III M

1. III M Luca Mancin & Andrea Pesando presentano... LE CONICHE

2. SEZIONI CONICHE STORIA TIPI DI CONICHE APPLICAZ. CONICHE CONTENUTI

3. Circonferenza Ellisse Iperbole Parabola Torna ai contenuti

4. ESEMPI FISICI Gli esempi in natura di sezioni coniche sono infiniti. Certamente quella più in comune è la circonferenza, che dall’invenzione della ruota, detiene il primato della sezione più diffusa. Citeremo quindi soltanto alcuni esempi di altre sezioni coniche che trovano riscontro in natura. Le orbite di due corpi che interagiscono secondo la legge di gravitazione universale sono sezioni coniche rispetto al loro comune centro di massa considerato a riposo. Se tra i due corpi si esercita una attrazione sufficiente, entrambi percorrono un’ellisse; se invece l’attrazione è insufficiente i due corpi si muovono con la possibilità di allontanarsi illimitatamente percorrendo entrambi parabole od iperboli.

5. Alle stesse leggi obbediscono i satelliti (per telecomunicazioni, militari, meteo, Space Shuttle) che vengono lanciati dalla Terra. A seconda del rapporto tra la loro velocità e l’attrazione gravitazionale esercitata dal nostro pianeta, possono percorrere orbite circolari, ellittiche, paraboliche od iperboliche. In campo aeronautico l’ellisse od il suo solido di rotazione (ellissoide) trovano vari impieghi: un’ala a pianta ellittica riduce al minimo la resistenza indotta dalla portanza, mentre una fusoliera a forma di ellissoide riduce la resistenza di pressione.

6. La caratteristica della parabola, per la quale i raggi paralleli al suo asse di simmetria sono riflessi nel suo fuoco e viceversa, porta a molte interessanti applicazioni. Una di queste è l’antenna satellitare, detta anche antenna parabolica o più semplicemente “parabola”. I segnali provenienti da un satellite geostazionario, cioè fermo nello spazio rispetto alla Terra, e quindi paralleli all’asse di simmetria dell’antenna, sono concentrati da questa in un ricevitore posto nel fuoco della parabola e inviati al televisore.

7. Con lo stesso principio funzionano i radar di terra, usati per esempio per il controllo del traffico aereo. Il trasmettitore, che ha anche funzione di ricevitore ed è posizionato nel fuoco, emette un fascio di radiazioni elettromagnetiche, che sono riflesse dalla parabola ed inviate parallelamente al suo asse verso il cielo. Quando queste incontrano un oggetto, vengono riflesse in tutte le direzioni e quindi anche verso il radar. La parabola dello stesso le riflette nel fuoco, cioè verso il ricevitore che le invia ad un computer il quale le trasforma in una immagine su di uno schermo.

8. Un esempio in natura di iperbole è la forma che può assumere l’onda d’urto, cioè la quasi istantanea ricompressione dell’aria, che si forma di fronte ad un corpo di forma tozza a velocità supersonica, cioè oltre il muro del suono (1224 km/ora a bassa quota). L’immagine in calce mostra l’onda d’urto attorno ad una velivolo militare statunitense (US Navy F-18) in volo supersonico. L’onda d’urto è resa visibile dalla condensazione del vapore acqueo presente nell’aria.

9. CIRCONFERENZA La circonferenza si può considerare un caso particolare di ellisse. E’ il luogo dei punti equidistanti da un punto fisso detto centro della circonferenza. La distanza “r” del centro “C” da un punto “P” sulla circonferenza è detta raggio della circonferenza. In formule la proprietà della circonferenza è: (x-xc)2 + (y-yc)2 = r2 x2 + y2 + (-2xc)x + (-2yc)y + (xc2+yc2-r2) = 0 ponendo: a=-2xc; b=-2yc e c=(xc2+yc2-r2) L’equazione canonica della circonferenza sarà: x2 + y2 + ax +by + c = 0 Il centro ed il raggio della circonferenza sono: xc = - a/2 ; yc = -b/2 e r = (a2 + b2 – 4c)1/2 /2 Gli assi di simmetria della circonferenza sono infiniti.

10. distanze uguali direttrice PARABOLA E’ il luogo dei punti (P) in un piano le cui distanze da un punto fisso, detto fuoco (F), e da una retta, detta direttrice (d) sono uguali. Il punto medio della distanza tra il fuoco e la direttrice è detto vertice della parabola. La parabola ha un asse di simmetria, che coincide con la retta perpendicolare alla direttrice e passante per il fuoco. Per ricavare l’equazione della parabola scegliamo un sistema di assi coordinati opportuno, per il quale il vertice della parabola coincida con l’origine e l’asse delle ordinate con l’asse di simmetria della parabola.

11. Indicando con “p” la distanza tra il vertice ed il fuoco l’equazione della direttrice sarà: y = -p. Per un punto generico P(x;y),appartenente alla parabola, scriviamo la proprietà caratteristica della stessa: x2 + (y – p) 2 = (y + p) 2 Eseguendo alcuni passaggi algebrici, otteniamo: x2 = 4py od anche y = (1/4p) x2 che rappresenta l’equazione di una parabola con concavità verso l’alto, con il vertice nell’origine degli assi e simmetrica rispetto all’asse delle ordinate. Cambiando di segno il termine a destra dell’uguaglianza, otteniamo l’equazione della stessa parabola ma con concavità verso il basso. Scambiando invece la “x” con la “y” otteniamo l’equazione di una parabola con concavità verso destra, con il vertice nell’origine degli assi e simmetrica rispetto all’asse delle ascisse.

12. Se immaginiamo di traslare la parabola a sinistra/destra o verso l’alto/basso, in modo tale che il suo vertice sia nel punto V(h;k), la sua equazione sarà: (x - h)2 = 4p (y – k) La parabola gode di una “proprietà di riflessione” molto importante per le sue molteplici applicazioni. Da un punto P appartenente alla parabola facciamo partire un segmento che lo congiunge al fuoco F ed una retta parallela all’asse della parabola. Il segmento FP e la retta formeranno angoli uguali con la tangente alla parabola nel punto P. Di conseguenza, in base alle leggi dell’ottica geometrica, ogni raggio avente origine nel fuoco sarà riflesso verso l’esterno della parabola parallelamente al suo asse. Questa proprietà è molto usata nella costruzione di luci spot, fari delle autovetture, antenne, radar, ecc.... F P

13. F B A direttrice Al contrario ogni raggio proveniente dall’esterno della parabola e parallelo al suo asse sarà riflesso nel suo fuoco. Questa proprietà è sfruttata nella costruzione di antenne riceventi (antenne satellitari, dette appunto “parabole”). La caratteristica di riflessione della parabola deriva dalla proprietà che le tangenti alla parabola nei due punti estremi (“A” e “B”)di una sua corda si intersecano sulla direttrice e formano un angolo retto. La parabola è inoltre importante negli studi di traiettorie balistiche, trascurando la resistenza aerodinamica, e nello studio del moto di corpi soggetti alla attrazione di gravità.

14. PF1 + PF2 = 2a (costante) ELLISSE E’ il luogo dei punti in un piano, per i quali la somma delle distanze di ogni punto da due punti fissi, detti fuochi, è costante. p L’ellisse ha due assi di simmetria, il più lungo dei quali viene definito come asse maggiore ed il più corto asse minore. I due punti posti all’estremità dell’asse maggiore sono i vertici dell’ellisse. La lunghezza dell’asse maggiore è pari a 2a. F1 F2 Indicando con 2b la lunghezza dell’asse minore e con 2c la distanza tra i fuochi, dal Teorema di Pitagora si ottiene: a2 = b2 + c2 (vedi figura nella pagina seguente).

15. Se l’ellisse non è centrata nell’origine degli assi, ma rispetto ad un punto P(h;k), la sua equazione diventa: • (x-h)2 (y-k)2 • ------ + ------ = 1 • a2 b2 Se a = b, i fuochi coincidono con il centro, e l’ ellisse diventa una circonferenza di raggio “a”. L’ellisse ha una particolarità, molto sfruttata nel campo dell’ottica e del suono. Congiungendo un qualsiasi punto P sull’ellisse con i due fuochi F1 e F2, i due segmenti PF1 e PF2 formano angoli uguali con la retta tangente all’ellisse nel punto P. In base alle leggi dell’ottica geometrica questo implica che un raggio generato in un fuoco viene riflesso nell’altro. F1 F2

16. Scegliendo gli assi cartesiani in modo opportuno, vediamo che l’ellisse taglia l’asse delle ascisse nei punti (vertici) di coordinate (-a;0) e (a;0), e l’asse delle ordinate nei punti (0;-b) e (0;b). Per un punto generico P(x;y),appartenente all’ellisse, scriviamo la proprietà caratteristica dell’ellisse: 2a = PF1 + PF2 = [(x+c)2 + y2 ]1/2 + [(c-x)2 + y2]1/2 • Ricavando “c” dal Teorema di Pitagora (c2 = a2 - b2) e svolgendo alcuni passaggi matematici si ricava l’equazione dell’elisse centrata nell’origine degli assi: • x2 y2 • ---- + ---- = 1 • a2 b2 • Dove “a” e “b” sono le lunghezze dei semiassi maggiore e minore rispettivamente.

17. PF1 - PF2 = 2a (costante) (-c;0) (c;0) IPERBOLE E’ il luogo dei punti in un piano, per i quali la differenza delle distanze di ogni punto (P) da due punti fissi, detti fuochi (F), è costante. Seguendo il procedimento adottato per l’ellisse, indichiamo con “2a” la differenza di tali distanze, tale che: PF1 - PF2 = 2a. Chiameremo i due punti, appartenenti all’iperbole e che stanno sulla retta congiungente i due fuochi, vertici, che distano tra di loro 2a. Indichiamo infine con “2c” la distanza tra i fuochi e definiamo la costante b2 = c2 – a2 (ovviamente c > a). Scegliendo un opportuno sistema di riferimento, tale che l’asse delle ascisse coincida con la congiungente i fuochi e l’asse delle ordinate con l’asse di simmetria, si ottiene la figura a lato.

18. 2a = PF1 - PF2 = (x+c)2 + y2 - (c-x)2 + y2 Per un punto generico P(x;y),appartenente all’iperbole, scriviamo la proprietà caratteristica della stessa: • Ricavando “c” dal Teorema di Pitagora (c2 = a2 + b2) e svolgendo alcuni passaggi matematici si ricava l’equazione dell’iperbole centrata nell’origine degli assi: • x2 y2 • ---- - ---- = 1 • a2 b2 • Risolvendo l’equazione in y si ottiene: • b • y = +/- ---- (x2 – a2) • a • Quando “x” diventa molto grande rispetto ad “a”, tende cioè all’infinito, l’equazione di sui sopra tende a diventare: • b • y = +/- ---- x • a

19. La precedente è l’equazione degli asintoti dell’iperbole; significa che l’iperbole, per grandi valori di “x”, tende a coincidere con le rette di equazione y = +/- (b/a) x. • Se l’iperbole non è centrata nell’origine degli assi, ma rispetto ad un punto P(h;k), la sua equazione diventa: • (x - h)2 (y - k)2 • --------- - -------- = 1 • a2 b2 Le proprietà di riflessione dell’iperbole sono molto importanti nell’ottica. Prendiamo un punto P sull’iperbole. Le congiungenti il punto P con i fuochi dell’iperbole formano un angolo, la cui bisettrice è la tangente all’iperbole nel punto P. Di conseguenza ogni raggio diretto verso un fuoco, incontrando l’iperbole dalla parte convessa viene riflesso nell’altro fuoco.

20. Storia delle Coniche Le coniche sono curve studiate sin dall’ antichità da molti matematici. Sembra che per primo Menecmo (375-325 a.C.), un matematico greco maestro di Alessandro Magno, si sia imbattuto nelle coniche mentre stava studiando curve dotate di proprietà adatte a risolvere uno dei tre famosi problemi della matematica greca: la duplicazione del cubo. Il problema della duplicazione del cubo è stato spesso associato a una leggenda secondo la quale, durante una terribile peste, gli abitanti di Atene si recarono dall’ oracolo di Delo chiedendo di sapere cosa dovevano fare affinché la peste fosse debellata. L’oracolo rispose che si doveva raddoppiare l’ altare dedicato al dio Apollo, che era di forma cubica. I cittadini pensarono che ciò equivalesse a raddoppiare il lato dell’ altare, ma la peste non cessò. Infatti questo procedimento fornisce un cubo che è 23=8 volte il volume del cubo iniziale, mentre il cubo da costruirsi doveva avere il lato 3√2 volte la misura iniziale.

21. Il procedimento proposto da Menecmo risolve il problema, anche se “non rispetta le regole” ovvero utilizza strumenti diversi da quelli ammessi dalla geometria greca tradizionale: la riga e il compasso. Menecmo considerò l’ intersezione tra la parabola di equazione y=x2 e l’iperbole equilatera di equazione xy=2. Risolvendo il sistema formato dalle equazioni delle due curve si ottiene P( 3√2, 3√4 ) e dunque l’ ascissa del punto P fornisce il valore cercato. Pur interessante dal punto di vista matematico, lo studio delle coniche aveva scarsi interessi pratici e dopo i matematici greci venne abbandonato per diversi anni. Solo dopo circa 1800 anni lo studio di Apollonio potè fare passi avanti. Questo fu dovuto essenzialmente all'introduzione dei nuovi metodi matematici basati sulle coordinate cartesiane, ma anche al sorgere di un nuovo interesse scientifico per le applicazioni fisiche delle proprietà delle coniche. Da segnalare nell'ordine Galileo (moto di un proiettile) Cartesio,Keplero, Pascal, ed infine Newton che utilizzarono lo studio delle coniche applicato a scoperte scientifiche . 

22. Coniche e sezioni Se accendiamo una torcia elettrica, la luce della lampadina, uscendo dalla lente di forma circolare, formerà un cono di luce che ha come vertice il filamento della lampadina, e come asse la retta che passa per quest'ultimo e per il centro della lente. Supponiamo ora di dirigere il raggio luminoso verso una parete; la parte illuminata assumerà forme diverse, a seconda dell'inclinazione dell'asse, e precisamente: se il muro viene illuminato perpendicolarmente (ovvero se l'asse del cono di luce è perpendicolare alla parete), la figura che si forma è un cerchio, tanto più grande quanto maggiore è la distanza della lampadina dalla parete. Se ora cominciamo a inclinare la torcia, il cerchio si deforma assumendo una forma delimitata da una linea dapprima quasi circolare, poi sempre più allungata: si tratta di un'ellisse che diventa sempre più eccentrica, fin quando il raggio più esterno del fascio di luce diventa parallelo alla parete. Abbiamo in questo momento una parabola. ..... Basta girare ancora un po', e il raggio più esterno ora diverge dalla parete, e abbiamo un'iperbole. Queste quattro curve prendono il nome comune di sezioni coniche, dato che esse appaiono come sezioni di un cono (il cono di luce) con un piano (della parete). In realtà, almeno nel caso dell'iperbole, l'esperimento della torcia elettrica ci dà solo metà della curva. L'iperbole completa si ottiene considerando il cono completo, formato cioè da due coni uniti per l'origine.

23. Doppio cono Le sezioni coniche si possono osservare variando con l’apposita manovella l’inclinazione del doppio cono: in esso è contenuto un liquido che determina una circonferenza se l’asse del cono è perpendicolare al suolo; se invece si comincia ad inclinare il doppio cono, il pelo libero del liquido determina un’ellisse e successivamente, aumentando ancora l’inclinazione, una parabola, allorché il piano individuato dalla superficie che delimita il liquido è parallela a una delle infinite rette che delimitano il cono (generatrice). Inclinando ulteriormente l’asse del doppio cono si osservano i due rami di iperbole.

24. Tra i numerosissimi esempi di edifici a pianta circolare possiamo citare il mausoleo di Cecilia Metella a Roma (poco oltre il complesso di Massenzio). La tomba ha una pianta circolare: sopra un basamento, alto blocco di calcestruzzo privo ormai del suo rivestimento marmoreo, poggia un tamburo rotondo realizzato in blocchi di travertino quasi completamente conservati, così come la merlatura con la quale termina la costruzione. Nella parte alta del tamburo è visibile un fregio di marmo in cui la presenza di teste di buoi fece dare al monumento nel medioevo il nome di Capo di Bove. Dal lato dell’edificio che si affaccia sull’Appia si trova l’iscrizione dedicatoria a Cecilia Metella, qui sepolta tra il 50 e il 40 a.C.

25. G.L. Bernini, Sant'Andrea al quirinale, Roma. Colosseo, Roma. Nel campo dell’architettura anche la forma ellittica è diffusa: basti pensare ai soffitti di alcuni teatri od auditorium oppure alla forma in pianta di diversi edifici, quale, ad esempio, il Colosseo di Roma.

26. Camera a volta ellittica Le proprietà di riflessione dell’ellisse descritte nelle precedenti diapositive hanno come conseguenza che un raggio di luce (o un’onda sonora) che parte da uno dei fuochi e si riflette sull’ellisse, passa necessariamente per l’altro fuoco. L’utilizzo di soffitti a volta ellittica permette quindi di migliorare le caratteristiche di illuminazione ed acustiche di un ambiente.

27. QUADRANTI SOLARI • Per rendere i quadranti solari più ricchi, e talvolta meno comprensibili, alle linee orarie sono spesso abbinate altre curve quali: - le linee solstiziali: rami di iperbole percorse dall'ombra della punta dello gnomone all'epoca del solstizio estivo (concavità rivolta verso il basso) e del solstizio invernale (concavità rivolta verso l'alto). In questi giorni, in cui raggiunge la massima declinazione positiva (circa 23° 27' il 21 o 22 giugno) e la massima declinazione negativa (circa –23° 27' il 21 o 22 dicembre), la nostra stella sembra quasi sostare, da cui il nome di solstizio, prima di iniziare il cammino inverso. • la linea equinoziale, retta percorsa dall'ombra della punta dello gnomone all'epoca degli equinozi di primavera e d'autunno. Il 21 marzo e il 23 settembre la declinazione del Sole assume il valore zero; la durata del giorno è uguale a quella della notte

28. le linee diurne, rami di iperbole situati tra le linee solstiziali e la linea equinoziale e che indicano l'entrata del Sole nei vari segni zodiacali. • - la linea meridiana o linea del mezzogiorno solare vero o linea oraria delle ore 12 locali, su cui cade l'ombra dello gnomone quando, per la località dove è situato il quadrante, il Sole ha raggiunto la massima altezza sull'orizzonte, cioè transita sul meridiano del luogo, e lo stilo proietta la minima ombra.

29. ESEMPI FISICI APPLICAZIONI IN ARCHITETTURA