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Übersicht. 1. Einführung in den Software-Entwurfsprozess 2. Anforderungsspezifikation mit Zustandsmaschinen 3. Anforderungsspezifikation mit Linearer Temporaler Logik 4. Automatenbasiertes Model Checking 5. Die Modellierungssprache Promela und der SPIN Model Checker
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Übersicht • 1. Einführung in den Software-Entwurfsprozess • 2. Anforderungsspezifikation mit Zustandsmaschinen • 3. Anforderungsspezifikation mit Linearer Temporaler Logik • 4. Automatenbasiertes Model Checking • 5. Die Modellierungssprache Promela und der SPIN Model Checker • 6. Effizienzsteigernde Massnahmen • 7. Anwendungsbeispiele von SPIN Model Checking • 8. Eine visuelle Entwicklungsumgebung für Promela/Spin • 9.Verwandte, semi-formale Modellierungsmethoden
Logik für Temporale Anforderungen a a, c b, c S1 S2 b • Büchi-Automaten repräsentieren einen operationellen Ansatz zur Beschreibung temporaler Anforderungen an reaktive Systeme • Idee: Verwendung von Logiken als abstrakter, deskriptiver Ansatz zur Spezifikation temporaler Anforderungen • (s)((s(a) ((s | i j)(s(b)))) • explizite Quantisierung über Zustandssequenzen Q = {S1, S2}, q = S1, F = {S1}
Modallogik • Die Wahrheit von elementaren Propositionen und von Teilformeln wird mit Modalitäten versehen Lp: „es ist notwendig, dass p wahr ist“ Mp: „es ist möglich, dass p wahr ist“ Lp: „es ist nicht notwendig, dass p wahr ist“ Mp: „es ist unmöglich, dass p wahr ist“ • Formeln der Modallogik • Sei eine Menge atomarer Propositionen und sei p in , dann gilt: • p ist eine Formel • falls eine Formel ist, dann ist eine Formel • falls und Formeln sind, dann sind auch (Implikation) (Äquivalenz) L M Formeln
Modallogik • Interessante Fragen • Lp p ? • Lp Mp ? • Mp Lp ? Notwendigkeit einer Semantikdefinition und Axiomatisierung • Modelle • Modallogiken werden über semantischen Modellen interpretiert • Die Struktur (mathematischen Eigenschaften) dieser Modelle entscheidet darüber, welche der oben genannten Formeln gültig sind • Für eine gegebene Instanz eines Modells kann der Wahrheitswert einer modallogischen Formel bestimmt werden • Sei eine Menge von atomaren Propositionen. Ferner, sei • W eine Menge von Welten, • V W x W eine Sichtbarkeitsrelation auf den Welten, und • A: W x {wahr, falsch}, dann nennen wir (W, V, A) ein Modell oder eine Kripke-Struktur
Modallogik p q p q p q • Interpretation der Modaloperatoren • Lp: für alle sichtbaren Welten ist p wahr • Mp: es gibt eine sichtbare Welt, in der p wahr ist • Struktur von R • Reflexivität • Transitivität • Beispiele • In w ist Mp wahr • In w ist Lp wahr, falls R nicht reflexiv ist • In w ist Lq wahr, falls R nicht transitiv ist • In w ist Mq wahr, falls R transitiv ist w w w
Modallogik • Modelltheoretische Semantik der Modallogik • Sei • M = (W, V, A) ein Kripke-Modell, • eine Menge von atomaren Propositionen und p , • w und v W, • und und Formeln, dann definieren wir die Relation (Erfüllungsrelation) für M wie folgt: • (M, w) p gdw A(w, p) = wahr • (M, w) p gdw A(w, p) = falsch • (M, w) gdw (M, w) und (M, w) • (M, w) L gdw (v: (w, v) V)((M, v) ) • (M, w) M gdw (v: (w, v) V)((M, v) ) • Weiter definieren wir syntaktisch ( ) ( ) ( ) M L
Modallogik • Axiomatisierung A1. ( ) A2. ( ) A3. ( ) ( ) A4. ( ) (( ) ( )) A5. L A6. L( ) (L L) A7. L LL A8. M LM • Definition Theorem • Wir nennen eine Formel , die von der Menge der Axiome abgeleitet werden kann, ein Theorem und schreiben |— . • Weitere Axiome T1. |— und |— ( ) impliziert |— (modus ponens) T2. |— impliziert |— L
Modallogik • Verhältnis Axiome - Sichtbarkeitsrelation • A5 gdw R ist reflexiv • L • A7 gdw R ist transitiv • L LL • A6 gilt für jede beliebige Sichtbarkeitsrelation • L( ) (L L) • Systeme der Modallogik [Hughes and Cresswell] • A1- A6 T1, T2: System T • System T, A7: System 4 • System 4, A8: System 5 • Systeme T, 4 und 5 verfügen über eine widerspruchsfreie und vollständige Aximatisierung • Modallogische Formeln können daher für ein bestimmtes System gültig und für ein anderes ungültig sein
Modallogik • Temporale Interpretation der Modallogik • Welten entsprechen Systemzuständen • Sichtbarkeitsrelation entspricht Folge der Systemzustände • ein System sieht seinen aktuellen Zustand Reflexivität • Systemzustand s folgt auf s und s folgt auf s, dann folgt s auf s Transitivität • Temporale Logik ist eine Interpretation der Modallogik auf Basis der System 4 Axiomatisierung • Die Lineare Temporale Logik (LTL), die wir im folgenden betrachten, basiert auf System 4.3.1 nach [Hughes and Cresswell] • neben Reflexivität und Transitivität gelten Konnektivität und Diskretheit • Für mehr Information über Modallogik siehe auch [Huth and Ryan]
Temporale Prädikate gewählt ... besetzt, klingeln, aufnehmen ... verbunden P1 P2 • P1 Wenn eine komplette, korrekte Telefonnummer gewählt worden ist, und der angerufene Teilnehmer nicht besetzt ist, und der Anrufer nicht bisher aufgelegt hat, dann wird der Angerufene irgendwann spätereinen Klingelton erhalten. • P2 Wenn es bei dem Angerufenen klingelt und er den Hörer aufnimmt, dann wird irgendwann später die Telefonverbindung hergestellt sein. • Zustandssequenz • Vollständige Spezifikation wird durch Konjunktion aller P gewonnen s s s
Zustandssprache • Zustandssprache ([Manna and Pnueli 1992]) Sei V ein Vokabular bestehend aus Variablennamen, und sei für jede Variable eine Domäne mit entsprechenden Ausdrücken für Funktionen und Operatoren definiert • Ausdrücke • jede Variable x V • Funktionsausdrücke der Form (e, ..., e) falls alle e, ..., e Ausdrücke sind • Bsp.: x+3y, hd(q).x, A B • Atomare Formeln • jede Proposition x V • P(e, ..., e) falls P ein Prädikat über V • Bsp.: x > y+1, x A B • Zustandsformeln • jede atomare Formel • falls p, q atomare Formeln, dann sind p, p q, p q, p q, p q Zustandsformeln
Zustandssprache • Semantik der Zustandssprache • Zustand • ein Zustand s über V ist eine Interpretation die jeder Variable u V ein Wert des jeweiligen Wertebereichs zuweist • s[u] • Modell • Ein Modell über V ist eine unendliche Folge = s, s, ... so, dass jedes s ein Zustand über V ist • Ausdrücke • s ist Zustand über V, e ein Ausdruck über V • s[e] (Auswertung von e im Zustand s) definiert durch • Wert von x V is s[x] • für (e, ..., e) wird definiert durch s[(e, ..., e)] = (s[e], ..., s[e])
Zustandssprache • Boolesche Formel in s (s[]) • für atomare Formeln P(e, ..., e) s[P(e, ..., e)] = P(s[e], ..., s[e]) • für boolesche Formeln, die durch boolesche Operatoren gebildet werden s[p] = s[p] s[p q] = s[p] s[q] s[p q] = s[p] s[q] s[p q] = s[p] s[q] s[p q] = s[p] s[q] • Beispiel s[(x+z = 2y) (y > z)] = (s[x]+s[z] = 2.s[y]) (s[y] > s[z]) = ((0 + 2 = 2.1) (1 > 2)) = wahr falsch = falsch
Zustandssprache • Erfüllung einer Formel durch einen Zustand • sei s ein Zustand und p eine Zustandsformel • wir definieren die Relation s||=p durch s ||= p gdw s[p] = wahr s ||= p gdw nicht s ||= p s ||= p q gdw s ||= p oder s ||= q (die Regeln für die übrigen Booleschen Operatoren können abgeleitet werden) • Falls s ||= p sagen wir dass s ein p-Zustand ist
Erfüllbarkeit und Gültigkeit • Zustands-Erfüllbarkeit • p ist zustandserfüllbar, falls es einen Zustand s gibt, so dass s ||= p • Zustands-Gültigkeit • p ist zustandsgültig, falls s ||= p für alle Zustände s • Beispiele • Sei x eine ganze Zahl • 0 < x < 2 ist zustandserfüllbar • (0 < x < 1) ist zustandsgültig
Temporallogik • Temporale Formeln Seien p, q Formeln der Zustandssprache • p ist eine temporale Formel • p, p, p, p U q und pW q sind temporale Formeln • Interpretation über Sequenzen • Wir betrachten unendliche Sequenzen von Zuständen = s, s, .., s, ... • Wir definieren die Relation Erfüllungsrelation über Zustandssequenzen und schreiben (, j) p falls die Sequenz an Position j die temporallogische Formel p erfüllt • Zustandsformeln (, j) p gdw s||= p
Temporallogik • Zustandsformeln (, j) p gdw s||= p • Beispiel: p x = y f p f w f f f s s s s s s ... x = 1 2 3 4 5 6 ... y = 5 4 3 2 1 0 ...
Operatoren der Temporallogik • Next () • Sei p eine temporallogische Formel • (, j) p gdw. (, j+1) p • Beispiel p (x = y) ... f p w f f f f s s s s s s ... x = 1 2 3 4 5 6 ... y = 5 4 3 2 1 0 ...
Operatoren der Temporallogik • Henceforth () • Sei p eine temporallogische Formel • (, j) p gdw. (k: kj)(, k) p • Beispiel p x > 3 ... f p f f w w w s s s s s s ... x = 1 2 3 4 5 6 ...
Operatoren der Temporallogik • Eventually () • Sei p eine temporallogische Formel • (, j) p gdw. (k: kj)(, k) p • Beispiel p x = 4 • Anmerkung • (, j) p impliziert (k: kj)(, k) p • und sind duale Operatoren: p p p p ... w p w w w f f s s s s s s ... x = 1 2 3 4 5 6 ...
Operatoren der Temporallogik • Until (U) • Seien p und q temporallogische Formeln • (, j) p U q gdw. (k: kj)((, k) q) und (i: j i < k)((, i) p) • Beispiel • Anmerkung • p wahr U p • p U q q pUq ... w w w w f f s s s s s s ... p w w w * * * ... q f f f w f f ...
Operatoren der Temporallogik • Unless (W) oder Weak Until • Seien p und q temporallogische Formeln • (, j) p W q gdw. (, j) p U q oder (, j) p • Beispiel • Anmerkung • p p W falsch • p W q p U q p ... pWq w w w w f f s s s s s s ... p w w w * * * ... q f f f w f f ... pWq w w w w f f ... s s s s s s ... p w w w w w w ... q * * * * * * ...
Beispiele ... ... p p p p p p * * ... ... q q q q q q ... * * * • Beispiele • p q • “ein p-Zustand am Anfang wird irgendwann von einem q-Zustand gefolgt” • (p q) p q • jedes Vorkommen von p wird irgendwann von q gefolgt • auch genannt “p leads-to q” (von Lamport eingeführt), z.B. DATreq DATind (DATreq DATind)
Beispiele p p p p p p p p ... p p p ... p p p p p p p p • Beispiele • p • “ hat unendlich viele p-Postitionen” • p • “ hat nur endlich viele p-Postitionen”
Beispiele • Beispiele • (p q) “Der Nachfolger jedes p-Zustands ist ein q-Zustand” • (p p) (p p) “Der Nachfolger jedes p-Zustands ist ein p-Zustand” “Einmal p, immer p”
Erfüllung und Gültigkeit • Erfüllung • Gegeben sei Zustandsfolge (oder Modell) und Formel p • erfüllt die Formel p an Position i (oder s ist ein p-Zustand oder eine p-Postition) falls (, i) p • erfüllt die Formel p (oder p gilt für ), falls (, 0) p und wir schreiben dann p • Gültigkeit • Eine Formel p ist eine gültige Formel falls gilt ()( p), und wir schreiben dann p • Wir suchen nach gültigen Formeln der TL die es uns erlauben, Eigenschaften in anderer, äquivalenter Form nierderzuschreiben • Für Formeln p und q schreiben wir p q für (p q) (“entailment”) p q für (p q)
Gültige Formeln • Entailment • p p • p U q (p q) • p Wq (p q) • p p • q p U q • q p Wq • Expansion • p (p p) • p (p p) • p U q (q [p (p U q)]) • p W q (q [p (p W q)])
Gültige Formeln • Dualitäten • p p • p p • (p U q) (q) W (p q) • (p W q) (q) U (p q) • p p • Starke und schwache Operatoren • p U q (p W q q) • p W q (p U q p) • p U q p W q
Gültige Formeln • Indempotenz Zweifache Anwendung gleich einfacher Anwendung • p p • p p • p U (p U q) (p U q) • p W (p W q) (p W q) • (p U q) U q (p U q) • (p W q) W q (p W q) • Absorption • p p • p p • Zusammen mit den Indempotez-Regeln kann man daher zeigen, dass es für eine Formel p, die frei von temporalen Operatoren ist, nur 4 unterschiedliche unäre Modalitäten gibt: p, p, p, p (Dies entspricht der “finite-model property” der System 4.3.1 Modallogik nach [Hughes and Cresswell])
Gültige Formeln • Kommutativität mit • (p) p • (p q) p q • (p W q) p Wq • Distribution • (p q) p q • (p q) p q • (p q) p q • (p q) p q
Basisoperatoren und Axiomatisierung • Mögliche Menge von Basisoperatoren , W, • Abgeleitete Operatoren • p = p W falsch • p = p = (p W falsch) • p U q = p W q q = p W q (p W falsch) • Mögliche Axiomatisierung • p p • p p • (pq) (p q) • (pq) (p q) • p p • (p p) (p p) • p W q [q (p (p W q))] • p p W q
Eigenschaften • Eigenschaftsklassen in Temporaler Logik • Verwendung der syntaktischen Form der Formeln • Eine Eigenschaft wird durch eine Formel der Temporallogik spezifiziert, falls über dem Zustandsvokabular definiert ist und die folgende Bedingung gilt: gdw. • bildet daher eine Entscheidungsmechanismus, der festlegt, ob eine Zustandsfolge des Systems zu den zulässigen Zustandsfolgen gehört. • Safety-Prgress Klassifikation [Manna and Pnueli] • Klassifikation orthogonal zu der Sicherheits-Lebendikgeits Klassifikation
Eigenschaften • Safety • kanonische Form: p • Eine Sicherheitseigenschaft (safety property) ist eine Eigenschaft, die durch eine Sicherheitsformel ausgedrückt werden kann • Beispiele: • (x > 0) • ((y 2) W (x = 1)) = ((y = 2) (x = 1)) eventually in the past always in the past in the previous state (Diese Operatoren zählen an dieser Stelle nicht zu den temporalen Operatoren, mit anderen Worten, sie können in Sicherheitsformeln vorkommen - mehr dazu in [Manna and Pnueli 92])
Eigenschaften • Guarantee • kanonische Form: p • “einmalig, aber ohne Wiederholung garantiert” • Beispiel: • ((y = 2) (x = 1)) • Dualität von Safety und Guarantee • p p • p p (p q gdw. p q ist eine wahre Formel)
Eigenschaften • Obligation • kanonische Formen (äquivalent) • p q • p q • “falls irgendwann p, dann auch irgendwann q” • Beispiel: • (x = 1) (y = 2) • Eigenschaften • Jede Boolesche Kombination von Safety und Guarantee Eigenschaften ist eine Obligation Eigenschaft • Die Klasse der (einfachen) Obligation Eigenschaften umfasst strikt die Klassen Safety und Guarantee: p q kann weder als durch die ausschliessliche Verwendung von Safety noch durch die ausschliessliche Verwendung von Guarantee Formeln ausgedrückt werden.
Eigenschaften • Response • kanonische Form • p • “unendlich viele p-Positionen” • alternative Normalform • (p q) = p q • “ein p wird immer von einem q gefolgt” • Beispiele: • ((x = 1) (y = 2)) • ([in!DATreq] [out?DATind]) • für eine gegebene Transition : (enabled() last_taken()) “justice” (Gerechtigkeit): entweder wird unendlich häufig zurückgezogen oder wird unendlich häufig ausgeführt • Alle Safety und Guarantee Eigenschaften sind spezielle Fälle von Response-Formeln
Eigenschaften • Persistence • kanonische Form • p • “es gibt nur endlich viele nicht-p-Positionen” • benutzt zur Beschreibung der Stabilisierung eines Systems nach endlich vielen Schritten • Beispiele: • (x = 1) (y = 2) • ((x = 1) (y = 2)) • Dualität von Response und Persistence • p p • p p
Eigenschaften • Reactivity • kanonische Form • p q • Disjunktion einer Response und einer Persistence Formel • Alternative Schreibweise p q p q q p • Beispiel: • (x = 1) (y = 2) • enabled() last_taken() “compassion” (Mitleid) oder “strong fairness” )starke Fairness: wenn unendlich häufig zur Ausführung bereit ist wird es auch unendlich häufig ausgeführt
Eigenschaften • Safety-Progress Klassifikation
Sicherheit und Lebendigkeit • Sicherheits- und Lebendigkeitsformeln • Sicherheit • Beispiel (receive sent) • mit anderen Worten, man kann das Eintreten von etwas ungewolltem in endlicher Zeit erkennen • ist eine Sicherheitsformel, gdw. jede Sequenz , die verletzt (die also erfüllt) einen Präfix [0..k] besitzt so, dass alle unendlichen Erweiterungen dieses Präfixes verletzen • Sicherheitsformel:p (p ist Vergangenheitsformel) • verletzt p es existiert Postition k0 so, dass (, k) p • offensichtlich, für jede Erweiterung ’ von [0..k] gilt dann (’, k) p, womit (’, k) not p gilt • in der anderen Richtung: es kann gezeigt werden, dass die oben gegebene Charakterisierung äquivalent einer kanonischen Sicherheitsformel p ist.
Sicherheit und Lebendigkeit • Sicherheits- und Lebendigkeitsformeln • Lebendigkeit • ist eine Lebendigkeitsformel gdw. wenn jede endliche Sequenz s..s zu einer unendlichen Sequenz erweitert werden kann, die erfüllt • p ist nicht die allgemein akzeptierte Definition
Sicherheit und Lebendigkeit • Syntaktische Charakterisierung • p ist eine Vergangenheitsformel, falls es keine temporalen Zukunftsoperatoren enthält. • p ist eine Zukunftsformel, falls es eine Zustandsformel ist oder falls es eine temporale Formel mit Zukunftsoperatoren ist. • Eine kanonische Sicherheitsformel ist eine Formel der Form p wobei p eine Vergangenheitsformel ist. • Eine kanonische Lebendigkeitsformel ist eine Formel der Form wobei p .. p Vergangenheisformeln sind so, dass gültig ist und f, .., f erfüllbare Zukunftsformeln sind • Beispiele • p (wahr p) • (p q) ((wahr p) (wahr q))
Sicherheit und Lebendigkeit ... q p • Safety-Liveness Klassifikation vs. Safety-Progress Klassifikation • Die Safety-Klassen nach beiden Schemen sind identisch • Die Sicherheits-Lebendigkeits Klassifikation ist orthogonal zu der Safety-Progress Klassifikation • p ist eine kanonische Response Formal, es ist gleichfalls eine Lebendigkeitseigenschaft • = (pq) ist eine Response Formel, aber keine Lebendigketisformel • in jeder k-Klasse, k {guarantee, obligation, response, persistence, reactivity} gibt es Formeln, die Lebendigkeitsformeln sind, und andere, die es nicht sind. keine Möglichkeit, diese Sequenz so fortzusetzen, dass sie efüllt
Sicherheit und Lebendigkeit • Safety-Liveness Klassifikation vs. Safety-Progress Klassifikation • Jede Formel der Progress-Klasse k ist äquivalent zu einer Konjunktion s l so, dass s Sicherheits- und l Lebendikeitsformel der Klasse k ist. • Beispiel • = p U q • s = (p q) • l = q
Beispiele • Alternating Bit Protocol • Formulierung aus [Schwarz and Melliar-Smith] • Hilfsoperatoren p LU q (p (p U q)) U q “latches-until”: falls p gilt, und falls irgenwann einmal q gilt, dann gilt p bis q gilt p LUA q p LU (p q) “latches-until-after”: wie LU, aber p gilt mindestens so lange bis q gilt • Variablen/Propositionen • afterDq(a): die nächste Nachricht a ist zur Übertragung bereitgestellt • S: das letzte gesendete Paket • Si: der letzte erhaltenen Wert eines Bestätigungspaketes • corrupted(): fehlerhafte Übertragung eines Paketes • empty(): Zustand einer Warteschlange • atTs: bereit, ein weiteres Paket zu übertragen
Beispiele • Alternating Bit Protocol • "Sicherheits"anforderungen des Sendeprozesses • R1. Aufeinanderfolgende Nachrichten werden in Paketen mit alternierenden Sequenznummern übertragen • R2. Die Sequenz unterschiedlicher Packete, die dem Medium zur Übertragung übergeben wurde, muss identisch zu der Sequenz der empfangenen Nachrichten sein • R3. Nachdem die Übertragung einer neuen Nachricht initiert wurde darf, bis die erste nicht verfälschte Bestätigung mit dieser Sequenznummer eingetroffen ist, nur diese Nachricht erneut übertragen werden A1. (afterDq(a) S=<m,v>) (S=<m,v> U S=<a,v’>) A2. S = p [S = q p LUA afterDq] [S = q p LUA (corrupted(Si) Si = q))]
Beispiele • Alternating Bit Protocol • "Lebendigkeits"anforderungen des Empfangsprozesses • R4. Falls die Übertragung einer Nachricht initiert wurde, muss dieses Paket zumindest solange wiederholt übertragen werden, bis eine postitive Bestätigung empfangen und bemerkt worden ist • R5. Falls wiederholte Bestätigungen für das letzte übertragene Paket unendlich häufig wiederholt erhalten werden, dann werden sie auch irgendwann bemerkt • R6. Eine nicht korrumpierte Bestätigung, die bemerkt wurde, führt irgendwann zur Übertragung der nächsten Nachricht in der Folge der zu übertragenden Nachrichten, sofern es weitere Nachrichten gibt A3. ((corrupted(Si) Si = S = p)) ( empty(InQ) (S p atTs)) A4. ((S = p) (S = q p)) ((S = q p atTs) U (corrupted(Si) Si = q p)) A5. ( atTs) U empty(InQ)
Spezifikationsmuster • Ziel: Definition von Spezifikationsmustern in Termporaler Logik • Speziell: Erfassung von zeitlichen Kontexten und dem Aufeinanderfolgen von Ereignissen/Zuständen • Entlastung des Spezifizierenden von der Kenntnis der konkreten syntaktischen Formulierung einer temporalen Bedingung in LTL • Beispiel: „Between process A updating a value and process B reading the cache, the value must be flushed from A’s cache” übersetzt sich in die folgende Formel ((UpdateA ReadB) (ReadBU FlushA)) • Mögliche Generalisierung • Web-Site http://www.cis.ksu.edu/santos/spec-patterns/index.html
Spezifikationsmuster • In den Spezifikationsmustern benutzte Scopes
Spezifikationsmuster • Occurrence • Absence: Ein Zustand/Ereigniss tritt in einem Scope nicht ein • Existence: Ein Zustand/Ereigniss tritt in einem Scope nicht ein • Bounded Existence: Ein Zustand tritt in einem Scope k-fach auf • Universality: Ein Zustand gilt in dem gesamten Scope • Order • Precedence: Einem Zustand / Ereignis P muss in einem Scope immer ein Zustand/Ereignis Q vorausgehen • Response: Ein Zustand / Ereignis P muss in einem Scope immer von einem Zustand/Ereignis Q gefolgt werden