SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM SZERKEZETÉPÍTÉSI TANSZÉK MECHANIKA I.

1. SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM SZERKEZETÉPÍTÉSI TANSZÉK MECHANIKA I.

2. A MECHANIKA TÁRGYA MEREV vagy SZILÁRD testek, FOLYADÉK vagy GÁZ állapotú anyagok ill. ezek részecskéi MOZGÁSÁLLAPOTÁNAK ill. ALAK- MÉRETVÁLTOZÁSÁNAK vizsgálata, elemzése, összefüggéseinek feltárása

3. A MECHANIKA ANYAGAI

4. MEREV ANYAG – SZILÁRD ANYAG Az építőmérnöki gyakorlatban alkalmazott (tartó)szerkezetek legnagyobbrészt olyan (szilárd) anyagokból készülnek, amelyek ALAKVÁLTOZÁSA a szerkezet méretéhez képest több nagyságrenddel KISEBB. Az ilyen szerkezetek viselkedése jól közelíthető a MEREV ANYAG modelljével, amikoris a (valóságban MINDIG keletkező!) ALAKVÁLTOZÁSOKAT teljesen figyelmen kívül hagyjuk.

5. IDEÁLISAN MEREV ANYAG A merev anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra CSAK (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő szakító szilárdság - törőszilárdság fajlagos elmozdulás elmozdulás vagy

6. IDEÁLISAN RUGALMAS ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra egymással szigorúan arányban lévő (fajlagos) ERŐVEL ÉS (fajlagos) ELMOZDULÁSSAL reagál! Az ellenálló erő – a kialakuló alakváltozás elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő szakító szilárdság - törőszilárdság szakadónyúlás- törési összenyomódás elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

7. A MEREV-KÉPLÉKENY ANYAG A merev-képlékeny anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra először (az anyagra jellemző folyási feszültség eléréséig) CSAK (fajlagos) ERŐVEL REAGÁL, alakváltozás, elmozdulás nélkül, majd e határ elérése után, az erő további növekedése NÉLKÜL egyenletesen növekvő, állandó SEBESSÉGŰ ELMOZDULÁS következik be. A tönkremenetel ilyen esetekben az anyag alakváltozási képességének kimerülésével következik be. erő vagy fajlagos erő folyási feszültség szakadónyúlás- törési összenyomódás elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

8. A RUGALMAS-KÉPLÉKENY ANYAG A rugalmas-képlékeny anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra CSAK (fajlagos) ELMOZDULÁSSAL reagál, (fajlagos) ERŐ egyáltalán nem ébred! Az ELMOZDULÁS elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő folyási feszültség szakadónyúlás- törési összenyomódás elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

9. MEREV - KÉPLÉKENY ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

10. RUGALMAS - KÉPLÉKENY ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: fajlagos erő erő vagy A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

11. NEMLINEÁRISAN RUGALMAS ANYAG A szilárd, ideálisan rugalmas anyag modellje (erő-elmozdulás diagramja) a következő: A szerkezet, az anyag az őt ért hatásra (fajlagos) ERŐVEL reagál, (fajlagos) ELMOZDULÁS egyáltalán nem ébred! Az ellenálló erő elvben a végtelenig, a gyakorlatban az anyag tönkremeneteléig (töréséig, szakadásáig) növekedhet. erő vagy fajlagos erő elmozdulás vagy fajlagos elmozdulás

12. MECHANIKA STATIKA MEREV TESTEK STATIKÁJA SZILÁRD TESTEK STATIKÁJA

13. ALAPFOGALMAK STATIKA: a NYUGALOM tudománya MEREV TEST: a test MÉRETE, ALAKJA bármiféle hatás esetén VÁLTOZATLAN MARAD (idealizált állapot) SZILÁRD TEST: a test MÉRETE és/vagy ALAKJA az őt érő hatások nyomán a test méretéhez viszonyítva KISMÉRTÉKBEN VÁLTOZIK (valós állapot) ERŐ: a testek egymásra hatásának MÉRTÉKE

14. ERŐK Az anyagi testek egymásra hatásának mértékéül az ERŐ fogalmát választottuk. A testek egymásrahatása (tehát az ERŐ) okozhat MOZGÁS-ÁLLAPOT-VÁLTOZÁST

15. ERŐK Az anyagi testek egymásra hatásának mértékéül az ERŐ fogalmát választottuk. A testek egymásrahatása (tehát az ERŐ) okozhat ALAK-VÁLTOZÁST (itt történetesen a MOZGÁSÁLLAPOT IS megváltozik, méghozzá elég drasztikusan)

16. ERŐK Az anyagi testek egymásra hatásának mértékéül az ERŐ fogalmát választottuk. Végül a testek egymásrahatása (tehát az ERŐ) okozhat MÉRET-VÁLTOZÁST. A folyadékba merülő (merülésre KÉNYSZERÍTETT) gömb alakú labda ALAKJA NEM változik, de MÉRETE IGEN.

17. AZ ERŐ ERŐ: a testek egymásra hatásának MÉRTÉKE JELLEMZŐI: nagyság hatásvonal irányítás támadáspont szabad vektor kötött vektor irány

18. AZ ERŐ MEGADÁSA Az erő VEKTORát a síkban 2, a térben 3 összetevő (ill. vetület) határozza meg. Az erő TÁMADÁSPONTJÁT a síkban 2, a térben 3 koordináta határozza meg. Az ERŐ (nagyságát és helyét is egyértelműen rögzítő) meghatározásához tehát a síkban 4, a térben 6 adatra van szükségünk.

19. AZ ERŐ MEGADÁSA AZ ERŐ ADATAI • hatásvonal • irányítás Fz • nagyság • VEKTOR Fz • támadáspont z F • HELYHEZ KÖTÖTT VEKTOR x Fy y • összetevő (komponens) Fy Fx Fx • vetület

20. AZ ERŐ ADATAI-JELLEMZŐI HATÁSVONAL: az az egyenes, amelyben a vizsgált (erő)hatás jelentkezik, vagy összegezhető IRÁNYÍTÁS: a hatásvonalon melyik irányban működik a(z erő) hatás NAGYSÁG: az (erő)hatás nagysága VEKTOR: az irány- és nagyság-információt együttesen tartalmazó, a teljes (erő) hatás megjelenítésére használt matematikai fogalom TÁMADÁSPONT: a hatásvonalnak az a pontja, ahol az erőhatás a vizsgált testet éri (merev testek esetében nincs jelentősége) ÖSSZETEVŐ (komponens): a teljes (erő)hatásnak a választott koordináta-tengelyek irányába eső része (maga is vektor!) VETÜLET: a teljes (erő)hatásnak a választott koordináta-tengelyek irányába eső nagysága (ő maga skalármennyiség, de értéke megegyezik a megfelelő irányú komponens abszolút értékével: Fx = | Fx | vagy: Fx = Fx × i )

21. A FORGATÓNYOMATÉK Az ERŐk csoportja összegzett hatásában nemcsak eltoló, hanem elforgató is lehet. Ennek elemzéséhez új fogalmat kell bevezetnünk: ez a FORGATÓNYOMATÉK. A síkbeli (forgató)nyomaték definíciószerűen az ERŐ és az ERŐKAR SZORZATA, ahol az erőkar az erő hatásvonalának és a (forgásközép)-pontnak a távolsága. A forgatónyomaték jele M, a pozitív forgásirány az óra járásával megegyező.

22. A FORGATÓNYOMATÉK A (forgató)nyomaték a SÍKBAN skalár mennyiségként jelenik meg, hiszen a forgás SÍKJA, és ezáltal annak normálisaként a forgás TENGELYE is rögzített. A térben a forgástengely bármilyen állású lehet, ilyenkor a forgató hatást a koordináta-tengelyekre (vagy azokkal párhuzamos tengelyekre) lehet számítani. A térben is értelmezhető a nyomaték az ERŐ és az ERŐKAR szorzataként, csak a kar meghatározása körülményesebb. A támadáspont HELYVEKTORÁNAK és az ERŐ VEKTORÁNAK ismeretében azonban az erőnek az origóra vett NYOMATÉK VEKTORA az erővektor és a helyvektor VEKTORIÁLIS SZORZATA lesz.

23. AZ ERŐ NYOMATÉKA Mx=Fx×0-Fy×z+Fz×y AZ ERŐ NYOMATÉKA • A nyomatékot TENGELYRE számítjuk • A nyomatékot VEKTORként is értelmezhetjük: hatásvonala a TENGELY (a nyomaték síkjának NORMÁLISA), IRÁNYÍTÁSA (állása) olyan, hogy nyilával szembenézve a forgató hatás az óra járásával megegyező legyen • A nyomaték az ERŐ és az ERŐKAR SZORZATA (az erőkar a hatásvonal és a tengely NORMÁLTRANSZVERZÁLISA • A tengelyt METSZŐ erő nyomatéka a tengelyre ZÉRUS • A tengellyel PÁRHUZAMOS erő nyomatéka a tengelyre ZÉRUS • A nyomatékot az ORIGÓRA IS számíthatjuk: ez esetben a kar a a hatásvonal és az origó távolsága, de a nyomaték a támadáspont helyvektorának és az erő vektorának vektoriális szorzataként kapható My=Fx×z+Fy×0-Fz×x Mz=-Fx×y+Fy×x+Fz×0

24. AZ ERŐ NYOMATÉKA Ha a fenti koordinátarendszerben az erő komponensei POZITÍV előjelűek, és a felhasznált pont („támadáspont”) koordinátái is POZITÍV előjelűek, akkor a tengelyekre vett nyomaték a következőképpen számítható: + + - Mx= +Fx×0-Fy×z + Fz×y My= +Fx×z +Fy×0- Fz×x Mz= -Fx×y+Fy×x+ Fz×0 ij k xy z FxFy Fz Mx= My= Mz= A tengelyre vett nyomatékokat a tengelyek METSZÉSPONTJÁRA vett nyomaték ÖSSZETEVŐIKÉNT értelmezve az ERŐ ORIGÓRA SZÁMÍTHATÓ NYOMATÉKA A HATÁSVONALON KIVÁLASZTOTT PONT HELYVEKTORÁNAK ÉS AZ ERŐ VEKTORÁNAK VEKTORIÁLIS SZORZATAKÉNT KAPHATÓ. M = r × F (EGY erő esetén az origóra vett (a tengelyekre számított összetevők eredőjeként adódó) NYOMATÉK mindig BENNE VAN az ORIGÓ és az erő HATÁSVONALA által meghatározott síkban, azaz MERŐLEGES az erő vektorára.)

25. AXIÓMÁK • Két erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonaluk közös és vektoruk ellentett. • Három erő akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha hatásvonalaik metszéspontja közös és vektoraikból nyílfolytonos vektorháromszög szerkeszthető. • Egy erőrendszer hatása nem módosul, ha elveszünk vagy hozzáadunk egy önmagában egyensúlyban lévő erőcsoportot. • Két test egymásra hatásakor az átadódó erők egymás ellentettjei.

26. AZ EREDŐ A testek közötti hatás, erőátadás, több test között is lehetséges. Ilyenkor az ÖSSZEGZETT hatásra vagyunk kíváncsiak, azaz az erők EREDŐ hatását, EREDŐJÉT keressük. Az eredő mindig az alkotó erőrendszerrel MEGEGYEZŐ hatást fejt ki, azaz VETÜLETEIBEN és (tetszőleges pontra vett) NYOMATÉKÁBAN AZONOS.

27. AZ EGYENÉRTÉKŰSÉG Az ERŐK és FORGATÓNYOMATÉKOK csoportjainak egyenértékűségét, hatásaik azonosságát meghatározó egyenlőség. A két oldalon felsorolt jelű erők, forgatónyomatékok ERŐ és NYOMATÉKI vetületei AZONOSAK. Az egyenértékűségekben az ERŐK és a FORGATÓNYOMATÉKOK mindig MINDEN ADATUKAT hordozzák! (A, B, C, D) = (G, H, J, K)

28. HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS (F1, F2, F3, ... Fn) = R helyettesítés egyetlen erővel (F1, F2, F3, ... Fn) = (A, B) helyettesítés egy ismert hatásvonalú és egy ismert ponton átmenő erővel (F1, F2, F3, ... Fn) = (A, MA) helyettesítés egy ismert ponton átmenő erővel és egy vele egyidejűleg működő nyomatékkal (F1, F2, F3, ... Fn) = (S1, S2, S3) helyettesítés három, ismert hatásvonalú erővel

29. HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS [(F1, F2, F3, ... Fn), R’ ] = 0 egyensúlyozás egyetlen erővel [(F1, F2, F3, ... Fn) A’, B’ ] = 0 egyensúlyozás egy ismert hatásvonalú és egy ismert ponton átmenő erővel [(F1, F2, F3, ... Fn) A’, MA’ ] = 0 egyensúlyozás egy ismert ponton átmenő erővel és egy vele egyidejűleg működő nyomatékkal [(F1, F2, F3,...Fn), S1’, S2’, S3’]=0 egyensúlyozás három, ismert hatásvonalú erővel

30. HELYETTESÍTÉS - EGYENSÚLYOZÁS A helyettesítési és az egyensúlyozási feladatok tehát lényegében AZONOS technikákat kívánnak, és az egyensúlyozó erők-nyomatékok mindig a helyettesítő dinámok ELLENTETTJEI.

31. AZ ÖSSZETEVŐK Az erők (és, mint majd később látni fogjuk) a nyomatékok VEKTORként írhatók le a leghatékonyabban. A síkban (ill. a térben) általános elhelyezkedésű, általános állású vektorokkal általában a KOORDINÁTA-GEOMETRIA eszköztárával dolgozunk. Ennek megfelelően az ERŐK ill. a NYOMATÉKOK vektorait a választott koordinátatengelyek irányába eső ÖSSZETEVŐKkel helyettesítjük. F=(Fx, Fy, Fz) ill. M=(Mx, My, Mz)

32. A VETÜLETEK Az ÖSSZETEVŐK maguk is VEKTOROK. Sokszor célszerű ezen összetevő (komponens) vektorok NAGYSÁGAIT KÜLÖN megnevezni: ezek az erővektorok ill. forgatónyomatéki vektorok (koordinátatengely-irányú) VETÜLETEI (ezek tehát SKALÁRmennyiségek). F=(Fx, Fy, Fz)=(Fx×ix, Fy × iy, Fz × iz) ill. M=(Mx, My, Mz)=(Mx×ix, My × iy, Mz × iz)

33. EGYENLETEK Az ERŐK és NYOMATÉKOK megfelelő irányú VETÜLETEI között fennálló összefüggéseket MATEMATIKAI (skalár) egyenletekkel írhatjuk le. Ha sikerül annyi egyenletet felírnunk (annyi nyugalmi feltételt meghatároznunk) amennyi az ismeretlen erő- ill. nyomatéki összetevők száma, akkor a megoldás EGYÉRTELMŰEN előállítható.

34. LINEARITÁS Az erő- ill. nyomatéki VEKTOROK és koordináta-tengely-irányú VETÜLETEIK között egyenes ará-nyosság áll fenn, tehát a függvénykapcsolat LINEÁRIS. Az ERŐ és ERŐKAR szorzataként előállított (FORGATÓ)NYOMATÉKOK nagysága is az erőnek és az erőkarnak LINEÁRIS függvénye. A függvénykapcsolatok LINEARITÁSA számítás-technikailag igen előnyös (pl. érvényes az egymásra halmozás), így a továbbiakban még akkor is lineari-zált függvénykapcsolatokat alkalmazunk, ha a való-ság ennél (sokkal) bonyolultabb (ELSŐRENDŰ ELMÉLET).

35. egyenletek száma < ismeretlenek száma egyenletek száma = ismeretlenek száma egyenletek száma > ismeretlenek száma LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK A lineáris egyenletrendszerekben minden ismeretlen CSAK ELSŐ FOKON fordul elő, és az ismeretlenek SZORZATA nem szerepel. Az ilyen tulajdonságú egyenletrendszerekre igaz, hogy a megoldhatóság, a megoldás létezése a (matematikailag FÜGGETLEN) EGYENLETEK és az ISMERETLENEK számának összevetéséből adódik. HATÁROZATLAN végtelen sok megoldás létezik HATÁROZOTT egyértelmű megoldás létezik TÚLHATÁROZOTT NINCS egyértelmű megoldás

36. KÉT PÁRHUZAMOS ERŐ EREDŐJE Két párhuzamos erő eredője MINDIG PÁRHUZAMOS VELÜK, NAGYSÁGA A KÉT ERŐ NAGYSÁGÁNAK ALGEBRAI ÖSSZEGE. Az eredő HELYE egy irányba mutató erők esetén a két erő KÖZÖTT, ellen-tétes irányú erők esetén a két erőn KÍVÜL lesz, MINDIG A NAGYOBBIK ERŐ OLDALÁN.

37. (F,M) = R M = (P,P*) EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE Az AZONOS síkban működő ERŐ és ERŐPÁR mindig helyettesíthető EGYETLEN ERŐVEL. |P*|=-(-|F|)=|F| F Az ERŐPÁR (nyomaték) helyett alkalmazhatunk két, azonos forgatóhatású erőből álló erő-párt. R P* P* A helyettesítő erő-pár ELSŐ tagját teljesen szabadon vehetjük fel a síkban, a MÁSODIK tag azonban KÖTELEZŐEN az első ELLENTETTJE, és tőle olyan távol van, hogy a forgatóhatás a nyomaték hatásával MEGEGYEZŐ legyen. |P| = |P*| P*/2 M P×k = M P P*/3 k k P/2×2k=M 2k k P/2 Ha P=-F 3k P P/3 R=P* (P, F)=0 |R|=|F| k=M/|F|

38. EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE Azonos (pontosabban: párhuzamos) síkban fekvő ERŐ és ERŐPÁR EREDŐJEnagyságát, állását, vektorát tekintve MEGEGYEZIK az ERŐ adataival, helyzete pedig az ERŐ hatásvonalát olyan IRÁNYBAN és olyan MÉRTÉKBEN eltolva kapható, hogy az elmozdítás folytán kialakuló nyomatéki TÖBBLET az ERŐPÁR hatását pótolja, helyettesítse.

39. EGY ERŐ ÉS EGY ERŐPÁR EREDŐJE Egy ERŐ és egy ERŐPÁR eredője természetesen akkor is ugyanígy állítható elő, ha síkjuk NEM koordinátasík. Kérdés, hogy számítási feladat esetén hogyan állapíthatjuk meg, hogy AZONOS (vagy pontosabban: párhuzamos) síkban vannak-e. Az ERŐPÁR számára bevezetve a NYOMATÉK-VEKTOR fogalmát, ami az erőpár síkjának normálisában áll, az ERŐ és az ERŐPÁR síkjának párhuzamosságát az ERŐvektor és a NYOMATÉK-vektor MERŐLEGESSÉGE jelzi, azaz, ha F·M = 0→ R létezik, előállítható.

40. AZ ERŐ PONTRA REDUKÁLÁSA A helyettesítési feladat másként is megfogalmazható: Helyettesítsünk egy ERŐt egy meghatározott ponton (pl. A ponton) átmenő ERŐvel és egy emellett szükségessé váló ERŐPÁRral (maga az eredeti erő lehet akár egy erőrendszer eredője is). R = (A, MA) A feladat valójában az ERŐ és ERŐPÁR eredőmeg-határozásának inverz művelete, azaz A = Rés MA = MR(A)

41. KÉT KITÉRŐ ERŐ EREDŐJE Ha az erőrendszer hatását vizsgáljuk, azt láthatjuk, hogy az EGYIK erő ELTOLÓ hatásával együtt mindig megjelenik a MÁSIK erő (ugyanazon tengely körüli) FORGATÓ hatása. Az a test tehát, amelyre a fenti erőrendszer működik, olyan mozgásra kényszerül, mint a be (vagy ki)hajtott CSAVAR. AZ EREDŐ VEKTORAa két erő vektorainak (vektoriális) összege lesz. z Az ilyen erőrendszer NEM HELYETTESÍTHETŐ sem egyetlen erővel, sem egyetlen nyomatékkal, hatása alapján új fogalmat kell bevezetnünk: ennek neve ERŐCSAVAR. F1(z) F2(y) x M2x=SMx M1y=SMy y

42. TÉRBELI ERŐK EREDŐJE AZ EREDŐ VEKTORAa két erő vektorainak (vektoriális) összege lesz. Ha az erőrendszer hatását vizsgáljuk, azt láthatjuk, hogy az EGYIK erő ELTOLÓ hatásával együtt mindig megjelenik a MÁSIK erő (ugyanazon tengely körüli) FORGATÓ hatása. Az a test tehát, amelyre a fenti erőrendszer működik, olyan mozgásra kényszerül, mint a be (vagy ki)hajtott CSAVAR. Az ilyen erőrendszer NEM HELYETTESÍTHETŐ sem egyetlen erővel, sem egyetlen nyomatékkal, hatása alapján új fogalmat kell bevezetnünk: ennek neve ERŐCSAVAR.

43. R=(S5,S0’) S1=(S0,F1) S2=(S1,F2) S3=(S2,F3) S4=(S3,F4) S5=(S4,F5) R=(S0,F1,F2,F3,F4,F5,S0’)=(S5,S0’) R=(S5,S0’) SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE R=(F1,F2,F3,…Fn) Az eredő VEKTORA M=1:n geometriai lépték R=(F1+F2+F3+…+Fn) F4 F2 F3 F1 F5 1 cm(=)K kN erőlépték Az eredő VEKTORA (nagysága, vetületei) az erők helyzetétől FÜGGETLENÜL a VEKTOR-ÁBRÁBÓL (vagy vetületi egyenletekből) meg-kapható. Az eredő HELYÉT KÖTÉLSOK-SZÖG-SZERKESZTÉSSEL (vagy nyomatéki egyenletekből) határozhatjuk meg. F1 S0 VEKTOR-ÁBRA kötéloldalak S4 S0 S1 S5 KÖTÉLSOKSZÖG S2 S3 S0’ S0’ S1 F2 R Az eredőHELYE (segéderők bevezetésével) S2 vektoridom-sugarak F3 W S3 S4 F4 A vektorábrában HÁROMSZÖGET alkotó erők hatásvonalai a geometriai ábrában EGY PONTBAN METSZŐDNEK A geometriai ábrában HÁROMSZÖGET alkotó erők vektorai a vektorábrában EGY PONTBAN METSZŐDNEK S5 F5

44. SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE R=(F1,F2,F3,…Fn) Változtassuk meg a vektorábrában az erők SORRENDJÉT! F4 F2 F3 F1 F5 R=(F3+F1+F5+F2+F4) Az eredő HELYÉT (hatásvonalának egy pontját) az (aktuális sorrend szerinti) ELSŐ ERŐT MEGELŐZŐ és az UTOLSÓ ERŐT KÖVETŐ kötéloldalak METSZÉSPONTJA szolgáltatja. 0 F3 R 1 F1 2 R W 3 F5 Az egy pontban metsződő vektorok a geometriai ábrában most is HÁROMSZÖGET ALKOTNAK! 4 Az eredő VEKTORA az erők SORRENDJÉTŐL MINDIG FÜGGETLEN! F2 5 A kötélsokszög által meghatározott pont a VEKTORSORREND és a PÓLUS felvételének függvényében változik, de mindig az EREDŐ HATÁSVONALÁN LESZ! F4

45. SÍKBELI ERŐRENDSZER EREDŐJE R=(F1,F2,F3,…Fn) R=(F1+F2+F3+…+Fn) F4 F2 F3 F1 F5 Az eredő VEKTORA (nagysága, vetületei) az erők helyzetétől FÜGGETLENÜL a VEKTOR-ÁBRÁBÓL (vagy vetületi egyenletekből) meg-kapható. Az eredő HELYÉT KÖTÉLSOK-SZÖG-SZERKESZTÉSSEL (vagy nyomatéki egyenletekből) határozhatjuk meg. F1 0 R 1 F2 R 4 F4 2 F5 F3 5 W 3

46. ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE z AZ EREDŐVEKTORA Az eredő mindenféle szempontból EGYENÉRTÉKŰEN HELYETTESÍTI az erőrendszert, így az eredő tengelyirányú VETÜLETEI az erőrendszer elemeinek ugyanazon tengelyre vett VETÜLET-összegeivel egyeznek meg. (Az eredő KOMPONENSEI tehát az erők elhelyezkedése NÉLKÜL IS előállíthatók!) Rz F3z F3y F3x F2z F2x F1z F2y Ry F1y F1x y x Rx

47. ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ ERŐVEKTOR (NAGYSÁG ÉS ÁLLÁS) Rx = S Fi,x Ry = S Fi,y Rz = S Fi,z R =(Rx2+ Ry2+ Rz2)½ a=arccos(Rx/|R|) b=arccos(Ry/|R|) g=arccos(Rz/|R|) Ha Rx = 0 → az eredőnek NINCS x irányú összetevője, azaz az eredő az y-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS Ha Rx = 0 ÉS Ry = 0 ÉS Rz = 0 → az eredőnek NINCS erő-összetevője, azaz az eredő VAGY ERŐPÁR (NYOMATÉK) VAGY ZÉRUSERŐ (EGYENSÚLY) Ha Ry = 0 → az eredőnek NINCS y irányú összetevője, azaz az eredő az x-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS Ha Rz = 0 → az eredőnek NINCS z irányú összetevője, azaz az eredő az x-y koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS Ha Rx = 0 ÉS Ry = 0 → az eredőnek NINCS x ÉS y irányú összetevője, azaz az eredő a z tengellyel PÁRHUZAMOS

48. ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE z3 AZ EREDŐ NYOMATÉKA Az eredő mindenféle szempontból EGYENÉRTÉKŰEN HELYETTESÍTI az erőrendszert, így az eredő tengelyre vett NYOMATÉKAI az erőrendszer elemeinek ugyanazon tengelyre vett NYOMATÉK-összegeivel egyeznek meg. Az így nyerhető három, koordinátatengely- irányú nyomatékvektor az erőrendszer origóra vett NYOMATÉK(VEKTOR)ÁNAK HÁROM KOMPONENSE. (Az erőrendszer NYOMATÉKÁ-NAK meghatározása során az erőknek mind a NAGYSÁGÁRA (összetevők), mind az ELHE-LYEZKEDÉSÉRE szükség van. F3z F3y z2 Mz F3x F2z z1 F2x x2 F1z F2y y1 x1 Mx My y3 x3 F1y y2 F1x

49. ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ NYOMATÉKVEKTOR (NAGYSÁG - ÁLLÁS) Mx= SMix = +SFi,x×0-SFi,y×zi+SFi,z×yi My= SMiy = +SFi,x×zi+SFi,y×0-SFi,z×xi Mz= SMiz = -SFi,x×yi+SFi,y×xi+SFi,z×0 |M| =(Mx2+ My2+ Mz2)½ a=arccos(Mx/|M|) b=arccos(My/|M|) g=arccos(Mz/|M|) Ha Mx = 0 → az eredőnyomatéknek NINCS x irányú összetevője, azaz az eredő nyomaték az y-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS síkban ébred Ha Mx = 0 ÉS My = 0 ÉS Mz = 0 → az eredőnek az origóra NINCS nyomaték-összetevője, azaz az eredő VAGY az origón átmenő ERŐ VAGY ZÉRUSERŐ (EGYENSÚLY) Ha My = 0 → az eredőnyomatéknek NINCS y irányú összetevője, azaz az eredő nyomaték az x-z koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS síkban ébred Ha Mz = 0 → az eredőnyomatéknek NINCS z irányú összetevője, azaz az eredő nyomaték az x-y koordinátasíkkal PÁRHUZAMOS síkban ébred

50. ÁLTALÁNOS ERŐRENDSZER EREDŐJE AZ EREDŐ ERŐ ÉS NYOMATÉK ÖSSZETÉTELE Egy ERŐ és egy ERŐPÁR HELYETTESÍTHETŐ EGYETLEN ERŐVEL, ha AZONOS (párhuzamos) síkban működnek. Minthogy az ERŐPÁR VEKTORA E SÍK NORMÁLISÁBAN ÁLL, a fenti feltétel úgy is fogalmazható: M * R =0ahol M=(Mx ;My;Mz) és R=(Rx;Ry;Rz) azaz SMi * Ri = 0 Ha a fenti feltétel teljesül, a koordinátatengelyekre számított ERŐVETÜLETEKből előállított ERŐ és koordinátatengelyekre számított NYOMATÉKVETÜLETEKből előállított NYOMATÉK EGYETLEN ERŐVÉ TEHETŐ ÖSSZE. Ha a fenti ERŐ- és NYOMATÉKvektorok skalárszorzata NEM ZÉRUS, akkor az erőrendszer eredője ERŐCSAVAR. (Ha az ERŐ és a NYOMATÉK vektora NEM PÁRHUZAMOS, akkor mindig előállítható olyan ERŐ-NYOMATÉK vektorösszetevő-páros, amelyek MERŐLEGESEK, TEHÁT EGYETLEN ERŐVEL HELYETTESÍTHETŐK. Ez az erő azonban már PÁRHUZAMOS lesz a megmaradó NYOMATÉK-ÖSSZETEVŐVEL, ÍGY (tiszta) ERŐCSAVART alkot