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1. INTRODUÇÃO, MOTIVAÇÃO, HISTÓRICO Importância do controle automático: propicia meios para desempenho ótimo de s

CMC-021-0 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Prof. Ijar M. Fonseca Dr. Mecânica do Vôo (ITA/Howard University). 1. INTRODUÇÃO, MOTIVAÇÃO, HISTÓRICO Importância do controle automático: propicia meios para desempenho ótimo de sistemas, melhoria de qualidade,

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1. INTRODUÇÃO, MOTIVAÇÃO, HISTÓRICO Importância do controle automático: propicia meios para desempenho ótimo de s

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  1. CMC-021-0 - INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Prof. Ijar M. Fonseca Dr. Mecânica do Vôo (ITA/Howard University) • 1. INTRODUÇÃO, MOTIVAÇÃO, HISTÓRICO • Importância do controle automático: propicia meios • para desempenho ótimo de sistemas, melhoria de qualidade, • redução de custos, aumento de produtividade, automação de atividades em geral • Aplicações: sistemas de pilotagem de aviões, mísseis, navios, • sistemas de controle de veículos espaciais, operações industriais,etc INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  2. Breve Histórico: • James Watt: construção do regulador centrífugo para controle de velocidade de uma máquina a vapor no século XVIII • Minorsky, 1.922: sistema de pilotagem de navios. Estabilidade - Equações Diferenciais • Nyquist, 1.932: procedimento para determinar estabilidade de sistemas em malha fechada • Hazen, 1.934: Introdução da termo “servomecanismo” para sistemas de controle de posição. Projeto de servomecanismos e relés capazes de seguir uma entrada variável. • Década de 40: Métodos de resposta em frequência tornaram possível aos engenheiros projetar sistemas de controle lineares com realimentação. • Coração da Teoria de Controle Classico, 1940-1950: Desenvolvimento do método do lugar das raízes em projeto de sistema de controle (SISO) • Evolução para sistemas MIMO a partir de 1.960 • Estado da arte: controle ótimo, utilização de computadores, desenvolvimento da • computação evolucionária permitindo sistemas com apredizado e treinamento. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  3. Terminologia Básica • Planta (Plant): Parte de um equipamento ou conjunto de partes de uma máquinaque funcionam integrados como um sistema. No contexto deste curso estaremosusando o termo planta como qualquer objeto físico a ser controlado. • Processo: Neste curso estaremos utilizando este termo para identificar qualqueroperação a ser controlada • Perturbação (distúrbio): Sinal que tende a afetar adversamente o comportamento da saída do sistema. Uma perturbação pode ser externa, funcionando como uma entrada, ou interna ao sistema. • Sistema de controle realimentado: sistema que tende a manter uma relação prescrita entre a entrada e a saída, por comparação. • Servomecanismo: sistema de controle com realimentação no qual a saída pode ser uma posição, velocidade ou aceleração. • Sistema regulador automático: sistema no qual a entrada de referência, ou a saída desejada, ou é constante ou varia lentamente no tempo. O principal objetivo é manter a a saída real em um valor desejado, na presença de perturbações. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  4. 2. BASE MATEMÁTICA - TRANSFORMADA DE LAPLACE • Método operacional que pode ser usado para solução de sistemas de equações diferenciais lineares • Características da Transformada de Laplace: • Operações como diferenciação e integração podem ser substituídas por operações algébricas no plano complexo. • A solução da equação diferencial (ED) pode ser encontrada através de uma tabela de transformadas de Laplace ou pelo uso de técnicas de expansão em frações parciais. • Vantagens: • Permite o uso de técnicas gráficas para prever o desempenho de um sistema sem necessidade de resolução do sistema de Eds. • Quando se resolve um Sistema de Equacões Diferenciais (SED) pode ser obter simultaneamente as soluções correspondentes aos regimes transitório e permanente. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  5. O 2.1. BREVE REVISÃO SOBRE VARIÁVEIS COMPLEXAS Seja s uma variável complexa, que pode ser representada como a soma de uma componente real mais uma componente complexa, na forma: Considere a figura 1 que se segue, ilustrando o plano s e um ponto representativo Fig. 1 Plano s e um ponto representativo INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  6. Positivo q O q Negativo Seja uma função G de s, com uma parte real e uma parte imaginária, dada por onde Gx e Gy reais Considere o plano complexo mostrado na figura 2 onde é ilustrado o ângulo q de (Gx+Gy,), G e suas componentes. O ângulo q é medido a partir do eixo real positivo e é dado por Uma rotação anti-horária é definida como a direção positiva para fins de medição de ângulos. O módulo da grandeza complexa (Gx+jGy) é dado por Fig. 2 Plano complexo e duas grandezas complexas representativas INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  7. O complexo conjugado de G(s)= Gx+jGy é dado por G(s)= Gx-jGy Uma função G(s) é dita analíticaem uma região se G(s) e suas derivadas existem naquela região. A derivada de uma função analítica G(s) é dada por O valor da derivada é independente da trajetória Ds. Uma vez que Ds = Ds + jDw, Ds pode se aproximar de zero ao longo de um número infinito de trajetórias. Se ao longo de duas trajetórias particulares Ds= Ds e Ds= jDw são iguais, então a derivada é única para qualquer outra trajetória Ds= Ds + jDw. Seja o caso particular para a trajetória Ds= Ds (trajetória paralela ao eixo real). A derivada é dada por: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  8. Para outra trajetória particularDs=jDw ou seja, trajetória paralela ao eixo imaginário: Se os dois valores das deriadas são iguais então: Em outras palavras, se a condição for satisfeita então a Derivada de G(s) em relação a s é univocamente determinada. Estas duas condições são conhecidas como condições de Cauchy-Riemann. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  9. Considere o seguinte exemplo: Então Onde Note que exceto no ponto s=-1, ou seja, s=-1e w=0 satisfaz a condição de Cauchy-Riemann é satisfeita: Portanto é analítica em todo o plano s, exceto para s=-1 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  10. A derivada de G(s) em relação a s é: • Pontos Ordinários e Singulares - Pólos e Zeros • Pontos no plano s em que a função G(s) é analítica são chamados de pontos oridinários. Os pontos do plano s em que a função G(s) não é analítica são chamados pontos singulares. • Polos são pontos singulares nos quais a função G(s) ou suas derivadas se aproximam do infinito • Exemplo: Tem dois polos em s = -p1 e s= -p2 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  11. Zeros são pontos ordinários nos quais a função G(s) é zero são chamados zeros. Existem pontos no infinito e no finito que podem levar G(s) para zero. Se pontos no infinito são levados levados em conta a G(s) tera o mesmo número de pólos e zeros Por exemplo, esta função tem um zero em s=-z. Se pontos no inifinito são tambem considerados G(s) tem o mesmo número de polos e zeros. No exemplo acima G(s) tem 2 zeros no infinito em adição ao zero finito dado por –z. Note que: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  12. Note que Portanto temos 3 pólos e 3 zeros • Mapeamento Conforme • Um mapeamento que preserva tanto o tamanho quanto o sentido dos ângulos é chamado conforme. • Seja uma função analítica z = F(s) . A relação funcional z = F(s) pode ser interpretada como um mapeamento de pontos do plano s sobre o plano z. Para qualquer ponto p do plano s em que F(s) é regular (não-singular) corresponde um ponto P’ . P’ é chamado imagem de P sendo dado por z = F(s) . • Significado do Mapeamento Conforme: duas curvas do plano s que se interceptam e formam um ângulo  sãomapeadas sobre duas curvas suaves no plano F(s) que se interceptam e formam o mesmo ângulo . Se G(s) é contínua em um domínio  então a imagem de um curva contínua em  mapeada por z = F(s) também é uma curva contínua. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  13. Para provar que o mampeamento conforme associado a uma função analítica z = F(s) é conforme, considere-se uma curva suave s = s(), que passa por um ponto ordinário s0 . Seja z = F(s0) . Podemos escrever Portanto Onde s-s0 é o ângulo entre o eixo real positivo e o vetor apontando de s0 para s Se s aproxima de s0 ao longo de uma curva s = s(), então s-s0 é o ângulo 1entre o eixo real positivo e a tangente a curva em . De forma similar se z aproxima de z0, z-z0 tende ao âsngulo 1, ângulo entre o eixo real positivo e a tangente em F(s) em z0, ou seja 1= F’(s0) + 1, para F’(s0)  0, ou seja 1 - 1 = F’(s0) INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  14. Usando outra curva suave s = s2() e fazendo uma análise similar obtém-se 2.2. TRANSFORMADA DE LAPLACE Considere as definições: f(t) é uma função do tempo tal que f(t) = 0 para t < 0 s é uma variável complexa é um símbolo operacional indicando que a quantidade que ele prefixa é transformada pela integral de Laplace F(s) transformada de Laplace de f(t) INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  15. A transformada de Laplace de f(t) é definida por Exemplo 1 – Considere a função exponencial Onde A e  são constantes. A transformada de Laplace de f(t) é dada por INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  16. A transformada de Laplace de f(t) existe se f(t) é continua seccionalmente em todo em todo o intervalo finito da região t > 0 e se a função é de ordem exponencial quando t tende a infinito, isto é, a integral de Laplace deve convergir. Uma função f(t) é de ordem exponencial se existe uma constante real positiva, tal que a função tende a zero quando t . Se o limite de f(t)e-t tende a zero para  c c de abscissa de convergência INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  17. Considere a função Converge somente se , a parte real de s for maior A integral do que a abscissa de convergência c, portanto o operador s tem que ser escolhido como uma constante de tal forma que a integral seja convergente. Em termos de pólos da função F(s), a abscissa de convergênciac corresponde à parte real do pólo localizado mais distante, a direita no plano s. Exemplo: Seja a função: a abscissa de convergência é –1. Para funções do tipo t, sin(t) etect.sin(t) a abscissa de convergência é igual a zero. Para funcões do tipo e-ct, te-ct, e-ct sin(t) aabscissa de convergência é –c. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  18. Se o limite de f(t)e-tpossui uma transformada de Laplace, então a transformada de Laplace de Af(t), onde A é uma constante, é dada por Similarmente se f1e f2possuem transformadas de Laplace, então a transformada de Laplace da função f1+ f2é dada por Transformadas de Laplace para algumas funções encontradas com frequência Exemplo 2 – Função degrau Considere a seguinte função degrau A transformada de Laplace é Nota: Assumindo a parte real de s > 0, garantindo a convergência, ou seja A transformada de Laplace é válida em to s, exceto para s=0 INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  19. Para A = 1 a função degrau é chamada função degrau unitário, ocorrendo em t = t0 é frequentemente representada por u(t-t0) ou 1(t-t0). A função degrau de amplitude A pode ser escrita como A.1(t-t0). A transformada de Laplace da função degrau unitário que é definida por Significado físico de uma função degrau em t=0: corresponde a um sinal constante aplicado subtamente ao sistema no instante t=0. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  20. Exemplo 3 – Função rampa Considere a seguinte função rampa: A sua transformada de Laplace é dada por (integrando por partes) Nota: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  21. Exemplo 3 – Função senoidal Considere a seguinte função senoidal: Como INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  22. 2.3. TEOREMAS DA TRANSFORMADA DE LAPLACE Teorema 1: Homogeneidade Seja uma constante independente de s e de t e seja f(t) transformável. Então Teorema 1: Aditividade Se f1(t) e f2(t) são ambas transformáveis, aplica-se o princípio da superposição INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  23. Teorema 3 : Translação no tempo Função transladada: Seja a transformada transladada de Laplace f(t-a) 0 0  t t Fig. 3 - Função f(t) Fig. 4 - Função f(t-) Seja f(t) = 0 para t < 0 e f(t-) = 0 para t < , representadas nas duas figuras acima INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  24. Como f(t-) = 0 para 0 < t <  Portanto Esta equação mostra que a translação fe f(t) de um valor de  unidades é equivalente multiplicar F(s) por e-t INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  25. Considere o seguinte exemplo Exemplo 5 – Função Pulso INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  26. Função Impulso: Trata-se de um caso limite especial de uma função pulso Exemplo 6 – Função impulso Como a amplitude da função impulso é e a duração é t0 a área sob o impulso é igual a A. Como a duração t0tende a 0, a altura tende ao infinito. O tamanho de um impulso é medido pelo sua área. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  27. A transformada de Laplace da função impulso é f(t) pode ser obtida como se segue Portanto: a transformada de Laplace da função impulso é área sob o impulso. A funçõ impulso cuja A=1 denomina-se impulso unitário ou função delta de Dirac. A função impulso unitário, ocorrendo em t = t0, é normalmente indicada por (t-t0) e satisfaz as seguintes condições: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  28. Teorema 4: Derivada complexa Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s), então A multiplicação por t no domínio real implica a derivação com relação a s no domínio de s Exemplo INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  29. Teorema 5: Translação no domínios Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s) e a é real ou complexa, então L[e-atf(t)]= F(s+a) Exemplo: Considere a transformada de Laplace que segue Aplicando o teorema de translação no domíno s: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  30. Teorema 6 : Diferenciação Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s) e se a primeira derivada de f(t) com relação ao tempo Df(t) é transformável, então L[Df(t)]= sF(s)-f(0+) Demostrando, considere: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  31. Teorema 6 : Diferenciação (Cont.) A transformada da derivada segunda D2f(t) é L[D2f(t)] = s2F(s)-sf(0)-Df(0) onde Df(0) é valor do limite da derivada de f(t) quando a origem t=0 é aproximada pela direita. Para demonstrar este caso considere a definição INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  32. Teorema 6 : Diferenciação (Cont.) De forma similar obtem-se a transformada da derivada de ordem n, Dnf(t): Nota: A transformada inclui as condições iniciais, enquanto que no no método clássico as condições iniciais são introduzidas separadamente a fim de se calcular os coeficientes da solução da ED. A demonstração segue a mesma linha da demonstração anterior. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  33. Teorema 7: Integração Se a transformada de Laplace de f(t) é F(s), sua integral é transformável: O termo D-1f(0+) é igual ao valor da integral na origem, aproximada pela direita Demonstração: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  34. Teorema 7: Integração (Cont.) A transformada da integral envolvendo derivada de segunda ordem é Para a integral envolvendo derivadas de ordem n INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  35. Teorema 8: Valor Inicial Se a função f(t) e sua primeira derivada são transformáveis, se a transformada de Laplace de f(t) é F(s), e se Este teorema estabelece que o comportamento de f(t) nas vizinhanças de t=0 está relacionado com o comportamento de sF(s) nas vizinhanças de |s| = . Não há limitações quanto aos pólos de sF(s). INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  36. Teorema 8: Valor final Se f(t) e Df(t) admitem transformada de Laplace, se a transformada de Laplace de f(t) é F(s) e se existe o limite de f(t) quando t, ou seja Este teorema estabelece que o comportamento de f(t) nas vizinhanças de t =  está relacionado com o comportamento de sF(s) nas proximidades de s=0. Se F(s) possui pólos (valores de s para os quais F(s) se torna infinito) sobre o eixo imaginário ou no semiplano s da direita, nao existe valor final de f(t) e oteorema não pode ser aplicado. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  37. Teorema 9: Multiplicação de f(t) por e-t Se f(t) é transformável por Laplace, com sua transformada sendo F(s), então a transformada de Laplace A multiplicação de f(t) por e-t tem o efeito de substituir s por s+ . Esta relação é útil para se determinar a transformada de Laplace de funções do tipo e-tsent e e-tcost como mostrado a seguir Considere agora e-tsent INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  38. Teorema 9: Mudança de escala de tempo As vezes numa análise de sistemas físicos ou análise dinâmica muda-se a escala de tempo ou normaliza-se uma dada função do tempo. O resultado normalizado é importante porque pode ser aplicado a diferentes sistemas desde que tenham modelos matemáticos similares. Considere a mudança de escala no tempo dada por Então f(t) pode ser escrito em termos da nova escala de tempo de modo que INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  39. Teorema 9: Mudança de escala de tempo (Cont.) Considere o exemplo Portanto Este resultado pode ser verificado fazendo-se a transformada de e-0.2t INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  40. 2.4. TRANSFORMAÇÃO INVERSA DE LAPLACE O processo de passar de uma expressão com variáveis complexas para o domínio do tempo é chamada transformação inversa e é denotada por L-1.Matematicamente L-1[F(s)] = f(t) para t > 0 Matematicamente f(t) é determinada a partir de F(s) pela expressão Onde c é a abscissa de convergência, real, escolhida com valor real maior do que as partes reais de todos os pontos singulares de F(s). A integração da equação acima é complicada. Se a F(s) estiver disponível numa tabela de transformadas é facil determinar f(t). Caso contrário tem-se que usar métodos de expansão para achar f(t) INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  41. Método de expansão emfrações parciais para determianar transformada inversa de Laplace. Separando a F(s) em componentes Se as Fi(s) são conhecidas então onde as fisão transformadas inversas das Fi(s). Para problemas em controle F(s) é frequentemente representada na forma: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  42. Considerações sobre os polinômioasA(s)eB(s) • O grau de B(s) não é maior do que o grau de A(s) . • E necessário conhecer de antemão as raízes de A(s) para se aplicar o método (o método não é aplicado enquanto o denominador não for fatorado). • A vantagem do método é que as Fi(s) são funções muito simples de s. Considere F(s) escrito na forma fatorada: Onde os pi zi são grandezas reais ou complexas. • É importante que a maior potênca de s em A(s) seja maior do que a maior potência de s em B(s). • Caso o grau de s em A(s) não satisfaça a condição acima deve-se dividir os polinômios. INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  43. Expansões em frações parciais quando F(s) tem apenas pólos distintos Se os polos são distintos F(s) pode sempre ser expandida em soma simples de frações parciais Onde B(s) e A(s) são polinômios em s, aksão constantes chamadas resíduo no pólo s = -pk. O valor de akpode ser encotrado multiplicando-se ambos os lados desta equação por (s+pk) e fazendo s = -pk.: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  44. Expansões em frações parciais quando F(s) tem apenas pólos distintos (Cont.) Temos que Como INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  45. Exemplo: Determinar a transformada inversa de Expandindo em franções parciais: Usando a fórmula INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  46. Exemplo (Cont) Vimos que INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  47. Portanto Exemplo 2 : Achar a transformada inversa de Laplace de INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  48. Cuja solução é Portanto Note que o o último termo à direita se refere ao exemplo anterior Então INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  49. Frações parciais quando F(s) envolve polos complexos conjugados Determinação de 1 e 2 multiplicar por (s+p1) (s+p2) e fazer s = -p1: fornecendo INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

  50. Exemplo: Encontrar a transformada inversa de Laplace de Expandindo F(s) Note que Multiplicando ambos os lados por (s2+s+1) e substituindo em ambos os lados da F(s) expandida obtem-se INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE SISTEMAS DE CONTROLE Aulas 5-6

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