Teoria da Computação

UNIPÊ – Centro Universitário de João PessoaCurso de Ciências da Computação Teoria da Computação MÁQUINAS UNIVERSAIS Fabrício Dias fabriciounipe@ig.com.br

Agenda • Algoritmo – Definições • Máquina – Definições • Máquina Universal • Codificação de conjuntos estruturados e programas monolíticos • Exemplos

Problema ALGORITMO Solução Algoritmo • Termo usado intuitivamente para a solução de um problema

Algoritmo • Solução de um problema: • Descrição finita e não-ambígua; • Passos discretos; • Executáveis mecanicamente em um tempo finito.

Algoritmo • Limitações de tempo podem, eventualmente, determinar se um algoritmo pode ou não ser utilizado na prática; • Entretanto, limitações de tempo não são restrições teóricas pois a inexistência de limitações não implica recursos ou descrições infinitas.

Algoritmo Assim, recursos de tempo e de espaço devem ser “tanto quanto necessários”.

Algoritmo • Considerando que um algoritmo deve possuir uma descrição finita, alguns tipos de dados podem não satisfazer tal condição, por exemplo os números irracionais • O número  • Assim, no que segue, o estudo é restrito aos algoritmos definidos sobre o conjunto dos números naturais.

Algoritmo • Algoritmos definidos sobre o conjunto dos números naturais. • Qualquer conjunto contável pode ser equivalente ao dos naturais, através de uma codificação.

Máquina • Conceito: • Interpreta os programas de acordo com os dados fornecidos; • É capaz de interpretar um programa desde que possua uma interpretação para cada operação ou teste que constitui o programa.

Máquina • O conceito de programa satisfaz à noção intuitiva de algoritmo; • Entretanto, é necessário definir a máquina a ser considerada; • Tal máquina deve ser suficientemente: • Simples • Poderosa

Máquina • Simples: • Permite estudos de propriedades, sem a necessidade de considerar características não-relevantes; • Permite estabelecer conclusões gerais sobre a classe de funções computáveis; • Poderosa: • Capaz de simular qualquer característica de máquinas reais ou teóricas.

Máquina Universal • Se for possível representar qualquer algoritmocomo um programa em uma máquina, então esta é denominada de máquina universal.

Máquina Universal • Evidências de que uma máquina é universal: • Evidência Interna. Qualquer extensão das capacidades da máquina universal não aumenta o seu poder computacional; • Evidência Externa. Outros modelos que definem a noção de algoritmo são, no máximo, computacionalmente equivalentes.

Codificação de conjuntos estruturados • Problema da codificação de conjuntos estruturados: • onde elementos de tipos de dados estruturados são representados como números naturais.

Codificação de conjuntos estruturados • Definição: para um dado conjunto estruturado X, a idéia básica é definir uma função injetora: c: X →  ou seja, uma função tal que, para todo x,y  X, tem-se que: se c(x) = c(y), então x=y Neste caso, o número natural c(x) é a codificação do elemento estruturado x.

Exemplo 1 • Codificação de n-Uplas Naturais • Suponha que é desejado codificar, de forma única, elementos de Nn como números naturais, ou seja, deseja-se uma função injetora: c: Nn → N

Exemplo 1 Uma codificação simples é a seguinte: • pelo Teorema Fundamental da Aritmética, cada número natural é unicamente decomposto em seus fatores primos;

Exemplo 1 Uma codificação simples é a seguinte: • suponha que p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5 e assim sucessivamente. Então, a codificação c: Nn → N definida como segue é unívoca (suponha (x1, x2, ..., xn) em Nn): c(x1, x2, ..., xn) = p1x1 * p2 x2 * ... * pnxn

Exemplo 2 • Codificação de Programas Monolíticos • Um programa monolítico pode ser codificado como um número natural. • Suponha um programa monolítico P = (I, r) com n instruções rotuladas onde {F1, F2, ..., Ff} e {T1, T2, ..., Tt} são os correspondentes conjuntos de identificadores de operações e testes;

Exemplo 2 • Codificação de Programas Monolíticos • Seja P' = (I, 1) como P, onde 1 é o rótulo inicial, e 0 o único rótulo final; • Assim, uma instrução rotulada pode ser de uma das duas seguintes formas: • Operação: r1: faça Fk vá_para r2 • Teste: r1: se Tk então vá_para r2 senão vá_para r3

Exemplo 2 • Codificação de Programas Monolíticos • Cada instrução rotulada pode ser denotada por uma quádrupla ordenada, onde a primeira componente identifica o tipo da instrução: • Operação (0): r1: faça Fk vá_para r2 (0, k, r2, r2) • Teste (1): r1: se Tk então vá_para r2 senão vá_para r3 (1, k, r2, r3)

Exemplo 2 • Codificação de Programas Monolíticos • Usando a codificação, o programa monolítico P’, visto como quádruplas ordenadas pode ser codificado como segue: • cada quádrupla (instrução rotulada) é codificada como um número natural. Assim, o programa monolítico P’ com m instruções rotuladas pode ser visto como uma n-upla;

Exemplo 2 • Codificação de Programas Monolíticos • por sua vez, a n-upla correspondente ao programa monolítico P’ é codificada como um número natural, usando a codificação.

Exemplo 2 • Codificação de Programas Monolíticos • Suponha o número p = (2150)*(3105) • Portanto, o programa possui duas instruções rotuladas correspondentes aos números 150 e 105. Relativamente às decomposições em seus fatores primos, tem-se que: • 150 = 21*31*52*70 • 105 = 20*31*51*71

Exemplo 2 • Codificação de Programas Monolíticos • o que corresponde às quádrulas: (1, 1, 2, 0) e (0, 1, 1, 1), que é o mesmo que: 1: se T1 então vá_para 2 senão vá_para 0 2: faça F1 vá_para 1

Exemplo • Codificar o programa monolítico em um único número natural P1. F->1, G->2. 1: faça F vá_para 2 2: se T então vá_para 3 senão vá_para 5 3: faça G vá_para 4 4: se T então vá_para 1 senão vá_para 0 5: faça F vá_para 6 6: se T então vá_para 7 senão vá_para 2 7: faça G vá_para 8 8: se T então vá_para 6 senão vá_para 0

Exemplo 1: faça F vá_para 2 (0, 1,2, 2) 2: se T então vá_para 3 senão vá_para 5 (1, 1, 3, 5) 3: faça G vá_para 4 (0, 2, 4, 4) 4: se T então vá_para 1 senão vá_para 0 (1, 1, 1, 0) 5: faça F vá_para 6 (0, 1, 6, 6) 6: se T então vá_para 7 senão vá_para 2 (1, 1, 7, 2) 7: faça G vá_para 8 (0, 2, 8, 8) 8: se T então vá_para 6 senão vá_para 0 (1, 1, 6, 0)

Exemplo • que correspondem aos seguintes números naturais: 1: 20.31.52.72 = 3675 2: 21.31.53.75 = 12605250 3: 20.32.54.74 = 13505625 4: 21.31.51.70 = 30 5: 20.31.56.76 = 5514796875 6: 21.31.57.72 = 7350 7: 20.32.58.78 = 20266878520000 8: 21.31.56.70 = 93750

Exemplo • Transformando o programa monolítico em um número natural, temos que P1: P1 = 23675 * 312605250 * 513505625 * 730 * 115514796875* 137350 * 1720266878520000 * 1993750

Dúvidas????

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