INFORMACJA!

1. INFORMACJA! • Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich wykorzystania konieczny jest komentarz osoby rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach. • Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a także ułatwiający zrozumienie treści podręczników. • Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni są o przesyłanie swoich uwag na adres e-mailowy autora: mc@limba.wil.pk.edu.pl.

2. UGIĘCIA ZGINANEJ BELKI RÓŻNICZKOWE RÓWNANIE UGIĘTEJ OSI BELKI

3. 1. Definicja odkształcenia: 2. Z rysunku: 3. Z podstawienia 2 do 1 4. Odkształcenie liniowe My My 5. Hipoteza płaskich przekrojów Geometria ugięcia osi belki z  w z x 

4. 1. Odkształcenie liniowe 2. Z prawa Hooke’a 3. Naprężenie normalne przy zginaniu 4. Z porównania 2 i 3: 5. Krzywizna pręta  Naprężenia normalne i krzywizna osi przy zginaniu

5. 1. Związek krzywizny i momentu: 2. Wzór na krzywiznę krzywej: Równanie różniczkowe ugiętej osi belki 3. Równanie różniczkowe dla wyznaczenia ugięć osi belki w(x)

6. w(x) w(x) x w>0, w’<0 w>0, w’>0 x x x w(x) w(x) w>0, w’<0 w>0, w’>0 Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki Znakowanie w(x), w’(x) i w’’(x)zależy od wyboru układu osi x i w oraz ich zwrotów:

7. M>0 M<0 M<0 M>0 Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki Niezależnie, znakowanie momentu M(x) wynika z przyjętej umowy (M jest dodatni gdy rozciąga „spody”)

8. My x w(x) Znakowanie w równaniu ugiętej osi belki Przyjmiemy umowę, że zachowując przyjęte znakowanie momentów, równanie różniczkowe osi belki będziemy zapisywali w postaci: JEŚLI dodatni zwrot osi w będzie zgodny ze zwrotem dodatniego momentu t.j. będzie skierowany w stronę spodów: W przeciwnym przypadku w równaniu należy przyjąć znak +. Przyjęcie dodatniego zwrotu osi x nie ma wpływu na znak w pow. równaniu. Należy jednak pamiętać, że zmiana skrętności układu w,x powoduje zmianę znaku pierwszej pochodnej funkcji w(x).

9. w(x) x w Całkowanie równania ugiętej osi belki Dla belki z jednym przedziałem charakterystycznym wyznaczenie ugięcia osi belki i obrotu przekroju poprzecznego pręta (por. rys.), wymaga dwukrotnego scałkowania równania różniczkowego: Jednokrotne scałkowanie określa nachylenie stycznej do osi ugiętej belki (a więc obrót przekroju poprzecznego) Ponowne scałkowanie daje w wyniku ugięcia belki: Dla wyznaczenia dwu stałych całkowania konieczne jest określenie dwu warunków brzegowych.

10. w=0 w=0 w=0 w=0 w=0 w=0 A B w=0 w’=0 w=0 w’=0 w=0 w’=0 Całkowanie równania ugiętej osi belki Dla wyznaczenia dwu stałych całkowania: C i D trzeba ustalić dwa warunki brzegowe wynikające z podparcia belki w sposób zapewniający jej geometryczną niezmienność w płaszczyźnie rysunku, np: UWAGA: ponieważ nie uwzględniamy wpływu sil podłużnych na ugięcia, 3 przypadki w wierszu A i 3 przypadki w wierszu B są sobie równoważne (mimo, że niektóre belki są chwiejne lub statyczne niewyznaczalne!)

11. Całkowanie równania ugiętej osi belki W przypadku gdy równanie momentu nie da się zapisać w sposób analityczny jednym równaniem dla całej belki i musi być zapisywane w przedziałach charakterystycznych, dla każdego z tych przedziałów trzeba zapisać równanie różniczkowe ugięć (oznaczając ugięcia odpowiednim indeksem) i dokonać dwukrotnego całkowania w każdym przedziale. W rezultacie otrzymujemy 2n stałych całkowania (gdzie n oznacza liczbę przedziałów charakterystycznych) i trzeba ułożyć 2n-2 (2 warunki mamy z warunków podparcia belki) dodatkowych warunków „zszycia” na brzegach sąsiednich przedziałów charakterystycznych. W wyniku takiego postępowania otrzymujemy układ 2n algebraicznych równań liniowych dla wyznaczenia 2n stałych całkowania. Procedura ta jest uciążliwa i warta zastosowania tylko wtedy, gdy chcemy mieć równanie linii ugięcia dla całej belki (pozwala to na analityczne wyznaczenie maksymalnych ugięć i miejsca ich występowania.

12. n 1 6 2 4 3 5 Całkowanie równania ugiętej osi belki Ilustracja wykorzystania warunków brzegowych i warunków „zszycia” w1=w2 w2=w3 w3=w4 w4=w5 w5=w6 w6=0 w1=0 w’2=w’3 w’3=w’4 w’5=w’6 w’6=0 w’1=w’2 Całkowanie w przedziałach Zgodność pochodnych Zgodność przemieszczeń

13. UGIĘCIA ZGINANEJ BELKI METODA OBCIĄŻEŃ FIKCYJNYCH (MOHRA)

14. Zróżniczkujemy dwukrotnie związek wykorzystując związki M-Q-q Pierwsze zróżniczkowanie: Drugie zróżniczkowanie: Statyka a ugięcia belek; podobieństwa formalne Dwukrotne scałkowanie wyjściowego związku daje nam pozostałą pochodną w’ i samą wartość ugięć:

15. STATYKA UGIĘCIA ? ? Statyka a ugięcia belek; podobieństwa formalne Równanie to ‘całkujemy’ wykorzystując definicje fizyczne wyznaczanych wielkości M(x)iQ(X)na podstawie znajomości q(x) i warunków podparcia (brzegowych). Czy nie można tej samej procedury zastosować i tutaj?

16. Statyka belki fikcyjnej a przemieszczenia belki rzeczywistej STATYKAPrzestrzeń fikcyjna UGIĘCIAPrzestrzeń rzeczywista J E Ś L I CF= CR , DF=DR T O wR(x)MF(x) , w’R QF(x)

17. Dobór obciążenia i schematu belki fikcyjnej Podstawowym warunkiem wykorzystania analogii Mohra jest aby zmienna x w belce fikcyjnej miała taki sam zakres ważności jak w belce rzeczywistej (0 ≤ xR ≤ l, 0 ≤ xF ≤ l). Spełnienie warunku [1/m] oznacza, że jedynym obciążeniem belki fikcyjnej będzie obciążenie ciągłe o wymiarze [Nm/(Nm-2m4)]=[ m-1] rozłożone na belce tak jak przebieg wykresu momentów dla belki rzeczywistej. Wykresy momentów i sił poprzecznych od takiego obciążenia nie mogą więc zawierać nieciągłości (nie ma obciążenia w postaci skupionych momentów czy sił). CF= CR , DF=DR Spełnienie warunków polega na dobraniu podpór belki fikcyjnej tak, aby w charakterystycznych punktach były spełnione związki wR(x)MF(x) , w’R QF(x) I tak, jeśli w jakimś punkcie belki rzeczywistej wR=0 , to na belce fikcyjnej musi być w tym punkcie MF=0. Podobnie jeśliw’R=0to iQF =0 itd.

18. Dobór schematów belek fikcyjnych Przykład 1 Przykład 2 Schemat belki rzeczywistej Informacje o belce rzeczywistej Ugięcie wR Obrót w’R Informacje o belce fikcyjnej Moment MF Siła poprzeczna QF Schemat belki fikcyjnej

19. Dobór schematów belek fikcyjnych Przykład 3 Przykład 4 Schemat belki rzeczywistej Informacje o belce rzeczywistej Ugięcie wR Obrót w’R Informacje o belce fikcyjnej Moment MF Siła poprzeczna QF Schemat belki fikcyjnej

20. BELKA RZECZYWISTA BELKA FIKCYJNA Zamocowanie Przegub Podpora przegubowa Wolny koniec

21. Wykres momentów (z zastosowaniem SUPERPOZYCJI)

22. Belka rzeczywista Wykres momentów dla belki rzeczywistej. Obciążenie belki fikcyjnej Korekta zwrotu obc. fikcyjnego Statyka – ale obciążenie skomplikowane!!! Sposób niezwykle pracochłonny!!! Wykres momentów dla belki fikcyjnej = wykres ugięć belki rzeczywistej

23. P EJ x B A a w l Pa a/3 2a/3 l-a/3 Pa/EJ)(1/2)a Prosta w Parabola 3-go stopnia Zastosowanie metody Mohra dla wyznaczania ugięć i kątów obrotu przekroju w wybranych punktach wA= Pa3/3EJ w’A= Pa2/2EJ wB= Pa2/2EJ[l-a/3] w’B= Pa2/2EJ Momenty od obc. fikcyjnego: MAF=wA= Pa/EJ)(1/2)a(2a/3)= Pa3/3EJ Pa2/2EJ[l-a/3] MBF=wB= Pa/EJ)(1/2)a[l-a/3]= Pa/EJ Siły poprzeczne od obc. fikcyjnego: QAF=QBF=w’A=w’B= Pa/EJ)(1/2)a= Pa2/2EJ

24. P P A a a = l Pl/EJ l/3 2l/3 w Pl/EJ)(1/2)l Parabola 3-go stopnia Zastosowanie metody Mohra dla wyznaczania ugięć i kątów obrotu przekroju w wybranych punktach EJ x B wB= w’B= Pl2/2EJ Pl3/3EJ w Moment od obc. fikcyjnego: Pl Pl3/3EJ MBF=wB= Pl/EJ)(1/2)l[2l/3]= Siły poprzeczne od obc. fikcyjnego: QAF=QBF=w’A=w’B= Pl/EJ)(1/2)l= Pl2/2EJ

25. Wzory dla wyznaczania powierzchni i środkow ciężkości obciążeń ciągłych Parabola n-tego stopnia Powierzchnia: A= ab/(n+1) Pozioma styczna a Położenie środka ciężkości: c= b/(n+2) c b n A c 0 1 2 3 … ab ab/2 ab/3 ab/4 … b/2 b/3 b/4 b/5 …

26. Ugięcia belek o zmiennej sztywności Jeśli EJ zmienia się po długości belki tj. EJ(x), to równanie różniczkowe ugięć przyjmuje postać Punkt zmiany sztywności jest punktem charakterystycznym!

27. EJ2 > EJ1 P EJ P x a2 a1 K K w w l Pl3/3EJ wK= Pl Pl Pl/EJ EJ2 a1 Przykład analizy ugięć belki o zmiennej sztywności x l Pl/EJ2 {Pl/EJ2} {1-J2/J1} Pa2/EJ2 Pl/EJ1 {Pa2/EJ2} {1-J2/J1} Pa2/EJ1 {Pa2} {1-J2/J1} LUB… Pl/EJ2 EJ2 {P(l-a2)/a1} {1-J2/J1} wK= ? {Pl/EJ2} {1-J2/J1}