POČETNIK U NASTAVI MATEMATIKE

1. POČETNIK U NASTAVI MATEMATIKE Anica Kovač Zagreb, 8. siječnja 2010.

2. Svaki poučavatelj mora barem jednako poznavati ono što poučava i onoga koga poučava. Bez tih uvjeta nema uspjeha u poučavanju i učenju!

3. Nastavnici od početnika do stručnjaka postupno napreduju: • u prepoznavanju problema • u vještinama odlučivanja i djelovanja. Značajni čimbenicikoji utječu na nastavnikov profesionalni razvoj su njegovo razumijevanje znanja, nastave, njegove i učenikove uloge u nastavi. Proces napretka nije automatski ni jednostran.

4. Kvalitetan nastavnik • Nastavniku treba pomoći da bude kvalitetan nastavnik, a ne predavač koji se zatekao u situaciji u kojoj se od njega očekuje da prenosi znanje i informacije “tjeran” nastavnim programom i zadanim rokovima. • Pritajeni problemi kad tad eskaliraju. • Uz stručne kompetencije potrebne su razne vještine.

5. Znanja potrebna nastavniku • stručna • didaktičko-metodička • o kognitivnim i motivacijskim procesima • o emocionalnom i socijalnom razvoju učenika

6. Vještine • Planiranje • Poučavanje “…međusobno povezan skup vjerovanja i namjera koje usmjeravaju i opravdavaju naše djelovanje…” (Daniel Pratt) • Utvrđivanje ishoda učenja • Upravljanje razredom

7. KAKAV BI TREBAO BITI NASTAVNIK? Zna različitim metodama zainteresirati učenike tako da usvoje (a ne nauče napamet) sve predviđeno gradivo i tako steknu odgovarajuću razinu znanja i vještina iz matematike (temeljne kompetencije). Sviđa se učenicima. Oni mu vjeruju i ne boje ga se.

8. KAKAV BI TREBAO BITI NASTAVNIK? Takav ... • da učenici uoče njegovo zalaganje za njihovo dobro, • da im ne prijeti negativnim ocjenama, • da pisani ispiti ne budu jedino mjerilo za ocjenjivanje njihovog znanja.

9. Osim znanja učenicima treba prenositi i odgojne vrijednosti. Redovito mora pratiti što se zbiva u znanosti i pedagoškoj praksi. KAKAV BI TREBAO BITI NASTAVNIK? Na kraju: Da bi sve to ostvario mora se za svaki sat dobro pripremiti.

10. JE LI MOGUĆE BITI TAKAV NASTAVNIK? Ako voli učenike i nastavnički poziv već je obavljen veći dio posla.

11. Jedno iskustvo “Iako sam generalno bio loš učenik, matematika mi je išla najlošije. Sada, kad pogledam unazad, krivim profesore, ali tada sam krivio matematiku. To je jedino rješenje koje mogu naći iz perspektive čovjeka koji sada uživa u matematici – Bio sam žrtva lošeg predavanja.” Nicholas Jackiw, autor The Geometer´s Sketchpada (Matka br. 57)

12. ETAPE NASTAVNOG PROCESA I OKOLNOSTIKOJE UTJEČU NA NASTAVU

13. Školsko i razredno ozračje Razredno ozračje: ambijent, okolnosti, ugođaj događanja, postupci..., niz suptilnih međuodnosa u nastavi. Pozitivno razredno ozračjese opisuje kao svrhovito, radno, opušteno, srdačno, poticajno i sređeno. Školsko ozračje, tzv. pedagoški duh škole utječe na profesionalni razvoj nastavnika početnika. Bitno je koje se vrste ponašanja i djelovanja naglašavaju, potiču i nagrađuju, tj. koji se sustav vrijednosti njeguje u školi.

14. SUSRET S UČENICIMA I RAZVIJANJE POZITIVNOG STAVA PREMA MATEMATICI Za uspješnost učenika u nekom školskom predmetu bitan je njihov stav prema tom predmetu. Zanimanje za matematiku može se izgubiti ako ga društvo ne prepozna i ne potiče. Osim prirodne sklonosti i nadarenosti, stav prema predmetu se razvija na temelju čuvstava prema nastavniku. Osobnost nastavnika ima značajnu ulogu u cjelovitom procesu nastave. • predmet je po svojoj suštini težak za učenje • iz njega je prosječno najviše slabih ocjena • učenici svih uzrasta ga se boje Osobito kod nastavnika matematike! ZAŠTO?

15. Neki nastavnici već na početku nastave počinju naglašavati kako je matematika vrlo težak predmet i da se neće lako "izvući", neki otvoreno zastrašuju misleći da će na taj način učenike prisiliti na rad. Međutim, učenici u svojem nastavniku matematike žele prepoznati prijatelja i stručnjaka. Čim uđe u učionicu odmah znaju želi li biti tu, ima li što zanimljivo reći i poštuje li ih kao ljude. Osjete li da želi što prije završiti taj dosadni posao, samo ispisujući dokaze i teoreme po ploči, da odbija odgovoriti na njihova pitanja jer nema vremena i oni će reagirati na JEDNAKO TUP NAČIN.

16. Često se upitajmo: KAKO ME VIDE MOJI UČENICI? Učenici osjećaju govor tijela i nijanse ponašanja. Matematički rečeno, učenici svoga nastavnika rastave na proste faktore.

17. Pripremanje za nastavu • bitna sastavnica nastavnog procesa Pripremajući se treba naći odgovore na pitanja: • Koji su ciljevi i zadaće nastavnog sata? • Zašto bi to gradivo netko (učenik) želio znati? • Kako motivirati učenike, tj. izazvati njihovu intelektualnu radoznalost i dovesti ih u sumisleći odnos? • Koje oblike rada i nastavne metode koristiti? • Koje zadatke odabrati za rad na nastavnom satu i za domaću zadaću? • Kako učinkovito usustaviti gradivo?

18. A kakva treba biti pisana priprema? Odgovor je kratak i jasan: Takva da nastavni sat bude dobro izveden. Učenici, pa čak i oni "najgori" su vrlo kritični i ne opraštaju nepripremljenost nastavnika za nastavu!

19. Izvođenje nastave Teži dio u ostvarivanju nastavnog programa matematike je uvođenje nove nastavne cjeline, što podrazumijeva definiranje osnovnih pojmova i relacija između njih, tj. obraditi tzv. teorijski dio. Prijelaz na rješavanje zadataka je već olakšanje, iako je svaki zadatak ustvari nova (stara) "teorija".

20. Poučavanje – učenje (1) • Silno vrijeme trošimo na: • predavanja koja učenici ne razumiju, • “metodu krede i ploče”, • ponavljanja, uvježbavanja, ispitivanja i ocjenjivanja (KOJA TO I NISU).

21. Poučavanje – učenje (2) Nastavnik treba promišljati svoj rad i svojom umješnošću i procjeni mogućnosti svojih učenika (oda)birati pristup radu.

22. Poučavanje – učenje (3) • Učenik najbolje uči i napreduje kada samostalno otkriva odnose između određenih matematičkih objekata. • Nastavnik mu to treba omogućiti primjenom odgovarajućih oblika i metoda rada

23. Poučavanje – učenje (4) • Efikasan je model vođenog učenja, tj. učenja otkrivanjem • Potrebno je pripremiti “teren” za formiranje novoga pojma, umjesto izreći definiciju i analizirati je. • Definicija je samo vrsta profinjenja pojma koji je formiran

24. Poučavanje je znanost i umijeće. Temeljno nastavno umijeće je iznaći načine motiviranja učenika za učenje. Svaki dobar nastavnik ima svoje “male tajne” i razlikuje se od drugog dobrog nastavnika. Ako nastavnik stalno rabi iste strategije, a učenik je stalno neuspješan, tko od njih dvojice ustvari sporo uči? (Eric Jensen)

25. Poznato je da postoje dvije vrste motivacije: UNUTARNJA MOTIVACIJA Njome učenici zadovoljavajusvoju znatiželju i zanimanjeza nastavnogradivo, zbog sebe samih. VANJSKA MOTIVACIJA Izaziva je neki željeni cilj.

26. Nastavnici često započinju sat ponavljanjem obrađenog gradiva. Može li to biti motivirajuće za učenike? To ustvari prije može izazvati dosadu.

27. Bolje je: • otvoriti problemsku situaciju u kojoj će se nenametljivo ponoviti potrebno gradivo, • pokazati zgodnu ilustraciju, • zadati motivacijski zadatak, • problem prikazati zorno, • dati neki zanimljivi podatak iz povijesti,...

28. Neki primjeri Primjer 1.

29. Primjer 2. n n+1 n+2 n-1 n n+1

30. Da, pogledajte na uru! 1.45 1.30 + 3.15 + 1 sat i 30 minuta Primjer 3. Je li ovo moguće?

31. 1 1 Primjer 4. Pitagorejci (V. i VI. st. prije Krista) su smatrali da se sve zakonitosti svijeta mogu izraziti brojevima, zato jer je svijet splet harmonije i broja. Uočili su da mjerni broj dijagonale jediničnog kvadrata nije racionalan broj. To je za njih bilo zastrašujuće otkriće, jer se nije uklapalo u njihovu idealiziranu sliku svijeta pa su tu činjenicu držali strogo čuvanom tajnom.

32. Primjer 5. Autobus s putnicima je krenuo iz Zagreba za Crikvenicu. Tri sata kasnije motociklist je krenuo iz Crikvenice za Zagreb. Voze istim putem. Kad se sretnu tko će biti bliže Zagrebu? (Jednako!)

33. Primjer 6. Nacrtan je kut od 19°. Kako možemo samo pomoću šestara konstruirati kut od 1°? ( 1919=361) 19°

34. 1.c Ocjene  u2  u1  5 1 u10  2  3  4 u29  Primjer 7. • Prilikom definiranja funkcije, te injekcije, surjekcije i bijekcije dobro je uzeti sljedeći primjer: D = skup svih učenika razreda = {u1,u2,...,u29} K = skup svih ocjena = {1,2,3,4,5} funkcija: ocjenjivanje (dobivene ocjene jednog pisanoga ispita) o funkcija o- ocjenjivanje: • Je li o uopće funkcija? • Može li o biti injekcija? • Zbog kojega elementa (broja) u kodomeni bi bilo dobro da o nije surjekcija?

35. || R R0+ 4 4 -4 x x -x Primjer 8. LOŠE! • Apsolutna vrijednost Danas ćemo raditi jednu novu funkciju koja se zove ... i definirana je … MOŽDA JE BOLJE: Zamislimo da sve pozitivne realne brojeve "strpamo u jedan koš“, a sve negativne u drugi. U treći koš treba prebaciti sve te brojeve, a da u njemu ne bude negativnih. Što mislite što će biti recimo s brojem (-4)? Očekivani odgovor: Pridružit će se broju (+4).

36. Uz primjere s cijelim brojevima pitati što će biti s brojevima: • Nacrtati i parove točaka: (0,0), (1,1), (-1,1),... • II oznaka za funkciju apsolutna vrijednost • Ostvareni su uvjeti da učenici sami iskažu definiciju i uz pomoć napišu i simbolički:

37. Primjer 9. • Definicije trigonometrijskih funkcija Nije motivirajuće: Ovaj sat ćemo uvesti nove funkcije.... Jedan od boljih načina: Zadatak: Nacrtajte pravokutni trokut i izmjerite vrijednosti kutova. Izmjerit će. Recite im dobro, a sada izmjerite preciznije, recimo na 2, 3 ili 5 decimala! Reći će: Ne ide! Zamislite kako ćemo se obogatiti ako to uspijemo! Nacrtajmo okomicu paralelnu s katetom a ....

38. Primjer 10. Mjera kuta • Ako učenici usvoje pojam mjere kuta riješen je problem razumijevanja trigonometrijske kružnice • Zorno pokazati namatanje pravca na kružnicu (npr. valjak od stiropora i traka) • Korisno pitanje: Koji je veći kut: β=1rad ili δ=60°?

39. Primjer 11. Zasigurno znate da je razumijevanje trigonometrijske kružnice odlučujuće u dobrom dijelu gradiva iz trigonometrije. Zato im stalno govorite da ne gube iz vida virtualnu sliku trigonometrijske kružnice.

40. Primjer 12. Graf trigonometrijske funkcije • Neka učenici sami pokušaju nacrtati graf funkcije sinus • Vjerojatno će “posegnuti” za tablicom • Ili džepnim računalom • U raspravi ih navesti na trigonometrijsku kružnicu

41. y 2x log2x x Primjer 13. • Uvođenje logaritamske funkcije i definicije logaritma nekog broja bit će lakše ako ističemo koordinate točaka eksponencijalne funkcije, te zrcalimo obzirom na pravac y=x (jer su funkcije međusobno inverzne).

42. Primjer 14. • Limes niza Čini mi se da je dobro početi s nizom an=n niz: 1, 2, 3, …, n-1, n, n+1, … p(R) M 0 1 Zatim an= 1 0 p(R) 

43. Primjer 15. Susreli se dva prijatelja A i B. Osoba B je matematičar. A: Imam tri sina B: Koliko imaju godina? A: Produkt njihovih godina je 36, a zbroj njihovih godina je broj koji je na ovoj kući B :Razmišlja i kaže: Daj mi još jedan podatak A: Moj najstariji sin ima plave oči B: Hvala znam i kaže rješenje

44. Rješenje primjera 15: abc=36 a+b+c=? a=? b=? c=? abc=36 (postoji 8 mogućnosti) 36,1,1 18,2,1 12,3,1 9,4,1 9,2,2 6,6,1 6,3,2 4,3,3 Rješenje: 9,2,2

45. Imajte na umu: • dozirati predavačku nastavu (učenik nije “spremnik” kojega treba ispuniti znanjem), • smišljeno koristiti razne metode poučavanja (osmišljeni obrazac ponašanja i djelovanja s ciljem olakšavanja učenja i i poboljšavanja ishoda učenja), • veću pozornost pridati zornosti, • navoditi učenike da umnom djelatnošću doživljavaju radost.

46. Imajte na umu: • da je nastavni sat kreativna etapa nastavnog procesa, • da svaki učenik treba biti aktivni sudionik u nastavi, • da je vrlo djelotvorno suradničko učenje u skupinama ili u parovima, • uspješno poučavanje se može opisati kao "organizirani kaos“.

47. Imajte na umu: • da učenici pokazuju veći interes za učenje kada se rabe nove tehnologije (ali ih osmišljeno koristiti), • diviti se eleganciji u rješavanju zadataka i upućivati učenike da to uočavaju, • ohrabrivati ih pohvalama i prijateljskim odnosom prema njima, • ne dopustiti da “zaglibe” s negativnom ocjenom, već im dopustiti da “ispravljaju” dio po dio gradiva.

48. Disciplina u nastavi Prema nekim razmišljanjima razred je zahvalna publika, oni su tu bez obzira kakva je naša "predstava". Međutim, i to više nije uvijek tako. Učenici sve više izostaju s nastave, a učestalije je i nedisciplirano ponašanje. Da bi učenici djelotvorno učili potrebno je uspostaviti odgovarajući red u tom smislu. Svaki nastavnik osmišljava vlastiti standard koji se može a ne mora uklopiti u nekakav opći standard škole.

49. Nemogućnost uspostave reda leži u učeničkom neposluhu, a najvažniji uzroci su: • dosada (neprimjerena opterećenost učenika), • dugotrajni umni napor, • niska školska samosvijest, • emocionalni problemi, • Druželjubivost, • nedostatak negativnih posljedica.

50. Kako preduhitriti učenički neposluh i ostvariti ugodno radno ozračje? UMJEŠNIM POUČAVANJEM I PROFESIONALNIM PONAŠANJEM dobro isplanirane nastavne aktivnosti, koje će poticati i održavati učeničku pozornost, nastavnikovo zanimanje, skoro zanos ("uživljenost") za posao koji obavlja, te osjetljivost nastavnika za uzajamno poštovanje i razumijevanje