em 3 direções)

45. Seis possíveis juntas

46. Configuração de algunsrobôs Cartesian: PPP Cylindrical: RPP Spherical: RRP Hand coordinate: n: normal vector; s: sliding vector;a: approach vector Articulated: RRR SCARA: RRP

47. Junta 2 J 3 Junta 4 Junta 6 J 1 Junta 5 Numeração das Juntas Elo 2 Elo 1 Elo 3 Elo 0

48. Parâmetros dos elos • Um elo é especificado por dois parâmetros que definem a posição relativa e a orientação dos eixos da junta incidente no elo: • O comprimento do elo (link lenght), denominado a. • A torção do elo (link twist), denominado .

49. Comprimento do elo ai-1 • O comprimento do elo é a distância entre os eixos das suas juntas ao longo de uma linha mutualmente perpendicular aos eixos das juntas. • Esta perpendicular mútua sempre existe e é única, exceto no caso onde os eixos das juntas são paralelos... • Neste caso existem infinitas perpendiculares de tamanho idêntico.

50. Torção do elo ai-1 • A torção de um elo é o ângulo entre as projeções dos eixos das juntas em um plano cuja normal é mutualmente perpendicular aos eixos. • Este ângulo é medido do eixoi-1 para o eixo i usando a regra da mão direita sobre a perpendicular mútua.