Kap 05 Betinget sannsynlighet

1. Kap 05 Betinget sannsynlighet

2. Betinget sannsynlighet Eksisterendeopplysninger Når vi utfører sannsynlighetsberegninger vil beregningene (og dermed svarene) alltid være avhengige av de opplysningene som til enhver tid er tilgjengelige. Hvis disse forhåndsopplysningene endres, vil også sannsynlighetsberegningene (og dermed svarene) endres. Eks: Vi er med på en flytur og har nettopp utført beregninger for hvor stor sannsynligheten P(A) er for at (A) flyet skal styrte. Disse beregningene har vi utført på bakgrunn av eksisterende fly-statistikk. Så får vi opplyst at (B) begge flyets motorer nettopp har eksplodert. De fleste vil vel være enige i at nye sannsynlighetsberegninger for flystyrt med dette flyet nå er endret. Nye opplysninger er kommet til og dette endrer sannsynlighetsberegningene.

3. Betinget sannsynlighet Eksempel:Terningkast Uniform sannsynlighetsmodell for terningkast: Etter et kast opplyses det at antall øyne ikke er 6. Da må utfallet B ={1,2,3,4,5} ha inntruffet. Intuitivt bør nå den betingede modell gitt B se ut som følger: I den betingede modell gitt B kunne vi bruke B som utfallsrom i stedet for . I praksis ønsker man ofte å studere flere betingede modeller samtidig og da er det hensiktsmessig å beholde  som felles referanseramme for alle betingede modeller.  B 6 1 2 3 4 5 Betinget modell gitt B:

4. Betinget modell I Sannsynlighetsmodell: Etter et eksperiment får vi opplyst at utfallet B har inntruffet. Betinget modell gitt B: I den betingede modell gitt B kunne vi bruke B som utfallsrom i stedet for . I praksis ønsker man ofte å studere flere betingede modeller samtidig og da er det hensiktsmessig å beholde  som felles referanseramme for alle betingede modeller.

5. Betinget modell II Verifisering avsannsynlighetsmodell Betinget modell gitt B: Verifisering av sannsynlighetsmodell:

6. Betinget modell III Bestemmelseav PB(A) Betinget modell gitt B: Bestemmelse av PB(A): PB(A) skrives som P(A|B):

7. P(A|B) B A Enhver sannsynlighet i den betingede modell B kan beregnes ut fra sannsynligheter i den opprinnelige modellen.

8. Eksempel: 2-barnsfamilie  = {GG,GJ,JG,JJ} P(u) = 1/4 for alle u   Beregn sannsynligheten for den yngste er en jente gitt at familien har minst en jente. A = Den yngste er en jente = {GJ,JJ} P(A) = 2/4 = 1/2 B = Minst en jente = {GJ,JG,JJ} P(B) = 3/4 AB = {GJ,JJ} P(AB) = 2/4 = 1/2

9. Eksempel: Kast med to terninger  = {11,12,13,14,15,16, 21,22,23,24,25,26, 31,32,33,34,35,36, 41,42,43,44,45,46, 51,52,53,54,55,56, 61,62,63,64,65,66 } P(u) = 1/36 for alle u   A = Begge terninger viser 6 P(A) = 1/36 B = Minst en terning viser 6 P(B) = 11/36 C = Sum øyne er minst 10 P(C) = 6/36

10. Multiplikasjonssetningen - Bayes lov Betinget sannsynlighet Multiplikasjonssetningen Bayes lov

11. Oppdeling av 

12. Lov om total sannsynlighet Utfallene B1, B2, ….., Br sies å være en oppdeling av utfallsrommet  dersom: 1) B1, B2, ….., Br er disjunkte 2) P(Bi)>0 i = 1,2,…..,r 3) B1 B2  …..  Br =  Følgende gjelder for ethvert utfall A:

13. Lov om total sannsynlighet - Bevis

14. Bayes teorem

15. Bayes teorem - Bevis

16. Eksempel: Pirquetprøve - Oppgave Oppgave: På en skole skal alle elevene ta piquetprøve for å finne elever med tuberkulose. Vi vet at prøven gir noen falske positive reaksjoner. Alle elevene med positiv reaksjon må derfor gjennomgå nøyere klinisk undersøkelse. Sykehuset vil ha et overslag over hvor mange av elevene de må undersøke. Det sykehuset altså er interessert i, er sannsynligheten for at prøven skal være positiv. Ved tidligere utprøvinger har en funnet at ca 80% av de som er syke, viser positivt utslag, og ca 10% av de friske. Generelt har en også funnet at ca 1% av elevene i denne aldersgruppen har tuberkulose. a) Beregn sannsynligheten for positivt utslag på en vilkårlig elev. b) En elev som får positivt utslag på testen, vil gjerne vite: Hvor stor er sjansen for at jeg virkelig har tuberkulose?

17. Eksempel: Pirquetprøve - Løsning Løsning: A = Pirquetprøven er positiv B = Personen er syk a) b)

18. Bertrands skuffeparadoks - Oppgave Bertrands skuffeparadoks Tre like skuffer har hver to rom. Den første skuffen inneholder to gullmynter, den andre en gullmynt og en sølvmynt og den tredje to sølvmynter. En skuff velges tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at den inneholder to ulike mynter? Svar: 1/3. En skuff velges tilfeldig, ett av rommene inneholder en gullmynt. Hva er sannsynligheten for at skuffen inneholder to ulike mynter? En fristes lett til å tro at nå er det bare to muligheter og at sannsynligheten for å finne en sølvmynt i det andre rommet er 1/2. Det korrekte svaret er fortsatt 1/3 og det skyldes at når det registreres en gullmynt i ett av rommene, så er sannsynligheten for at skuff nr 1 er valgt dobbelt så stor som for skuff nr 2. Det er lett å la seg lure av intuisjon, særlig til å tro at utfall er like sannsynlige. G G G S S S 1 2 3

19. Bertrands skuffeparadoks - Løsning G G G S S S Løsning av Bertrands skuffeparadoks: 1 2 3 Ai = Skuff nr i er valgt Ai i=1,2,3 danner en oppdeling av  G = En gullmynt er observert

20. Snitt av høyere orden 2 snitt 3 snitt 4 snitt n snitt

21. Eksempel: Urne med kuler En urne inneholder 12 kuler, 5 hvite, 4 sorte og 3 røde. 4 kuler trekkes sekvensielt uten tilbakelegging. Hva er sannsynligheten for rekkefølgen hvit-rød-hvit-sort ? A = Hvit kule trekkes ved første valg B = Rød kule trekkes ved andre valg C = Hvit kule trekkes ved tredje valg D = Sort kule trekkes ved fjerde valg 5 h 4 s 3 r 1 h 4 h 4 s 3 r 1 r 4 h 4 s 2 r 1 h 3 h 4 s 2 r 1 s

22. Uavhengighet og produktmodeller I A sies å være uavhengig av B når: Dette gir følgende: Følgende tre utsagn er ekvivalente når P(A)>0 og P(B)>0:

23. Uavhengighet og produktmodeller II A1, A2, A3, ….., An, er uavhengige dersom sannsynligheten for snittet av ethvert utvalg av to eller flere av utfallene er lik produktet av sannsynlighetene for de enkelte utfall. Spesielt gjelder da:

24. Uavhengighet og produktmodeller Eksempel: Kort-trekking Kort-trekking: Et kort trekkes tilfeldig fra en kortstokk. A = Sort kort B = Honnør kort (knekt, dame, konge, ess)

25. Uavhengighet og produktmodeller Eksempel: Terningkast I Terningkast: En terning kastes 3 ganger. Hva er sannsynligheten for at alle tre kastene gir 6 ?

26. Uavhengighet og produktmodeller Eksempel: Terningkast II En terning kastes 20 ganger. Hva er sannsynligheten for å få minst en sekser? Ai = Ikke sekser i kast nr i A1, A2, A3, ….., A20, uavhengige.

27. Uavhengighet og produktmodeller P(minst ett treff) A1, A2, A3, ….., An, uavhengige. Ai = Ikke treff i eksperiment nr i. Sannsynlighet for treff i forsøk nr i er p. Konklusjon:

28. Uavhengighet og produktmodellerEksempel: Kast med to terninger Hvor mange kast må vi foreta med to terninger for at det skal lønne seg å satse på en dobbel sekser, dvs hvor mange kast må vi foreta med to terninger for at sannsynligheten for to seksere skal være større enn eller lik 0.5 ? Svar:

29. END