BAB V

1. BAB V VEKTOR

2. 5.1 Pengantar Vektor didefinisikan sebagai besaran yang mempunyai arah. Secara geometrik vektor dapat dinyatakan sebagai anak panah pada bidang (dimensi 2) atau pada ruang (dimensi 3). Arah anak panah menunjukkan arah vektor, sedangkan panjang menunjukkan besaran vektor. Ekor anak panah disebut titik awal (initial point) dari vektor. Ujung anak panah disebut titik akhir (terminal point). B Gambar 5.1 A

3. Secara simbolis, vektor dapat dinyatakan dengan huruf kecil yang dicetak tebal, seperti a, k, v, atau x. Sedangkan bilangan (selanjutnya disebut skalar) ditulis dengan huruf kecil miring, seperti a, k, v, w, atau x. Sehingga vektor pada Gambar 5.1 dapat ditulis sebagai, 5.2 Ekivalensi vektor Vektor-vektor yang mempunyai ukuran dan arah yang sama disebut ekivalen. Gambar 5.2 Vektor-vektor yang ekivalen

4. Jika terdapat dua buah vektor yang ekivalen, berarti dua buah vektor tersebut mempunyai arah dan panjang yang sama. Jika v dan w adalah dua buah vektor yang ekivalen, maka dapat ditulis, v = w v 5.3 Vektor negatif Jika terdapat vektor v, maka negatif dari vektor v (ditulis –v ) adalah vektor yang besarnya sama dengan vektor v, tapi arahnya berlawanan. Gambar 5.3 Dua vektor yang sama besar dan arah berlawanan –v

5. 5.4 Penjumlahan vektor Jika v dan w adalah dua buah vektor, maka jumlah v + w ditentukan sebagai berikut. Letakkan titik awal vektor w berimpit dengan titik akhir vektor v. Vektor v + w adalah vektor yang ditunjukkan oleh anak panah dari titik awal vektor v hingga titik akhir vektor w. Misal terdapat vektor v dan w. w v Maka v + w didapat dengan cara w v + w v

6. Untuk mendapatkan w + v didapat dengan cara, w + v v w Jumlah vektor v + w dan w + v ekivalen. Artinya, v + w = w + v

7. w w v + w v + w v v v v w + v w + v w w

8. 5.5 Selisih vektor Jika v dan w adalah dua buah vektor, maka selisih w dari v ditulis v – w atau v + (–w). v w -w v v – w

9. Latihan Tentukan komponen-komponen vektor dengan titik awal P1 (4,8) dan titik akhir P2 (3,2) 2. Gambarkan vektor tersebut! Penyelesaian y (4, 8) (3, 2) x  O

10. 5.6 Hasil kali skalar dengan vektor Misal k adalah skalar dan v adalah vektor, maka hasil kali kv didefinisiklan sebagai vektor yang panjangnya |k| kali panjang v dan arahnya = arah vjika k > 0 dan berlawanan dengan v jika k < 0 v 1/2v –1/3 v 2v –v

11. 5.7 Vektor dalam Sistem Koordinat Bidang Misal v adalah vektor pada suatu bidang dan v ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpit dengan titik asal koordinat Kartesius. y Koordinat (v1, v2) dari titik akhir v disebut komponen v, ditulis, v =(v1, v2) (v1, v2) v x  O Gambar 5.4 Vektor pada Koordinat Kartesius

12. Dua buah vektor v =(v1, v2) dan w =(w1, w2) dikatakan ekivalen atau sama, jika dan hanya jika v1 = w1 dan v2 = w2 Penjumlahan dan perkalian skalar dengan vektor dapat dilakukan dengan mengacu pada komponen-komponennya. Jika terdapat v =(v1, v2) dan w =(w1, w2), maka v +w =(v1 + w1, v2 + w2) kv = (kv1, kv2)

13. Contoh 5.1 Diketahui vektor-vektor v = (1, –2) dan w = ( 7, 6). Tentukan v + w dan gambarkan pada koordinat Kartesius y (7, 6) (8, 4) x  O (1, –2)

14. Translasi sumbu Koordinat titik asal sebelum translasi adalah (k, l) y y’ Koordinat titik ujung sebelum translasi adalah (x, y) (x, y) (x’, y’) Koordinat titik asal setelah ditranslasi adalah O’(0, 0)  (k, l) x’ Koordinat titik ujung setelah ditranslasi adalah (x’, y’) O’ x  O x’ = x – k y’ = y – l

15. Contoh 5.2 Koordinat titik asal sebuah vektor pada sistem koordinat xy adalah (2,–3). Sedangkan koordinat titik ujungnya adalah (7, 5). Jika vektor ditranslasikan ke sistem koordinat x’y’ sehingga titik asalnya berada pada O’, tentukan koordinat titik ujung vektor pada sistem koordinat x’y’. Penyelesaian:

16. y’ y (5, 8) (7, 5) x  O x’ O’ (2, –3)

17. 5.8 Vektor dalam Sistem Koordinat Ruang Misal v adalah vektor pada suatu ruang dan v ditempatkan sedemikian rupa sehingga titik awalnya berimpit dengan titik asal sistem koordinat. z Koordinat (v1, v2, v3) dari titik akhir v disebut komponen v, ditulis, v =(v1, v2, v3) (v1, v2, v3) v y O x

18. Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2 vektor pada suatu ruang, maka argumen-argumen yang berlaku pada bidang juga berlaku pada ruang. v dan w adalah ekivalen jika dan hanya jika: v1 = w1, v2 = w2, v3 = w3 v + w = (v1 + w1, v2 + w2, v3 + w3) kv = (kv1, kv2, kv3) dengan k adalah sembarang skalar Contoh 5.3 Jika v = (5, -1, 3) dan w = (4, 2, 1), maka v + w = ((5+4), (–1+2), (3+1)) = (9, 1, 4) 2v = (2(5), 2( –1), 2(3)) = (10, –2, 6) w – v = ((4 – 5), (2 – (–1)), (1 – 3) = (–1, 3, –2)

19. z (x2, y2, z2) (x1, y1, z1) y O x

20. z Jika titik awal vektor diletakkan pada titik O, maka titik ujung atau akhir dari vektor adalah: (x2–x1, y2–y1, z2–z1) y O x

21. Contoh 5.4 Komponen-komponen vektor v = mempunyai titik awal P1(2, –1, 4) dan titik akhir P2(7, 5, –8). Jika Titik awal diletakkan berimpit dengan titik asal, maka Koordinat titik akhir vektor = ((7 – 2), (5 –(–1), (–8 – 4)) = ( 5, 6, –12) Latihan Gambarkan posisi titik koordinat berikut! a. (3, 4, 5) b. (–3, 4, –5) II. Misal u = (–3, 1, 2) v = 4, 0, –8) w = (6, –1, –4) Tentukan a) u – v b) 2v– w c) w – 3u