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ASI 3 Méthodes numériques pour l’ingénieur. Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires. Opérations sur les vecteurs. Vecteur x base (canonique) b i , i =1, n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension.
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ASI 3Méthodes numériquespour l’ingénieur Introduction : vecteurs, matrices et applications linéaires
Opérations sur les vecteurs Vecteur x base (canonique) bi , i=1,n espace vectoriel V sur le corps des réels combinaison linéaire sous espace vectoriel base, dimension
Opérations sur les vecteurs Somme multiplication ? Vecteur transposé Norme produit scalaire, vecteurs orthogonaux
Matrices Tableau de n lignes et k colonnes Remarque fondamentale : on ne peut rien démontrer sans faire référence à l’application linéaire que la matrice représente
Applications linéaires Soient E et F deux espaces vectoriels Définition : Propriétés : Noyau : image : Noyau et image sont des s.e.v. resp. de E et de F image : s.e.v engendré par u(ei) rang = dim(Im(u)) u injective (ker(u) = 0) u surjective Im(u) = F Par identification, on donne une signification aux colonnes de la matrice
Propriétés des matrices u, A Img(A) • 0 Ker(A) Rn Rk
Propriété des matrices • Soit A une matrice associée à une application linéaire u de E dans F • soit k = dim(E) et n=dim(F) Noyau Rang (nombre de colonnes linéairement indépendantes) variables équivalentes équations équivalentes systèmes liés - systèmes libres (matrices blocs) vecteurs propres
B n n q A p Opérations sur les matrices Somme : somme des applications linéaires produit : composition des applications linéaires AB n’est pas BA (non commutatif)
Complexité algorithmique Quel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ? • Définitions • grand O • petit o • équivalence • asymptotique O(n2) < Algorithme < O(n3) A, B et C sont des matrices carrées de taille n Exemple, n=2 23 = 8 multiplications Comme Strassen, 1969 sauriez vous faire mieux ?
Complexité algorithmique Quel est l’algorithme qui calcule C=AB le plus vite ? Exemple, n=2 log10(n) n3/n(log2(7)) 1 1.5 2 2.4 3 3.7 4 5.8 5 9.1 6 14.3 7 22.3 8 34.7 9 54.1 10 84.4 Strassen, 1969 o(n2) < Algorithme < O(nlog27) 2,807
Opérations sur les matrices Inverse (a.l. bijective <=> matrice carrée) matrice identité I Transposée (adjointe pour les complexes) A est symétrique ssi A’=A Permutation p associé à la matrice P (changement de base de eià ep(i))
Opérations sur les matrices Changement de base déterminant d’une matrice carrée
Quelques matrices particulières Matrices carrées Matrices diagonales Matrices triangulaires (inférieure et supérieure) Matrices par bandes Matrice diagonale (strictement) dominante Matrice symétrique Matrice de Vandermonde (déjà vu en introduction) Matrice de Toeplitz Matrice de Hankel
4 principes fondamentaux • On ne change pas la solution lorsque l’on : • 1. permute 2 lignes interprétation physique • 2. permute 2 colonnes • 3. divise par un même terme non nul les éléments d’une ligne • 4. ajoute ou retranche à une ligne un certain nombre • de fois une autre ligne
Question fondamentale A quelles conditions l’équation Ax = b admet-elle une solution unique ? Théorème Dim(Im u)+dim(ker u) = dim(F) rang(u)+dim(ker u) = dim(F) corollaire