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  1. TEMA 2 MATEMÁTICA FINANCIERA Matemáticas Aplicadas CS I

  2. TEMA 2.1bis * 1º BCS PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS Matemáticas Aplicadas CS I

  3. PROPIEDADES • 1.- Dos números distintos tienen logaritmos distintos. • Si P <> Q  log P <> log Q • a a • Ejemplos • Sea 2 <> 3  log 2 <> log 3  0,301030 <> 0,477121 • Sea 2 < 3  log 2 < log 3  0,301030 < 0,477121 • Sea 2 < 4  log 2 < log 4  - 1 < - 2 Falso, pues a < 1 • 1/2 ½ • Si P <> Q, sólo podemos afirmar que log P <> log Q • a a Matemáticas Aplicadas CS I

  4. 2.- El logaritmo de la base es 1 • log a = 1  a1 = a • a • Ejemplos • Log 2 = 1 , pues 21 = 2 • 2 • Log 5 = 1 , pues 51 = 5 • 5 • 3.- El logaritmo de 1 es 0, sea cual sea la base • log 1 = 0  a 0 = 1 , pues todo número elevado a 0 es la unidad. • a • Ejemplo • Log 1 = 0 , pues 10 0 = 1 • ln 1 = 0 , pues e 0 = 1 Matemáticas Aplicadas CS I

  5. 4.- El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. • loga x1 + loga x2 = loga (x1 x2) • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. • Hallar sin calculadora: • a) log 6 • log 6 = log 2.3 = log 2 + log 3 = 0,301030 + 0,477121 = 0,778151 • b) log 48 • Log 48 = log 2.2.2.2.3 = log 2+ log 2+ log 2+ log 2+ log 3 = • = 4 . 0,301030 + 0,477121 = 1,204120 + 0,477121 = 1,681241 Matemáticas Aplicadas CS I

  6. 5.- El logaritmo de una división es la resta de los logaritmos del dividendo y del divisor. • loga x1 - loga x2 = loga (x1 / x2) • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. • Hallar sin calculadora: • a) log 0,5 • log 0,5 = log 1 / 2 = log 1 - log 2 = 0 – 0,301030 = - 0,301030 • b) log 250 • Log 250 = log 1000 / 4 = log 1000 – log 4 = 3 – log 2.2 = • = 3 – (log 2 + log 2) = 3 – 0,301030 – 0,301030 = 2,397940 • c) log 2/3 • Log 2/3 = log 2 – log 3 = 0,301030 - 0,477121 = - 0,176091 Matemáticas Aplicadas CS I

  7. 6.- El logaritmo de una potencia es el producto del exponente por el logaritmo de la base. • p • loga x= p.loga x • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. • Hallar sin calculadora: • a) log 1024 • log 1024 = log 210 = 10. log 2 = 10 . 0,301030 = 3,010301 • b) log 81 • Log 81 = log 34 = 4. 0,477121 = 1,908484 • c) log 0,125 • Log 0,125 = log 125 / 1000 = log 53 – log 1000 = • = 3. log 5 – 3 = 3. log 10/2 – 3 = 3.(log 10 – log 2) – 3 = • = 3.(1 – 0,301030) – 3 = 3 – 0,903090 – 3 = - 0,903090 Matemáticas Aplicadas CS I

  8. Ejemplos • Halla el valor de x en la expresión: • 32000 . 23000 • x = ---------------------- • 52657 • Tomamos logaritmos decimales: • log x = log ( 32000 . 23000 / 52657 )= • = log 32000 + log 23000 - log 52657 = • = 2000.log 3 + 3000. log 2- 2657.log 5 = • = 2000.0,477121 + 3000. 0,301030 – 2657. 0,698970 = • = 0,179208 • Luego si log x = 0,179208  x = 10 0,179208 = 1,510803 Matemáticas Aplicadas CS I

  9. 7.- El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando , partido por el índice de la raíz. • n • loga√ x = (loga x) / n • Ejemplos • Sea log 2 = 0,301030 y log 3 = 0,477121. Hallar sin calculadora: • a) log √2 • log √2 = (log 2) / 2 = 0,301030 / 2 = 0,150515 • 3 • b) log √ 9 • 3 • log √ 9 = (log 9) / 3 = (log 32) / 3 = (2. log 3) / 3 = 2. 0,477121 / 3 = • = 0,318080 • 5 • c) log √ 0,008 • 5 • log √ 0,008 = (log 0,008) / 5 = (log 8 / 1000) / 5 = (log 8 – log 1000) / 5 = • = (log 23 – 3 ) / 5 = (3. 0,301030 – 3) / 5 = - 0,419382 Matemáticas Aplicadas CS I

  10. 8.- El logaritmo de un número en una base cualquiera, a, es igual al logaritmo del mismo número en una base distinta, b, dividido por el logaritmo de la base antigua, a, en la nueva base b. • Sea y = loga x  ay = x • Si dos expresiones son iguales, los logaritmos de ambas, en la misma base, también son iguales: • logb ay = logb x • y. logb a = logb x • Y despejando el valor de y tenemos: • logb x logb x • y = -----------  loga x = ---------- • logb a logb a • Nota: Lo más frecuente es que la nueva base b sea 10 ó e, es decir utilizar logaritmos decimales o neperianos para realizar el cambio de base. Matemáticas Aplicadas CS I

  11. EJEMPLO DE CAMBIO DE BASE • ¿Cuál es mayor, log 7 10 o log 5 7 ? • Al ser las bases distintas, 5 y 7, no podemos comparar sus logaritmos. • Al no ser ni logaritmos decimales ni neperianos, tampoco podemos calcular sus valores. • Es obligado el cambio de base. • log 7 10 = x  7x = 10  log 7x = log 10 • log 5 7 = y  5y = 7 log 5y = log 7 •  x. log 7 = log 10  x = log 10 / log 7 = 1,183294 •  y. log 5 = log 7 y = log 7 / log 5 = 1,209061 • Como y > x  log 5 7 > log 7 10 Matemáticas Aplicadas CS I

  12. OTRO EJEMPLO PRÁCTICO DE CAMBIO DE BASE • En las Tablas de derivadas aparece que la derivada de y = ln x • es y’ = 1 / x • ¿Cuál es la derivada de y = log 7 x? • Como no viene en las tablas, es obligatorio el cambio de base. • y = log 7 x  7y = x  ln 7y = ln x  • y.ln 7 = ln x  y = ln x / ln 7 y = (1 / ln 7). ln x • Que ya se puede derivar, al ser (1 / ln 7) un número real. • y ’ = (1 / ln 7). (1 / x) • En el Tema 10 si un logaritmo o expresión logarítmica no es un neperiano hay que aplicar un cambio de base para poder derivar la expresión. Matemáticas Aplicadas CS I