1 / 36

Bab V

Bab V. Vektor Ruang Dimensi 2 dan Dimensi 3. Pengantar Vektor. Vektor Geometris. Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu.

shubha
Télécharger la présentation

Bab V

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Bab V VektorRuangDimensi 2 danDimensi 3

  2. PengantarVektor

  3. Vektor Geometris • Skalar (Luas, Panjang, Massa, Waktu dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak tertentu. • Vektor (Gaya, Percepatan, Berat, Kecepatan dan lain - lain), merupakan suatu besaran yang mempunyai nilai mutlak dan arah tertentu. • Vektor disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah dalam ruang berdimensi 2 dan ruang berdimensi 3. • Arah panah menentukan arah vektor dan panjang panah menentukan besarnya vektor.

  4. Ekor dari panah disebut titik pangkal vektor. • Ujung panah disebut titik ujung vektor. • Vektor ditulis dalam huruf kecil tebal (a, k, v, w, dan x), sedangkan Skalar ditulis dengan huruf kecil miring ( a, k, v, w, dan x) • Jika u menyatakan ruas garis berarah dari A ke B, maka ditulis dengan lambang ū = , panjang vektor u dinyatakan dengan |u| dan panjang vektor AB dinyatakan dengan

  5. Vektor - vektor yang panjangdanarahnyasamadisebutekuivalen, vektor-vektor yang ekuivalendipandangsamawalaupunmungkinterletakpadaposisi yang berbeda. Jika v dan w ekuivalen, kitatuliskanv = w B A Vektor AB Vektor-vektor yang ekuivalen

  6. Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka jumlah v dan w adalah vektor yang ditentukan sebagai berikut : • Letakkan vektor w sedemikian sehingga titik pangkalnya bertautan dengan titik ujung v. • Vektor v + w disajikan oleh panah dari titik pangkal v ke titik ujung w. w v + w = w + v v v + w

  7. Vektor yang panjangnya nol disebut vektor nol dan dinyatakan dengan 0. • Jika v adalah sebarang vektor tak nol, maka –v, negatif dari v, didefinisikan sebagai vektor yang besarnya sama dengan v, tetapi arahnya terbalik. v Vektor ini mempunyai sifat : v + (-v) = 0 -v

  8. v v-w w Jika v dan w adalah dua vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai : v – w = v + (-w) Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya k kali panjang v dan arahnya sama dengan arah v jika k > 0 dan berlawanan arah dengan v jika k < 0. Kita definisikan kv = 0 jika k = 0 atau v = 0

  9. Vektor-VektorDalamSistemKoordinat • Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 2 (Bidang) Koordinat v1dan v2dari titik ujung v disebut komponen v, dan kita tuliskan : v = (v1, v2) y (v1, v2) v x

  10. y v + w =(v1 + w1 , v2 + w2) w = (w1, w2) v + w w v = (v1, v2) v x v - w =(v1 - w1 , v2 - w2) kv = ( k.v1, k.v2)

  11. CONTOH : • Sketsakanvektor-vektorberikutinidengantitikpangkalpadatitikasal : • v1 = (3,6) (b) v2 = (-4, -8) (c) v3 = (5,-4) • Hitunglah ! • v1+v2danv2+v3 • v1-v2danv3-v2 • k.v1, k.v2, dank.v3jikak = 3

  12. CONTOH : Sketsakanu=(-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dancarilah, • u-v • 6u+2v • 5(v-4u)

  13. z z Z (v1,v2,v3) Y P v y y 0 X x x • Vektor - Vektor dalam Ruang Berdimensi 3 (Ruang)

  14. Jikavektormempunyaititikpangkal P1(x1,y1,z1) dantitikujung P2(x2,y2,z2), maka = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) Dengankata lain • CONTOH : • Sketsakanu=(-3, 1, 2), v = (4, 0, -8), dancarilah, • u - v • 6u + 2v • 5(v - 4u)

  15. AksiomaRuangVektor • Jika x, y dan z adalahsuatuvektordalamruang berdimensi-2 danruang berdimensi-3. danβadalahskalar, makaberlakuhubunganberikut : • x + y = y + x  SifatKomutatif • (x + y) + z = x + (y + z)  SifatAsosiatifpenjumlahan • x + 0 = 0 + x = x • 0x = 0 atau x0 = 0 • x + (-1)x = x + -x = 0

  16. Untuksuatuskalar ,  (x + y) = x + y  sifatdistributif • ( +) x = x + x, untuksuatuskalar  dan  sifatdistributif • ( ) x =  (x), untuksuatuskalar  dan  • 1 . x = x • |mu| = |m| |u| • Jika mu = 0, maka m = 0 atau u = 0 • Ketidaksamaansegitiga :

  17. PERGESERAN SUMBU Ketikakitamenggesersumbu –XY sehinggamendapatkan –X’Y’. O’ Titikawalbaruberadapadatitik (x , y) = ( k , l ), selanjutnyaterdapat : = (x’, y’) , maka : x’ = x – k dan y’ = y - l

  18. BIDANG PADA RUANG DIMENSI 3 • Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat ditentukan jika kemiringan dan salah satu titik yang terletak pada bidang tersebut diketahui. • Bidang dalam ruang dimensi 3 dapat digambarkan dengan menggunakan suatu vektor normal yang tegak lurus terhadap bidang.

  19. z P(x,y,z) . n . P0(x0,y0,z0) y x Misalkan n =(a,b,c) adalahvektor normal daribidang yang melewatititik P0(x0,y0,z0) dan P(x,y,z) dimana P0P adalahvektorortogonalterhadap n n . P0P = 0 ( a, b, c ) . ( x-x0, y-y0, z-z0) = 0 a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0) = 0 --- --- (i) Persamaan (i) disebutsebagaibentukNORMAL – TITIKdaripersamaansuatubidang

  20. BENTUK UMUM PERSAMAAN SUATU BIDANG DALAM DIMENSI 3 TEOREMA : Jika a, b dan c adalahkonstantatidaknol, makaGrafikdaripersamaan : ax + by + cz + d = 0 adalahsuatubidang yang memilikivektor : n = ( a, b, c) sebagainormalnya.

  21. GARIS PADA RUANG DIMENSI 3 z l . P(x,y,z) . P0(x0,y0,z0) v =(a, b, c) y x

  22. Berdasarkangambarsebelumnya, diketahuibahwagaris l melaluititik P0dan P sertasejajardenganvektorv. Jikaterdapatsuatuskalar T, makadiperolehpersamaanberikut :  P0P = t vdan;(x-x0, y-y0, z-z0) = (ta , tb, tc )x-x0 = ta x = x0 + ta …..(i) y-y0 = tb y = y0 + tb …..(ii) z-z0 = tcz = z0 + tc …..(iii)persamaan (i), (ii), (iii) disebutpersamaanparametrikuntukgaris l

  23. JARAK ANTARA TITIK DENGAN BIDANG Jika D adalah jarak antara titik P0(X0, Y0, Z0 ) dengan bidang : ax + by + cz + d = 0 maka

  24. Bilaterdapat P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) yang merupakanduatitikdalamruang berdimensi-3, makajarakd antarakeduatitiktersebutadalah:

  25. PanjangdanJarakVektor • Panjangsuatuvektor u dinyatakandengan |u|. Untukruangberdimensi 2. u = ( u1, u2) . Untuk ruang berdimensi 3. u = ( u1, u2, u3)

  26. Misalada P1(x1,y1,z1) dan P2(x2,y2,z2) adalahduatitikdalamruang berdimensi-3, makajarakd antarakeduatitiktsbadalah

  27. Hasil kali TitikdariVektor Jika u dan v adalahvektor - vektordalamruangberdimensi 2 atauberdimensi 3 dan adalahsudutantara u dan v, makahasil kali titikatauhasil kali dalameuclideanu.v, didefinisikansebagai :

  28. u.v = u1.v1+ u2.v2+u3.v3  R3 • u.v = u1.v1+ u2.v2  R2 • CONTOH : u = (2,-1,1) danv = (1,1,2), Carilahu.vdantentukansudutantaraudanv!

  29. SudutAntarVektor • Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol, maka :

  30. Hasil kali titikbisadigunakanuntukmemperolehinformasimengenaisudutantara 2 vektor. • Jika u dan v adalahvektor-vektortaknoldan adalahsudutantarakeduavektortersebut, maka :  lancipjikadanhanyajikau.v>0  tumpuljikadanhanyajikau.v<0  =/2 jikadanhanyajikau.v=0

  31. u.v = u1.v1+ u2.v2+u3.v3  R3 • u.v = u1.v1+ u2.v2  R2 CONTOH : u = (2,-1,1) danv = (1,1,2), Carilahu.vsertatentukansudutantaraudanv!

  32. Vektor-VektorOrtogonal • Vektor - vektor yang tegaklurusdisebutdenganvektor - vektorortogonal. • Duavektor u dan v ortogonal (tegaklurus) jikadanhanyajikauv = 0. • Untukmenunjukkanbahwa u dan v adalahvektor - vektor yang ortogonalmakakitatuliskan u  v.

  33. ProyeksiOrtogonal • Jika u dan a adalahvektor - vektordalamruangberdimensi 2 atau 3 danjika a ≠ 0, maka : Komponenvektor u yang sejajardengan a Komponenvektor u yang ortogonalterhadap a

  34. Hasil Kali SilangVektor • Jikahasil kali titikberupasuatuskalarmakahasil kali silangberupasuatuvektor. • Jika u = (u1,u2,u3) dan v = (v1,v2,v3) adalahvektor-vektordalamruangberdimensi 3, makahasil kali silang u x v adalahvektor yang didefinisikansebagai u x v =(u2v3 - u3v2 ,u3v1 - u1v3 ,u1v2 - u2v1 ) ataudalamnotasideterminan :

  35. Sifat-sifatUtamadariHasil Kali Silang • Jikau,v, dan w adalahsebarangvektordalamruangberdimensi 3 dan k adalahsebarangskalar, maka : u x v = -(v x u) u x (v+w) = (u x v) + (u x w) (u + v) x w = (u x w) + (v x w) k(u x v) = (ku) x v = u x (kv) u x 0 = 0 x u = 0 u x u = 0

  36. HubunganantaraHasil Kali TitikdanHasil Kali Silang • Jika u, v dan w adalahvektor-vektordalamruangberdimensi 3, maka : u.(u x v) = 0 u x v ortogonalterhadap u. v.(u x v) = 0 u x v ortogonalterhadap v. |u x v|2=|u|2|v|2 – (u.v)2 u x (v x w) = (u.w)v – (u.v)w (u x v) x w = (u.w)v – (v.w)u

More Related