Het meten van radioaktiviteit

1. er zijn van deze intervallen Het meten van radioaktiviteit meet pulsen gedurende meettijd t wat is de kans om n pulsen te meten? wat is de verdelingsfuntie van pulsen? verdeel de meettijd t in kleine intervallen Dt kans op een puls in interval Dt is p kans op geen puls in interval is (1-p) er mag maximaal 1 puls kan voorkomen Dt moet héél klein zijn kans op n pulsen in N intervallen:

2. Poissonverdeling = van de binomiaalverdeling met binomiaalverdeling: Poissonverdeling

3. standaardafwijking van de losse metingen: Als we maar 1 meting doen en geen hele serie meetresultaat n Hoe goed is deze benadering?

4. ligt met ca. 68% zekerheid in het interval n ligt met ca. 68% zekerheid in het interval ligt met ca. 68% zekerheid in het interval ligt met ca. 96% zekerheid in het interval Mag ik aannemen dat conclusie:

5. Opgaven van vorige keer Wat is de kans Pn(N) dat de dronken man in exact N stappen op positie n terecht komt? Teken Pn(N) als functie van N bij n=10 en p=0.5 (in Origin) Is ? Probeer te berekenen Is het maximum van de kromme?

6. Let op Pn(N) = kans om op de Nde stap op positie n terecht te komen PN(n) = kans om na N stappen op positie n te staan

7. Oplossingen Hij moet in de laatste stap vooruit stappen, dus: Kans Pn(N) = kans dat hij na N-1 passen op positie n-1 is  kans dat hij de Nde pas vooruit stapt dus merk op: Pn(N)=0 voor N<n

8. In een plaatje

9. waarbij Is ?

10. waarbij Is ? q.e.d.

11. dus bij n=10 en p=0.5 is Wat is ?

12. dus bij n=10 en p=0.5 is Wat is ?

13. Lijkt de Poissonverdeling op de Gaussverdeling? Poissonverdeling met m=20 Gaussverdeling met en

14. Lijkt de binomiaalverdeling op de Gaussverdeling? Binomiaal-verdeling met N=100 en p=0.2 Gaussverdeling met en

15. neem Poisson: noem de staplengte van de dronken man: neem Gauss: met Limieten van de binomiaalverdeling Binomiaalverdeling

16. niet oplosbaar schrijf nog steeds niet oplosbaar Het probleem van de Gaussverdeling kans op een meting x tussen grenzen a en b:

17. definieer • (z) heet de gereduceerde normale verdeling • d.i. de gewone normale verdeling met en • de grenswaarde za is het aantal keer s dat a van afligt • ik kan volstaan met 1 tabel: zie diktaat blz. 69 De gereduceerde normale verdeling

18. Een oefening diktaat blz. 72, opg. 2

19. Overzicht van alle zaken tot nu toe

20. systematische fouten elimineren of voor corrigeren Fouten toevallige fouten rekenregels 2 soorten fouten

21. 2 soorten betrouwbaarheidsintervallen • 100% intervallen • notatie: • als iedere(herhaling van de) meting hetzelfde resultaat oplevert • 68% intervallen • notatie: • als er toevallige afwijkingen zijn meting herhalen om Sp te bepalen

22. Notatie van meetresultaten • Onzekerheden opgeven met 1 significant cijfer • Bij tussenresultaten: 2 significante cijfers • Meetresultaat en onzekerheid op dezelfde positie afronden • EENHEDEN vermelden

23. Rekenregels - foutenvoortplanting • 100%-intervallen: • gemeten zijn de grootheden • berekend wordt de grootheid • Algemene regel: • Speciale gevallen: • f(x1, …, xn) = som of verschil van x1, .., xnabsolute onzekerheden optellen • f(x1, …, xn) = product of quotiënt van x1, .., xnrelatieve onzekerheden optellen partiële afgeleide

24. Rekenregels - foutenvoortplanting • 68%-intervallen: • gemeten zijn de grootheden • berekend wordt de grootheid • Algemene regel: • Speciale gevallen: • f(x1, …, xn) = som of verschil van x1, .., xnabsolute onzekerheden kwadratischoptellen • f(x1, …, xn) = product of quotiënt van x1, .., xnrelatieve onzekerheden kwadratischoptellen partiële afgeleide

25. Voorwaarden • Onzekerheden moeten onafhankelijk zijn • Onzekerheden moeten klein zijn Let op: onzekerheden in hoeken in radialen en niet in graden

26. Metingen met toevallige afwijkingen strooiing van meetresultaten xi rond de werkelijke waarde xw kansverdeling: meestal normale verdeling (Gaussverdeling) p(x) dx = kans om een meting te doen met resultaat tussen x en x+dx kans om x te meten met a  x  b is

27. Verdeling van meetresultaten  veel metingen

28. kansdichtheidsfunctie: ca. 68 % van de metingen definities: verwachtingswaarde: algemeen: variantie: standaardafwijking:

29. Losse metingen x1, …, xN theorie: eindig aantal metingen: standaardafwijking van de metingen: S2 = steekproefvariantie

30. standaardafwijkingen standaardafwijking van de losse metingen: standaardafwijking van het gemiddelde: standaardafwijking van de standaardafwijking: standaardafwijking van de standaardafwijking van het gemiddelde:

31. De standaardafwijking • De standaardafwijking is het 68%-betrouwbaarheidsinterval • S = onzekerheid in één meting • Sm = onzekerheid in het gemiddelde • SS = onzekerheid in S • SSm = onzekerheid in Sm Merk op: is ONAFHANKELIJK van het aantal metingen N (mits N groot is) hangt WEL af van het aantal metingen want dus

32. Het gewogen gemiddelde is met gewichtsfactoren De onzekerheid in is Het combineren van meetresultaten Gemeten zijn

33. Kleinste-kwadraten-methode • gemeten zijn (xi,yi) • gezocht wordt de lijn ax + b • parameters a en b zijn de onbekenden oplossing vind je door te minimaliseren

34. Aannames bij de kleinste-kwadraten-methode

35. c2-fit niet-lineair verband lineair verband minimaliseer c2 m.b.v. of i.h.a. niet analytisch oplosbaar voor willekeurige f(x). Wel voor rechte lijnen en macht-reeksen (voor lijn door de oorsprong) a,b,c,… zijn de onbekenden

36. Voorwaarde voor alle fits Neem evenveel fitparameters als onbekenden in het probleem

37. Oplossing voor een rechte lijn

38. yi-waarden zijn eenmalig gemeten yi-waarden zijn bepaald uit meetseries (= onzekerheid in de meetpunten) (= stooiing van de meetpunten rond de rechte lijn)

39. Verdelingsfuncties continue functies p(x) discrete functies P(n) kansdichtheid kans

40. Binomiaalverdeling

41. Poissonverdeling • Opmerkingen: • Poissonverdeling krijg je uit de binomiaalverdeling door N te nemen en Np==constant te houden • De breedte () van de verdeling wordt bepaald door het gemiddelde  via • Bij 1 meting (n) ken je die breedte al heel redelijk via voor grote n

42. Normale verdeling of Gaussverdeling  is de standaardafwijking

43. (z) heet de gereduceerde normale verdeling • d.i. de gewone normale verdeling met en • de grenswaarde za is het aantal keer s dat a van afligt • ik kan volstaan met 1 tabel: zie diktaat blz. 69 Gereduceerde normale verdeling definieer