Equilibre d’un solide

1. Equilibre d’un solide Statique analytique

2. III – Isolement et équilibre d’un solide STATIQUEDUSOLIDE S = F1 + F2 + ...+ Fi = 0 1ere condition d’EQUILIBRE d'un solide : « Théorème des FORCES » Équilibre d’un solide La somme vectorielle des FORCES EXTERIEURES appliquées à un solide en équilibre est NULLE

3. III – Isolement et équilibre d’un solide STATIQUEDUSOLIDE F filY objet P A mainYfil avec F = - P F objetYfil Prenons l’exemple d’un objet soutenu avec un fil : Que subit l'objet ? Équilibre d’un solide Théorème des forces Le fil, comme l'objet, est enéquilibre sous l'action de deux forces qui sont "égales et opposées" Que subit le fil ?

4. III – Isolement et équilibre d’un solide STATIQUEDUSOLIDE F1 = - F2 Les forces s’équilibrent… F1 F2 F1 et F2 sont opposés donc les moments s’opposent aussi mais ne s’équilibrent pas car d2 < d1 M(F2) M(F1) Reprenons l’exemple de la porte… Mais qu’en est-il des moments ? M(F1) = d1 xF1 Équilibre d’un solide M(F2) = d2 xF2 Donc la porte s’ ouvre

5. III – Isolement et équilibre d’un solide STATIQUEDUSOLIDE MA =MA (F1) + MA (F2) + ...+ MA (Fi) = 0 2eme condition d’EQUILIBRE d'un solide « Théorème des MOMENTS » Équilibre d’un solide La somme des MOMENTS DES FORCES EXTERIEURES appliqués à un solide en équilibre est NULLE

6. III – Isolement et équilibre d’un solide STATIQUEDUSOLIDE S = F1 + F2 + ...+ Fi = 0 MA =MA (F1) + MA (F2) + ...+ MA (Fi) = 0 On s’aperçoit donc que pour être en équilibre, il faut que la somme des forces extérieures et la somme des moments extérieurs appliqués sur un solide soient nulles. Ceci nous amène à formuler le… PRINCIPE FONDAMENTAL DE LA STATIQUE (PFS) : Équilibre d’un solide Dans un repère GALILEEN, pour tout système isolé (S) en équilibre par rapport à ce repère, la somme de toutes les actionsmécaniques extérieures exercées sur (S), est nulle.

7. IV –Résolution des problèmes de statique STATIQUEDUSOLIDE L’objectif de la statique est de calculer l’ensemble des actions mécaniques appliquées à un solide en équilibre. Pour résoudre de tels problèmes, nous disposons de plusieurs méthodes de résolution, réparties en 2 « familles » Analytique (utilisée pour tout problème et surtout ceux en 3D) Graphique (Utilisée pour les problèmes plans ) Méthodes de résolution Solide soumis à deux forces Théorème des forces (cas de trois forces colinéaires) Solide soumis à trois forces Théorème des moments (cas de trois forces parallèles) Méthode des torseurs (elle n’est pas au programme)

8. IV –Résolution des problèmes de statique STATIQUEDUSOLIDE Cette séquence est à retenir Quel que soit le problème à résoudre, vous devrez commencer par la séquence qui suit afin de bien choisir la méthode de résolution. Isoler le système étudié Aidez-vous du graphe des liaisons Modéliser les actions extérieures et les nommer N’oubliez pas les actions à distance ! Faire le bilan de ces actions On utilise généralement un tableau sur ce modèle : Méthodes de résolution Dans les cases de ce tableau, on écrit tout ce qui est connu. Lorsque l’information est manquante, on y note un point d’interrogation. Résoudre le problème Choisir la bonne méthode : Analytique ou graphique

9. IV –Résolution des problèmes de statique STATIQUEDUSOLIDE Analytique (utilisée pour tout problème et surtout ceux en 3D) S = F1 + F2 + ...+ Fi = 0 z Toutes ces forces sont alignées Cette méthode est à retenir Théorème des moments Méthode des torseurs P1 + P2 + T = 0 P2 P1 T Le théorème des forces est généralement utilisé dans le cas, le plus simple, où toutes les forces appliquées à un solide sont alignées. Théorème des forces La somme vectorielle est alors suffisante. Exemple : passager dans un ascenseur : l’ascenseur+câble+passager • Choix du solide à isoler : - Poids du passager P2=750 N • Bilan des actions : Statique analytique - Poids de l ’ascenseur P1 3000 N - Tension du câble T = ? • Application du théorème des forces : Attention, l’application numérique n’est pas directe ! Il faut projeter les vecteurs forces sur l’axe z (arbitraire). - P1 - P2 + T = 0 • Application numérique : T = P1 + P2 = 3750 N

10. IV –Résolution des problèmes de statique STATIQUEDUSOLIDE P2 =? P1 =? P1 =? P2 =? M A =M A(P1) + M A(P2) + ...+ M A(T) = 0 Analytique (utilisée pour tout problème et surtout ceux en 3D) M/A(T) M/A(P2) Théorème des forces A Méthode des torseurs P1 + P2 + T = 0 T T Le théorème des moments est utilisé lorsque l’on a plusieurs forces parallèles. Théorème des moments En effet le théorème des forces, seul, s’avère insuffisant car des moments de forces apparaissent. Statique analytique Il faut donc aussi exprimer les moments de ces forces par rapport à un point (judicieusement choisi, par exemple le point A).

11. IV –Résolution des problèmes de statique STATIQUEDUSOLIDE + 0,5m 3m 3,5m Toutes ces forces sont parallèles Analytique (utilisée pour tout problème et surtout ceux en 3D) Théorème des forces Cette méthode est à retenir Méthode des torseurs M A =M A(P1) + M A(P2) + M A(A02) + M A(B02) = 0 A G1 G2 B B02 A02 P1 P2 Exemple : La barrière Théorème des moments • On choisit le solide à isoler : La lisse (2) avec son contrepoids (1) • Bilan des actions : - Poids du contrepoids P1=1000 N - Poids de la lisse P2 = 200 N - Action du pivot A02= ? Statique analytique - Action de la butée B02= ? • Application du théorème des moments : Attention, pour passer de la relation vectorielle à la relation algébrique, il faut tenir compte du signe du moment par rapport au sens choisi (arbitraire mais de préférence direct) et projeter la relation vectorielle sur un axe (ici z). M A = M A(P1) – M A(P2) + M A(A02) + M A(B02) = 0 0,5xP1 -3xP2+ 0 + 6,5xB02 = 0 • Application numérique : B02 = (AG2. P2 - AG1.P1) / AB = (3*200 - 0.5*1000) / 6.5 = 15.38 N