Monte Carlo (MC)

2. Monte Carlo (MC) • Metode stohastice: se bazeaza pe numere aleatoare, probabilitati si statistica Larg raspandite: de la economie, la fizica nucleara, reglementarea traficului rutier

3. http://findarticles.com/p/articles/mi_qa4051/is_200508/ai_n15328387http://findarticles.com/p/articles/mi_qa4051/is_200508/ai_n15328387

5. Modul de aplicare difera de la domeniu la domeniu • Chiar in cadrul chimiei exista zeci de subtipuri de tehnici MC

6. Carasteristica pricipala pentru rezolvarea unei probleme: folosirea numerelor aleatoare

7. Descrierea ecuatiilor de miscare este simpla dar rezolvarea lor pentru mii si zeci de mii de atomi este practic imposibila. Cu MC, un sistem este investigat este sondat in diverse configuratii intamplatoare care pot fi apoi folosite pentru descrierea de ansamblu.

8. Cea mai simpla metoda: “tintit sau ratat”Aplicatie: calcularea numarului 

9. Calculatorul • Numar mare de aruncari foarte mare pentru estimare • Raza cercului este 1,0 • Se genereaza doua numere aleatoare: coordonatele x si y • Se calculeaza distanta de la origine prin teorema lui Pitagora • Daca distanta <=1.0 s-a “tintit” regiunea colorata

10. Se repeta procedura de mii sau milioane de ori si se estimeaza . • Preciziaestimariidepinde de: • Numarul de “aruncari • Calitateageneratorului de numerealeatoare

11. Algoritm de calcul ar fi: • x=(random#) • y=(random#) • dist=sqrt(x^2 + y^2) • if dist.from.origin (less.than.or.equal.to) 1.0 let hits=hits+1.0

12. In modelarea moleculara: se genereaza stari de energie scazuta prin modificarea aleatoare a configuratiilor. • Metoda MC “sondeaza” din spatiul 3N al pozitiilor particulelor. • Nu se calculeaza impulsuri (viteze)

13. Cum se calculeaza proprietatile termodinamice din MC daca spatiul fazelor este 6N- dimensional? H : energia totala a sistemului (Hamiltonian). H depinde de 3N pozitii si 3N impulsuri

14. Separarea integralei (daca energia potentiala nu depinde de viteze): Ecuatia dupa impulsuri se poate rezolva analitic: Si rezulta

15. Integrala dupa pozitii se mai numeste si integrala configurationala: De exemplu, energia potentiala medie se poate calcula din:

16. Nu este posibil sa se evalueze aceata integrala analitic • Metode numerice, de exemplu metoda trapezului: Daca s-a impartit intergrala in 10 trapeze sunt necesare 11 evaluari de functii. Pentru o functiie de doua variabile f(x,y) numarul de evaluari se ridica la patrat. In general, pentru o functie de 3N dimensiuni numarul total de evaluari este m3N, unde m este numarul de evaluari pentru fiecare functie

17. Nu este posibil sa se integreze prin metoda Simpson. Aternativa: metoda numerelor aleatoare • De exemplu, pentru 50 de particule si 3 puncte/dimensiune rezulta 3150 (~1071)

18. Pentru calculul functiei de partitie pentru un sistem din N particule folosind metoda simpla de integrare MC: • Se obtine o configuratie a sistemului prin generare aleatoare a 3N coordonate carteziene • Se calculeaza energia potentiala de configuratie V(rN) • Se calculeaza factorul Boltzmann, exp(-V(rN)/kBT) • Se adauga factorul Boltzmann la o suma de acumulare, si produsul dintre energia potentiala si factorul Boltzmann la alta suma de acumulare. Se intoarce la pasul 1 • Dupa un numar de Nincercari, valoarea medie a energiei potentiale poate fi calculata dupa formula:

19. Nu este fezabil pentru calculul proprietatilor termodinamice: • Numar extrem de mare de configuratii care au factor Boltzmann extrem de mic datorita energiilor mari obtinute prin suprapunerea particulelor • Doar o mica parte din spatiul fazelor care corespunde configuratiilor de energie mica, pentru particule care nu se suprapun au factor Boltzmann apreciabil.

20. Metoda Metropolis • Pentru multe proprietati termodinamice ale unui sistem molecular, starile care au probabilitatile cele mai mari sunt si cele cu cea mai semnificativa contributie la integrala. Exceptie notabila: Energia libera • In generarea configuratiilor sunt favorizate configuratiile care au contributia cea mai semnificativa la integrala

21. Implementarea metodei MC Metropolis • La fiecare iteratie se genereaza o noua configuratie (ex: modificarea aleatorie a coordonatei carteziene a unei singure particule alese la intamplare) • Se genereaza aleator un numar , intre 0 si 1 • Xnew=xold+(2 -1)δrmax • ynew=yold+(2 -1)δrmax • znew=zold+(2 -1)δrmax •  numar aleator pentru x,y si z. δrmax este deplasarea maxima in orice directie.

22. Se calculeaza energia potentiala a noii configuratii (Nu este necesar sa se calculeze complet energia potentiala, doar partea din energie care este implicata in interactiunea cu particula a carei pozitie a fost schimbata) • Daca noua configuratie are energie mai mica decat energia precenedenta, configuratia se pastreaza si este configuratia de start pentru calculul urmator • Daca noua configuratie are energie mai mare decat precedenta, se evalueaza factorul Boltzmann exp(-V/kBT) si se compara cu un numar aleator intre 0 si 1. Daca factorul Boltzmann este mai mare atunci configuratia se pastreaza; daca nu, configuratia este respinsa si configuratia initiala este folosita pentru miscarea urmatoare. Marimea miscarii depinde de deplarea maxima, δrmax care este un parametru ajustabil

23. Generatorul de numere aleatoare • Este folosit de multe ori in cadrul simularii MC: la generarea noilor configuratii si la luarea deciziei de acceptare a unei configuratii de energie mai mare. • In MD este folosit la atribuirea vitezelor initiale. • Numerele aleatoare generate de calculator nu sunt cu adevarat aleatoare: aceleasi secvente de numere se genereaza daca programul ruleaza cu aceleasi conditii initiale: generator “pseudo-aleator”. Se pot obtine siruri diferite de numere aleatoare daca numarul initial (“seed”) este diferit. O strategie simpla este de a da la intamplare un “seed” de catre utilizator, sau sa se foloseasca data si timpul calculatorului ca baza pentru “seed”

24. Exemplu: metoda congruenta liniara • Fiecare numar din secventa este generat prin considerarea numarului predent • Multiplicare cu o constanta, a (multipicator) • Adaugarea unei constante, b (increment) • Calculul restului impartii la a treia constanta, m (modulul). Exemplu: MOD(14,5)=4 • Prima valoarea este “seed”, valoarea furnizata de utilizator Se genereaza numere intregi, care pot fi converitite la reali intre 0 si 1 prin impartire la m Modulul se alege drept cel mai mare numar care poate fi reprezentat cu un anumit numar de biti: se alege de obicei 231-1 pentru un calculator pe 32 de biti.

25. “Simulated annealing” • Tehnica speciala in MD (`quenched' MD) sau MC. • Temperatura este scazuta treptat in timpul simularii • Sistemul este mai intai incalzit si apoi racit treptat • Se da posibilitatea sistemului sa depasesca bariere energetice pentru a gasi conformatia de minim global de energie

27. SMMP • http://www.phy.mtu.edu/biophys/smmp.htm

28. http://cmm.cit.nih.gov/software.html

29. II. Analiza conformationala

30. Proprietatile fizice, chimice, biologie ale moleculelor depind de structura tridimensionala • Analiza conformationala: studiul conformatiei unei molecule si a influentei asupra proprietatilor • Conformatie: aranjarea spatiala ale atomilor care se pot obtine prin rotatii in jurul legaturilor simple. Totusi: distorsiuni mici ale distantelor de legatura si unghiurilor pot duce la modificari conformationale.

31. Cautarea conformationala • Identificare conformatiilor preferate ale moleculei, conformatii legate de comportarea moleculei. • Conformatii de energie minima: metode de minimizare. Dezavantaj: se obtine conformatia de energie minima cea mai apropiata de punctul de plecare

32. Metoda explorarii sistematice • Exploreaza sistematic spatiul conformational; de obicei intr-o grila. • Etape: • Se identifica legaturile in jurul carora se pot efectua rotatii. • Se fixeaza lungimile de legatura si unghiurile de legatura. • Se modifica fiecare unghi intre 0 si 3600, cu un increment fix • Fiecare configuratie generata este supusa minimizarii energetice

33. Reprezentarea Ramachandran

34. In regiune βS dipolii CO si NH sunt paraleli; se pot forma legaturi specifice fii pliate β. In βP gruparile CO si NH sunt aproximativ perpendiculare si este optimizata interactiunea cu Ci-1...O. Specifica prolinei In regiunea  , dipolii CO si NH din AA invecinati formeaza o legatura de hidrogen distorsionata, intoarcere- 

35. Dezavantaj major al cautariii sistematice: numarul foarte mare de structuri care trebuie generate si minimizate. Numarul de structuri generate este dat de : unde I este incrementul diedrului legaturii i. De exemplu daca sunt 5 legaturi si incrementul este de 300 pentru fiecare legatura, se genereaza 248832 de structuri

36. Energia este explorata dupa toate gradele de libertate http://www.bmb.uga.edu/wampler/tutorial/prot2.html

37. Se formeaza o retea n-dimensionala http://cmm.cit.nih.gov/modeling/guide_documents/conformation_document.html

39. lent rapid

41. Se aplica la molecule mici sau fragmente de macromolecule • Peptide sioligozaharide cu <10 monomeri • Dificil de aplicat la molecule (macro)ciclice

42. “Filtre” • “cutoff” de energie • Constrangeri de distante (din RMN, modele de farmacofori) • Constrangericonformationale (analogie cu un set de componente)