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1. 1 SeminarSigma-Delta-A/D-Wandler Eugenio Di Gioia
eugenio.digioia@mikro.ee.tu-berlin.de
mikro.ee.tu-berlin.de/~eugenio
WS 2008/09
2. 2 Sigma-Delta Modulator (1) Arbeitsprinzip
Linearisiertes Modell
Zeitdiskret vs. Zeitkontinuierlich
Berechnung der Rauschunterdrckung
Berechnung des SNR
S? hherer Ordnung
3. 3 Arbeitsprinzip Ein oversampled A/D-Wandler (in der Regel ein Flash-Converter) wird in einen Regelkreis eingebaut
4. 4 Arbeitsprinzip
5. 5 Linearisiertes Modell Um das Signal- und Rauschverhalten des A/D-Wandlers zu analysieren wird ein linearisiertes Modell verwendet. Der nichtlineare Quantisierer wird durch einen Summierknoten ersetzt. An diesem Knoten wird das Quantisierungsrauschen addiert.
Das Schleifenfilter wird mit seiner bertragungsfunktion modelliert
6. 6 Linearisiertes Modell
7. 7 Rckkoppelungstheorie
8. 8 Zeitkontinuierlich vs. Zeitdiskret Zeitdiskreter S?: die Abtastung wird vor dem Modulator durchgefhrt. Der Eingang des Modulators ist daher eine Folge von kontinuierlichen Werten x[n]. Dieser Modulator wird mittels der Z-Transformation analysiert. Das Schleifenfilter wird mit umgeschalteten Kondensatoren und OPV realisiert.
9. 9 Zeitkontinuierlicher S?: das Eingangssignal ist Zeit- und Amplitudenkontinuierlich. Die Abtastung erfolgt erst vor dem Quantisierer, innerhalb der Schleife. Das Schleifenfilter arbeitet im zeitkontinuierlichen Bereich und wird durch die Laplace-Transformation beschrieben.
Es wird mit Widerstnden, Kondensatoren und OPV realisiert. Zeitkontinuierlich vs. Zeitdiskret
10. 10 Zeitdiskreter Sigma-Delta der 1. Ordnung Das Schleifenfilter ist ein einfacher SC-Integrator
11. 11 Beispiel eines SC-Integrators Vier Phasen f1, f2, f1del, f2del
f1- f1del : Abtastphase
f2- f2del : Integrationsphase
CP: Parasitre Kap. an der virtuellen Masse
CS: Abtatskapazitt CI: Integrationskapazitt
Die Verzgerten Phasen minimieren die signalabhngige Ladungsinjektion
12. 12
13. 13 S?-1: STF und NTF
14. 14 Berechnung des SNR Nyquist A/D-Wandler
? +6 dB/Bit
Oversampling ADC
? +3 dB/Okt
15. 15 S? der 1.Ordnung:
Frequenzgang des Rauschanteils
16. 16 W(f) sei die Rauschleistungsdichte am Eingang des Quantisierers
Berechnung des SNR
17. 17 Damit ergibt sich:
Fr die Berechnung des SNR brauchen wir die Rauschleistung im Signalband Berechnung des SNR
18. 18 Berechnung des SNR
19. 19 Zeitverhalten
20. 20 Zeitverhalten
21. 21 Zeitverhalten
22. 22 Zeitdiskreter Sigma-Delta 2. Ordnung
23. 23 Zeitdiskreter Sigma-Delta der 2. Ordnung
24. 24 STF, NTF1 und NTF2
25. 25
26. 26 Berechnung des SNR
27. 27 Berechnung des SNR
28. 28 SNR eines S? der L-Ordnung SNR verbessert sich um (2L+1)*3 dB fr jede Verdoppelung des OSR
Die effektive Auflsung nimmt um (2L+1)*0,5 Bits fr jede Verdoppelung des OSR zu
29. 29 Weitere Verbesserung des SNR Verwendung eines Quantisierers mit mehreren Bits. (Problem: Linearitt, Verlustleistung, Flche)
Verwendung eines Schleifenfilters hherer Ordnung. (Problem: Stabilitt)
Verwendung eines kaskadierten S?. (Problem: Matching)
Verwendung von Resonatoren
30. 30 Arbeitsprinzip eines Resonators Architektur (Beispiel: Zeitdisckret)
bertragungfunktion
31. 31 Resonatoren
32. 32 Vergleich TC-TD
33. 33 Zeitkontinuierlicher Modulator 1.Ordnung
34. 34 DAC eines TC-Modulators Der DAC eines TC-Modulators kann als ein zeitdiskret/zeitkontinuierlich-Wandler erfasst werden
Es gibt verschiedene DAC-Pulsformen
Not Return to Zero NRZ
Return to zero RZ: am Ende jeder Taktperiode kehrt der DAC-Puls zum Wert 0 zurck
Dreieckige Pulse
Exponentiell abklingend
Die RZ-Form hat Vorteile gegenber dem NRZ in Bezug auf den Excess Loop Delay. Die Jitterempfindlichkeit ist aber hher als die vom NRZ
Dreieckige bzw. Exponentielle Formen sind weniger jitterempfindlich
Die mathematische Beschreibung des Modulators muss die Impulsantwort des DAC bercksichtigen!
35. 35 DAC-Pulsformen
36. 36 Vergleich der Signale (TD-TC)
37. 37 Vorgeschlagene Vortragsthemen CT/DT-Transformationen
Komparatoren
Nichtidealitten eines zeitkontinuierlichen DAC
Nichtidealitten der analogen Schaltungen des Schleifenfilters in einem Sigma-Delta-Modulator
Stabilitt eines Sigma-Delta-Modulators
Sigma-Delta-Modulatoren hherer Ordnung
Sigma-Delta mit Multi-Bit-Quantisierer
Kaskadierte Sigma-Delta-Modulatoren
Band-Pass Sigma-Delta-Modulatoren
Zeitkontinuierliche Sigma-Delta-Modulatoren
Dezimierungs- und Interpolationsvorgang
Switched capacitor Filter
38. 38 Ende Teil III
39. 39 SeminarSigma-Delta-A/D-Wandler Eugenio Di Gioia
eugenio.digioia@mikro.ee.tu-berlin.de
mikro.ee.tu-berlin.de/~eugenio
WS 2008/09
40. 40 Sigma-Delta Modulator (2) Gleichsetzung zeitdiskreter und zeitkontinuierlicher Modulatoren durch Transformationen
Stabilitt
Kaskadierte Architekturen
Entwurf und Simulation: Design Flow
Nichtidealitten
Vortragsthemen
Literaturverzeichnis
41. 41 DT-CT-Transformation Die Simulation eines CT-Modulators ist schwierig und rechenzeitintensiv
Sehr viel Literatur ber DT-Modulatoren vorhanden
Aus diesen Grnden ist es wnschenswert, den CT-Modulator in einen DT-Modulator umzuwandeln
42. 42 CT-DT-quivalenz Der DT- und der CT-Modulator sind quivalent, wenn sie den selben Quantisierereingang in den Abtastzeitpunkten haben
Gleiche Quantisierereingnge bei t=nTS ? Gleiche Bitsequenzen am Ausgang
Bei gleichen y[n] mssen beide Systeme dasselbe x[n] generieren
Beide Systeme mssen mathematisch beschrieben und gleichgesetzt werden
43. 43 Vorgehensweise
Design, Simulationen in DT & Transform in CT
Nicht-Idealitten und CT-DAC (NRZ, RZ, etc.) hinzufgen
Rcktransformieren in DT
Der Verlauf der CT-DAC-Antwort muss bercksichtigt werden!
DT-quivalenten Modulator simulieren
Transformationen & mathematische Modelle
State-Space Transformation
Modified z-Transformation
Impulse Invariant Transformation
44. 44 1. State-space CT State-space (Zustandsraum-) Beschreibung:
Schleifenfilter + DAC durch Differenzialgleichungen im Zeitbereich beschrieben
F: NxN Zustandsmatrix, N ist die Anzahl der Integratoren = Ordnung des Modulators
x: Zustandsvektor, w: Schleifenfilterausgang
: DAC-Ausgang (DAC-Umformung bercksichtigt)
G = [N x 1], C = [1 x N]
Annahme: Eingang u = 0
45. 45 1. State-space CT
46. 46 1. State-space DT State-space (Zustandsraum-) Beschreibung:
Das Schleifenfilter wird durch Differenzgleichungen im Zeitbereich beschrieben
A: NxN Zustandsmatrix, N: Anzahl der Integratoren = Ordnung des Modulators
x: Zustandsvektor, y: DAC-Ausgang
w: Schleifenfilterausgang
Annahme: Eingang u = 0
47. 47 1. State-space Beide Beschreibungen (CT und DT) mssen identisch sein fr t=nTS
Die Koeffizienten des CT-Systems werden als Funktion der DT-Koeffizienten berechnet
Es gibt MATLAB-Routinen, die diese Transformation automatisch durchfhren
d2c, d2cm, c2d, c2dm
48. 48 2. Modified Z-Transformation
H(s): s-bertragungsfunktion des Schleifenfilters
RDAC(s): Laplace-Transformation der Impulsantwort des DAC
Zmi: modifizierte Z-Transformation
0<mi<1: normalisierte Start- und Endzeit der DAC-Antwort
m1, m2 beschreiben die Antwort des DAC
NRZ DAC: m1=1, m2=0
Vorgefertigte Tabellen sind fr die meisten Schleifenfilter und DAC-Antworten vorhanden
49. 49 quivalenzbedingung:
(Eingnge der Quantisierer)
Die Bedingung ist erfllt wenn die Impulsantworten beider Open-Loop Systeme identisch sind
: DAC-Impulsantwort
: Impulsantwort des CT-Loop-Filters
Das Eingangssignal wird auf Null gesetzt
50. 50 Imp.Inv.Transf.: Vorgehensweise Start: Zeitdiskrete Topologie ist vorhanden
Berechnung der F H(z) des Schleifenfilters
Partialbruchzerlegung von
Jeder Bruch Hi(z) wird von z nach s transformiert (vorgefertigte Tabellen vorhanden)
Diese Transformation muss die CT-DAC-Antwort bercksichtigen! (RZ, NRZ, usw.)
Implementierung dieser H(s) mittels OPV, R und Cs
51. 51 Imp. Inv. Transf.: Beispiel
52. 52 Imp. Inv. Transf.: Beispiel
53. 53 Imp. Inv. Transf.: Beispiel
54. 54 Imp. Inv. Transf.: Beispiel
55. 55 Stabilitt Stabilittsparameter fr die Schleife: Open-Loop-Phasenrand oder Lage der Closed-Loop-Polstellen auf dem z-Einheitskreis bzw. der linken s-Ebene
Im linearisierten Modell wird der 1-Bit-Quantisierer als Verstrker modelliert, dessen Verstrkung gleich 1 ist
56. 56
57. 57 Stabilitt
58. 58 Stabilitt
59. 59 S? hherer Ordnung sind anflliger fr Instabilitt, da es viel wahrscheinlicher ist, dass der Quantisierer aufgrund der mehreren Integratoren bersteuert wird
Mgliche Lsung: Multibit-Quantisierer. Das linearisierte Modell ist jetzt eine genauere Approximation der Kennlinie des Quantisierers Stabilitt
60. 60 Stabilitt Der Modulator kann stabilisiert werden, indem das Maximum von |NTF(f)| reduziert wird
Eine Daumenregel ist: |NTF(f)|MAX<1.5, damit der Modulator stabil bleibt
|NTF(f)|MAX kann reduziert werden, indem man die Polstellen der NTF zu niedrigeren Frequenzen verschiebt
61. 61 Stabilitt Beispiel, L. Ordnung, alle Nullstellen in DC
Stabilisierung: Polstellen der NTF verschieben
P(z) ist ein Polynom der L. Ordnung
Die NTF-Polstellen werden durch feedforward Pfade im Schleifenfilter realisiert
62. 62 Stabilitt
63. 63 Reduzierung von NTFMAX
64. 64 Kaskadierte Architektur Das Quantisierungsrauschen der 1. Stufe wird von der 2. Stufe verarbeitet
Eine Error Correction Logic (ECL) kombiniert beide Ausgnge
65. 65 2-2-Kaskadierter S?
66. 66 Kaskadierte Architektur Vorteile: Stabilitt
Nachteile: Analog/Digital-Matching
Variationen in den analogen Bauelementen verndern die NTF und STF der einzelnen Stufen
Die Digitalformen der NTF und STF sind exakt und nicht von den Bauelementen abhngig
Durch unvollstndige Eliminierung des Quantisierungsrauschens entsteht Noise Leakage
Mgliche Lsungen:
Kalibrierbare analoge Bauelemente
Einstellbare ECL
67. 67 Entwurf und Simulation: Design Flow Wahl des OSR, der Bit-Anzahl des Quantisierers sowie der Ordnung des Schleifenfilters sodass eine gewollte NTF erhalten ist
Berechnung der H(z) des Filters (H=1/NTF-1)
Bei zeitkontinuierlichen Modulatoren Umwandlung H(z)?H(s) mittels der Impulsinvariant-Transformation
Wahl der Schaltungstopologie, die die erwnschte H realisiert
High-level Simulation mit Matlab
Koeffizientenskalierung um Sttigung bzw. bersteuerung zu eliminieren
Berechnung des SNR
Entwurf der Schaltung und Low-Level-Simulation mit Cadence
68. 68 Finite DC-Gain des OPV
Finite GBW des OPV
Slew Rate des OPV
Sttigung VOUT,MAX Nichtidealtitten eines CT-Integrators (continuous time)
69. 69 Modeling of non-ideal CT-Integrators Opamps can be modelled with finite gain ADC and single pole
Effect of the parasitic capacitance at the virtual ground
70. 70
71. 71 Nichtidealtitten eines SC-Integrators (discrete time) Unvollstndiges Einschwingen (Settling Error)
Endliche Bandbreite und Slew-Rate verursachen Fehler in der Ladungsbertragung (CSAMPLE?CINT)
Fehler am Endwert wegen der endlichen Verstrkung ? Leakage
Vorteil: nur der Wert am Ende der Integrationsphase ist wichtig, nicht der Verlauf ? Weniger abhngig von OPAMP-nichtidealitten (z.B Nichtlineares Verhalten)
Kondensator-Mismatch
72. 72 Wirkung der endlichen Vestrkung bertragungsfunktion eines idealen zeitdiskreten Integrators:
Wenn die Verstrkung des OPV endlich ist, ndert sich die F in erster Annherung wie folgt:
Die Polstelle verschiebt sich von DC zu hheren Frequenzen
Der Noise Floor erhht sich
73. 73 NTF-Spektrum mit endlicher OPAMP-Verstrkung
74. 74 Andere Nichtidealitten eines S?-Modulators Thermisches Rauschen der Bauelemente (OPV, Widerstnde)
kT/C-Rauschen (nur DT)
Flicker-Rauschen (1/f-Rauschen) der Transistoren
Jitter-Rauschen beim DAC (besonders bei CT-Modulatoren)
Excess Loop Delay des DAC+quantiz. (nur CT)
Nichtlinearitt des DACs ? DEM / analog cal.
Nichtidealitten des Quantisierers
On-Widerstnde der Schalter (nur DT)
75. 75
76. 76 Simulationsbeispiel
77. 77 Vortragsthemen CT/DT-Transformationen
Komparatoren
Nichtidealitten eines zeitkontinuierlichen DAC
Nichtidealitten der analogen Schaltungen des Schleifenfilters in einem Sigma-Delta-Modulator
Stabilitt eines Sigma-Delta-Modulators
Sigma-Delta-Modulatoren hherer Ordnung
Sigma-Delta mit Multi-Bit-Quantisierer
Kaskadierte Sigma-Delta-Modulatoren
Band-Pass Sigma-Delta-Modulatoren
Zeitkontinuierliche Sigma-Delta-Modulatoren
Dezimierungs- und Interpolationsvorgang
Switched-Capacitor Filters
78. 78 Empfohlene Literatur An Overview of Sigma-Delta Converters P.M. Aziz, H. V. Sorensen, J. Van der Spiegel, IEEE Signal Processing Magazine, 1996
Delta-Sigma Data Converters Theory, Design and Simulation S. R: Norsworthy, R. Schreier, G. C. Temes, IEEE
Continuous-Time Sigma-Delta A/D Conversion M. Ortmanns, F. Gerfers, Springer 2006
Continuous-time Delta-Sigma Modulators for High-Speed A/D Conversion J. A. Cherry, W. M. Snelgrove, Kluwer Academic Publishers 2000
Top-Down Design of High-Performance Sigma-Delta Modulators F. Madeiro, B. Perez-Verd, A. Rodriguez, Kluwer Academic Publishers 1999
Analog Integreted Circuit Design D. A. Johns, K. Martin, Wiley
Oversampled Delta-Sigma Modulators Mcahit Kozak & Izzet Kale, Kluwer Academic Publishers