1 / 27

Modul 4 : penggunaan turunan

Modul 4 : penggunaan turunan. PENGGUNAAN TURUNAN, GRAFIK FUNGSI. Perhatikanlah sketsa grafik berikut ini. Dari sketsa terlihat pula : Fungsi mencapai maksimum di titik x=-2 dan x=2 Fungsi mencapai minimum relatif di titik x=-3,x=1 dan x=4

kiara
Télécharger la présentation

Modul 4 : penggunaan turunan

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Modul 4 : penggunaanturunan Modul VI Penggunaan Turunan

  2. PENGGUNAAN TURUNAN, GRAFIK FUNGSI Perhatikanlah sketsa grafik berikut ini • Dari sketsa terlihat pula : • Fungsi mencapai maksimum di titik x=-2 dan x=2 • Fungsi mencapai minimum relatif di titik x=-3,x=1 dan x=4 • Titik-titik x=-2,x=2 dan x=4 disebut titik stasioner • Ttitik x=-3,x=1 disebut titik singular f′(x)>0, f(x) naik stasioner Maksimum f′(x)=0 f′(x)<0, f(x) turun f′′(x)>0 cekung kebawah stasioner cekung keatas f′′(x)<0 Minimum stasioner singular • Dari grafik terlihat bahwa : • Grafik fungsi naik pada interval -3<x<-2, 1<x<2, x>4 • Grafik fungsi turun pada interval x<-3, -2<x<1, x<x<4 Modul VI Penggunaan Turunan

  3. Penggunaan Turunan Pertama Bab 4.1 Bab 4.2 Bab 4.3 Titik Kritis Fungsi Naik/Turun Uji Nilai Ekstrim Titik stasioner f′(c) = 0 Batas interval (titik kritis) x=c adalah titik kritis Titik singular f′(c) tidak ada Fungsi Turun f′(x) < 0  f(x) turun f(c) nilai maksimum x<c, f′(x)>0,x>c, f′(x)<0 f(c) nilai minimum x<c, f′(x)<0,x>c, f′(x)>0 Titik ujung interval Fungsi naik f′(x) > 0 f(x) naik f(c) bukan ekstrim x<c, f′(x)>0,x>c, f′(x)>0 x<c,f′(x)<0, x>c, f′(x)<0 Modul VI Penggunaan Turunan

  4. Contoh 1 • Buatlah sketsa grafik f(x) =(x–2)2/3(x-6)2 • Jawab • Turunan pertama Sketsa grafik turun naik • Titik kritis (1) stasioner, f′(x) = 0, P(x)=0 adalah x1=3 dan x2=6 (2) singular, f′(x) tidak ada, Q(x)=0 adalah x3=2 maksimum stasioner turun naik • Interval fungsi naik turun - - - + + +0- - - - - - 0 + + f′(x) ───┼───┼─────┼─── 2 3 6 turun naik turun naik f(x) ───┼───┼─────┼─── 2 3 6 minimum, singular minimum, stasioner • Uji nilai ektrim Dari interval fungsi naik turun diperoleh (1) f(3)= nilai maksimum (2) f(2) = 0, dan f(6) = 0 nilai minimum Modul VI Penggunaan Turunan

  5. CONTOH : f(x) = (x2 – 2x – 24)2/3(x-2)2 Modul VI Penggunaan Turunan

  6. Contoh 2 • Buat sketsa grafik : • f(x) = (x-2)3(x2-4x–11) • Jawab • Turunan pertama f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) • Titik kritis f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) = 0 (x-2)2(x+1)(x-5) = 0 x1=-1, x2=x3=2, x4=5 • Interval fungsi naik/turun • ++++0 - - - - -0- - - - - 0 + + • f′(x) ───┼────┼────┼─── • –1 2 5 • naik turun turun naik • f(x) ───┼────┼────┼─── • –1 2 5 Sketsa Grafik maksimum turun titik belok naik turun turun naik minimum • Uji nilai ektrim Dari interval fungsi naik turun diperoleh (1) f(–1)= 162 nilai maksimum (2) f(5)= -162 nilai minimum (3) f(2)=0 adalah titik belok Modul VI Penggunaan Turunan

  7. TUGAS KHUSUS : Untuksoal-soalberikutini, hitunglah : TurunanPertama Titikkritisnya Interval fungsinaik/turun Nilaiekstrimdanjenisekstrimnya Sketsagrafiknya (3) f(x) = (a – x)3(x2– (2a – b)x – 2ab) (4) f(x) = (x – b)2(x2– (2b – a)x – 2ab) Modul VI Penggunaan Turunan

  8. Penggunaan Turunan Kedua Titik Belok/Balik Kecekungan Grafik Uji Nilai Ekstrim Titik belok f′′(c) = 0 Batas kecekungan (titik belok) x=c adalah titik stasioner Titik balik f′′(c) tidak ada Fungsi cekung keatas f′′(x)>0  f(x) ck keatas f(c) nilai maksimum f′(c)=0 dan f′′(x)<0 f(c) nilai minimum f′(c)=0, dan f′′(x) >0 Fungsi cekung kebawah f′′(x)<0f(x) ck kebawah uji gagal f(c) bukan ekstrim f′(x)=0,f′′(x)=0 Gunakan Uji turunan pertama Modul VI Penggunaan Turunan

  9. Contoh 3 • Buat sketsa grafik : • f(x) = 0,25(x-1)2(x2-2x–17) • Jawab • Turunan pertama dan kedua f′(x)=(x–1)(x2-2x-8) f′′(x)=3(x2–2x–2) • Titik kritis f′(x)=(x-1)2(x2-2x-8) = 0 (x-1)(x+2)(x-4) = 0 x=-2, x=1, x=4 • Interval fungsi naik/turun • - - - - 0 + + + 0- - - - - 0 + + • f′(x) ───┼────┼────┼─── • -2 1 4 • turun naik turun naik • f(x) ───┼────┼────┼─── • –2 1 4 • Titik belok f′′(x)=3(x2–2x–2) = 0 x1=1–3 = -0,732; x2=1+3 = 2,732 • Kecekungan grafik • + + + + +0 - - - - - - - - 0 + + + + + • f′′(x) ─────┼───────┼────── • -0.732 2,732 • ck-keatas ck-kebawah ck keatas • f(x) ──────┼───────┼────── • -0,7321 2,732 • Uji Nilai ekstrim x f′(x) f′′(x) Kesimpulan --------------------------------------------------- –2 0 ( + ) f(-2) =-20,25 minimum --------------------------------------------------- 1 0 ( - ) f(1) = 0 maksimum --------------------------------------------------- 4 0 ( + ) f(4) = -20,25 minimum ----------------------------------------------------- Modul VI Penggunaan Turunan

  10. Sketsa Grafik contoh 3 y turun naik naik turun turun naik cekung keatas cekung kebawah cekung keatas cekung kebawah cekung keatas cekung keatas x=2,732 x=-0,732 maksimum x x=-2 x=4 Titik belok x=1 Titik belok minimum minimum Modul VI Penggunaan Turunan

  11. Contoh 4 • Buat sketsa grafik : • f(x) = (x-2)3(x2-4x–11) • Jawab • Turunan pertama f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) f′′(x)=10(x-2)(2x2-8x-1) • Titik kritis f′(x)=5(x-2)2(x2-4x-5) = 0 (x-2)2(x+1)(x-5) = 0 x=-1, x=2, x=5 • Interval fungsi naik/turun • ++++0 - - - - -0- - - - - 0 + + • f′(x) ───┼────┼────┼─── • –1 2 5 • naik turun turun naik • f(x) ───┼────┼────┼─── • –1 2 5 • Titik belok f′′(x)=10(x-2)(2x2–8x–1) = 0 x1=–0.121; x2=2; x3 = 4.121 • Kecekungan grafik • - - - -0 + + + +0 - - - - - - 0 + + + • f′′(x) ───┼─────┼─────┼──── • -0.121 2 4,121 • k-bawah ck-atas ck-bawah ck-atas • f(x) ────┼─────┼─────┼──── • -0,121 2 4,121 • Uji Nilai ekstrim x f′(x) f′′(x) Kesimpulan --------------------------------------------------- –1 0 ( + ) f(-1)=162 maksimum relatif --------------------------------------------------- 2 0 ( 0 ) f(2)=0 uji gagal, titik belok --------------------------------------------------- 5 0 ( + ) f(4)= -162 minimum relatif ---------------------------------------------------- Modul VI Penggunaan Turunan

  12. Grafik contoh 4 y maksimum titik belok cekung kebawah cekung keatas naik titik belok x turun cekung kebawah naik cekung keatas titik belok minimum Modul VI Penggunaan Turunan

  13. TugasKhusus : PenggunaanTurunanpertamadankedua Untukfungsiberikutini, tentukanlah : Turunanpertamadanturunankedua Titikkritis Interval fungsinaik/turun Titikbelok Kecekungangrafik UjiNilaiEkstrim Sketsagrafik (a) f(x) = (x2 – 5x – 6)(x – a)3 (b) f(x) = (x – a)4(x2 –4x – 12) Modul VI Penggunaan Turunan

  14. Model Matematika Langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaian masalah nyata dengan pemodelan matematika adalah sebagai berikut: • Langkah 1 : Buatlah sebuah gambar untuk menjelaskan permasalahan, dan berikan variabel-variabel atau konstanta yang diperlukan. • Langkah 2: Tentukan rumus untuk sebuah besaran yang akan dicari nilai ekstrimnya dengan variabel-variabel dan konstanta pada langkah 1. Jika perlu gunakan kondisi-kondisi permasalahan untuk menentukan rumus besaran yang merupakan fungsi satu variabel. • 3). Langkah 3 : Gunakan turunan pertama untuk menentukan titik kritis, dan gunakan uji turunan pertama atau uji turunan kedua untuk menentukan jenis nilai ekstrimnya. • 4). Langkah 4 : Tariklah kesimpulkan dari langkah 3, untuk menyelesaikan permasalahan. Modul VI Penggunaan Turunan

  15. Contoh soal • Sebuah pabrik pengalengan ingin membuat kaleng berbentuk silinder lingkaran tegak yang mempunyai volume tetap. Tentukanlah perbandingan ukuran tinggi dan jari-jari alas agar material yang digunakan pabrik sehemat mungkin. • Sebuah pembangkit tenaga listrik, P, terletak di tepi sungai lurus lebarnya 400 m. Sebuah pabrik kimia, K, terletak diseberang sungai berjarak 1 km ke arah hilir dari titik A yang berseberangan langsung dengan pabrik. Pabrik kimia ingin membangun suatu jaringan listrik yang menghubungkan pabrik dengan pembangkit tenaga listrik. Apabila biaya pemasangan kabel listrik per seratus meter, di bawah permukaan air lebih mahal 25 persen dari pada biaya pemasangan di darat. Tentukanlah jalur pemasangan kabel yang paling hemat. • 3) Sebuah balok kayu persegi panjang dipotong dari sebuah gelondong kayu dengan penampang berbentuk lingkaran. Jika kekuatan balok sebanding dengan hasil kali lebar dan pangkat tiga tebalnya, tentukanlah ukuran balok yang memberikan kekuatan paling kuat. Modul VI Penggunaan Turunan

  16. Asumsikan, x : menyatakan rata-rata jumlahlistrik yang bisadihemat per haridan, f(x) : biaya yang harusdibayarkan. Jikafungsibiayanyaadalah • Denganujiturunankeduaberapakah rata-rata listrik yang harusdihemat per harinya, agar supayabiayanya minimum. Catatan : soalinihanyaditanyanilaiekstrimnyasaja. • Diberikanfungsibiaya total, • TC = Q3 – 3(a+b)Q2 + 3a(a+2b)Q + 4(a+b)3. • Dengan uji turunan pertama dan turunan kedua, tentukanlah : • Output Q yang meminimalkanbiaya total, danberapakanbiaya minimal tersebut. • Output Q yang meminimalkanbiaya total rata-rata (AC = TC/Q), danberapakahbiayaminimaltersebut. Modul VI Penggunaan Turunan

  17. Limit BentukTakTentu Fungsi f(x)/g(x) dikatakanmempunyaibentuktaktentudi x=a, jika f(a)=0/dan g(a)=0/, yakni : Rumus 1. Jika, Contoh : Bentuktaktentudi x=a Misalkan, adalahbentuktaktentudi x=2

  18. Contoh Hitunglah, Jawab, Contoh Hitunglah, Jawab, L’H L’H L’H LH

  19. Rumus 2. Jika, Contoh : L’H Contoh, L’H L’H L’H L’H L’H L’H

  20. Mengingat : BentukTakTentuLainnya Rumus 3. Jika, L’H Contoh : Hitunglah, Jawab : Tulislah, (0.)

  21. Mengingat, Rumus 4. Jika, L’H L’H L’H L’H Contoh : Hitunglah, Jawab : Tulislah,

  22. Contoh : Contoh : ( – ) ( – ) L’H L’H L’H L’H

  23. Rumus 5 : Jika : (0.)

  24. Contoh : Hitunglah, Jawab L’H L’H L’H Jadi,

  25. Contoh : Hitunglah, Mengingat, L’H L’H L’H Jadi,

  26. Contoh : Hitunglah, Mengingat, L’H L’H L’H

  27. Soal-soallatihan

More Related