MATEMATIKA SMA KELAS X BAB 5 TRIGONOMETRI buku : Sartono Wirodikromo

1. MATEMATIKA SMA KELAS XBAB 5 TRIGONOMETRIbuku : SartonoWirodikromo DOSEN PENGAMPU : Drs. DJOKO PURNOMO, M.M

2. NIAM KHOLID Hidayatullah 10310048 5B MATEMATIKA

3. StandarKompetensi: Menggunakanperbandingan, fungsi, persamaan, danidentitastrigonometridalampemecahanmasalah

4. KompetensiDasar: • Melakukanmanipulasialjabardalamperhitunganteknis yang berkaitandenganperbandingan, fungsi, persamaan, danidentitastrigonometri • Merancang model matematikadarimasalah yang berkaitandenganperbandingan, fungsi, persamaan, danidentitastrigonometri • Menyelesaikan model matematikadarimasalah yang berkaitandenganperbandingan, fungsi, persamaandanidentitastrigonometri, danpenafsirannya

5. UkuranSudut Perbandingan-perbandinganTrigonometri PerbandinganTrigonometriSudut-sudutdi SemuaKuadran TRIGONOMETRI RumusPerbandinganTrigonometriUntukSudut-sudutBerelasi IdentitasTrigonometri GrafikFungsiTrigonometri ATURAN SINUS DAN KOSINUS

6. 5-1 UkuranSudut • Dalamtrigonometriada 2 macamukuransudut yang seringdigunakan, yaitu : • Ukuransudutdalamderajat • Ukuransudutdalam radian 5-1-1 UkuranSudutdalamDerajat Definisi : Satuderajat (ditulis = 1) didefinisikansebagaiukuranbesarsudut yang disapuolehjari-jarilingkarandalamjarakputarsejauh 1/360 putaran BACK

7. 1 derajat = 60 menitditulis 1=60’ 1 menit = 60 detikditulis 1’ = 60” Contoh: Diketahuibesarsudut = 127 24’ Nyatakanbesarsudut  itudalamnotasidesimal Hitunglah ( nyatakanhasilnyadalamukuranderajat, menit, dandetik) : ½  Jawab: a. Dengandemikian, 127 24’ =127 + 24’ = 127 + 0,4 =127,4 Jadi, bentukdesimaldari  = 127 24’ adalah  = 127,4

8. 5-1-2 UkuranSudutdalam Radian Definisi : Satu radian (ditulis : 1 rad) didefinisikansebagaiukuransudutpadabidangdatar yang beradadiantaraduajarijarilingkarandenganpanjangbusursamadenganpanjangjari-jarilingkaranitu

9. 5-2 perbandingan-perbandingantrigonometri 5-2-1 perbandingan-perbandinganTrigonometridalamSegitigaSiku-Siku 5-2-2 MenentukanNilaiPerbandinganTrigonometriuntuksudutkhusus BACK

10. 5-2-1 perbandingan-perbandinganTrigonometridalamSegitigaSiku-Siku Sin αᵒ = Cos B Tan  c Cot a  Sec A C b Cosec αᵒ =

11. RumusKebalikan RumusPerbandingan

12. 5-2-2 MenentukanNilaiPerbandinganTrigonometriuntuksudutkhusus Sudutkhusus (sudutistimewa) adalahsuatusudut di mananilaiperbandingantrigonometrinyadapatditentukansecaralangsungtanpamenggunakandaftartrigonometriataukalkulator. Sudut-sudutkhususyaitu 0, 30, 45, 60, dan 90 y P(x,y) sin  = Y cos = X y   x 0 x P’ 1 Dengandemikian, dalamlingkaransatuanitukoordinattitik P(x,y) dapatdinyatakansebagai P(cos , sin )

13. Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 0 • Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 30 • Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 45 • Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 60 • Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 90

14. 1. Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 0 Koordinattitik P (1,0), sehingga (1,0) = (cos 0, sin 0) Dengandemikian, diperoleh : Sin 0 = 0 Cos 0 = 1 Tan 0 = 0 Y P (1,0) X 0 1

15. 2. NilaiperbandinganTrigonometriuntuksudut 30 OPQ merupakansegitigasamasisi dg panjangsisi OP = OQ = PQ = 1. Karena OPP samadansebangun OQP, maka PP = QP = ½ atauordinat y = ½ Segitiga OPP’ siku-sikudi P’ (OP)² + (PP)² = (OP)² (OP)² = (OP)² - (PP)² (OP)² = 1² - (½)² = ¾ OP = ½√3 OP menyatakanabsistitik P atau x = ½√3 Untuk =30 makakoordinattitik P adalah (½√3, ½) shgdiperoleh Sin 30 = ½ Cos 30 = ½√3 Tan 30 = ⅓√3 Y P(x,y) y 30 x 0 30 P’ X Q(x,-y)

16. 3. Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 45 OPP merupakansegitigasiku-sikudi P dansama kaki dengan OP=PP atau x = y (OP)² + (PP)² = (OP)² x² + y² = 1 2x² = 1 x² = ½ x = ½√2 Karena x = y maka y =½√2 Untuk =45 makakoordinat P adalah (½√2, ½√2), sehinggadiperoleh Sin 45 = ½√2 Cos 45 =½√2 Tan 45 = 1 Y P(x,y) 1 y 45 0 x P X

17. 4. Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 60 OPQ merupakansegitigasamasisi dg panjangsisi OP = OQ = PQ = 1. Karena OPP samadansebangun OQP, maka OP = QP = ½ sehinggaabsis x= ½ Y P(x,y) 1 y Segitiga OPP’ menunjukkanbahwa PP= ½√3, sehinggaordinat y= ½√3, Q(1,0) 60 x 0 P X Untuk =60 makakoordinattitik P adalah (½ ,½√3) shgdiperoleh Sin 60 = ½√3 Cos 60 = ½ Tan 60 = √3

18. 5. Nilaiperbandingantrigonometriuntuksudut 90 Kaki sudut OP berimpitdengansumbu Y positif Titik P(0,1), sehingga (0,1) = (cos 90, sin 90), sehinggadiperoleh Sin 90= 1 Cos 90= 0 Tan 90 = takterdefinisi Y P(0,1) 90 0 X

20. 5-3 perbandingantrigonometrisudut-sudutdisemuakuadran Sin  = Cos  = Tan  = Cot  = Sec  = Cosec  = Y A P(x,y) r = √x²+y² (jarak) y (ordinat)  X x (absis) BACK

21. Y II Sin, positif Cosec, positif I Semuapositif X 0 III Tan, positif Cot, positif IV Cos, positif Sec, positif

22. 5-4 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut-sudutberelasi Definisi : sudut-sudutberelasi Misalkansuatusudutbesarnya Sudut lain yang besarnya (90  ) dikatakanberelasidengansudut  dansebaliknya Sudut-sudut lain yang berelasidengansudut  adalahsudut-sudut yang besarnya (90+), (180±), (270±), (360±) dan -  BACK

23. rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (90 - ) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (90 + ) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (180  ) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (180 + ) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (270) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (270+) • rumusperbandingantrigonometriuntuksudutnegatif () • rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (n. 360) dansudut(n. 360+) BACK

24. 5-4-1 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (90 - ) Y Q(y,x) Sin (90 - ) = cos  Cos (90 - ) = sin  Tan (90 - ) = cot  Cot (90 - ) = tan  Sec (90 - ) = cosec  Cosec (90 - ) = sec  Q P(x,y) 1 1  y  x P 0 X Sinus sebuahsudut = cosinussudutkomplemennya, dansebaliknya Tangensebuahsudut = cotangensudutkomplemennya, dansebaliknya Secansebuahsudut = cosecansudutkomplemennya, dansebaliknya back

25. 5-4-2 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (90 + ) Sin (90 + ) = cos  Cos (90 + ) = - sin  Tan (90 + ) = - cot  Cot (90 + ) = - tan  Sec (90 + ) = - cosec  Cosec (90 + ) = sec  Y Q(-y,x) Q P(x,y) 1 1  x  0 P X back

26. 5-4-3 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (180  ) Sin (180 - ) = sin  Cos (180 - ) = - cos  Tan (180 - ) = - tan  Cot (180 - ) = - cot  Sec (180 - ) = - sec  Cosec (180 - ) = cosec  Y P(x,y) Q(-x,y) 1 1 y   Q 0 x P X Sinus suatusudut = sinus sudutpelurusnya, dansebaliknya Cosinussuatusudut = negatifcosinussudutpelurusnya, dansebaliknya Tangensuatusudut = negatiftangensudutpelurusnya, dansebaliknya back

27. 5-4-4 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (180 + ) Y Sin (180 + ) = - sin  Cos (180 + ) = - cos  Tan (180 + ) = tan  Cot (180 + ) = cot  Sec (180 + ) = - sec  Cosec (180 + ) = - cosec  P(x,y) 1 y 0 Q   x P X 1 Q(-x,-y) back

28. 5-4-5 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (270) Y Sin (270 - ) = - cos  Cos (270 - ) = - sin  Tan (270 - ) = cot  Cot (270 - ) = tan  Sec (270 - ) = - cosec  Cosec (270 - ) = - sec  P(x,y) 1 y 0  x X  P 1 Q Q(-x,-y) back

29. 5-4-6 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (270+) Sin (270 + ) = - cos  Cos (270 + ) = sin  Tan (270 + ) = - cot  Cot (270 + ) = - tan  Sec (270 + ) = cosec  Cosec (270 + ) = - sec  Y P(x,y) 0  X P  Q Q(x,-y) back

30. 5-4-7 rumusperbandingantrigonometriuntuksudutnegatif () Y Sin ( -) = - sin  Cos ( -) = cos  Tan ( -) = - tan  Cot ( -) = - cot Sec ( -) = sec  Cosec ( -) = - cosec  P(x,y) 1  P  0 Q X 1 Q(x,-y) back

31. 5-4-8 rumusperbandingantrigonometriuntuksudut (n. 360) dansudut(n. 360+) Sin (n . 360 - ) = sin (-) = - sin  Cos (n . 360 - ) = Cos ( -) = cos  Tan (n . 360 - ) = Tan ( -) = - tan  Cot (n . 360 - ) = Cot ( -) = - cot  Sec (n . 360 - ) = Sec ( -) = sec  Cosec (n . 360 - ) = Cosec ( -) = - cosec  Sin (n . 360 + ) = sin  Cos (n . 360 + ) = cos  Tan (n . 360 + ) = tan  Cot (n . 360 + ) = cot  Sec (n . 360 + ) = sec  Cosec (n . 360 + ) = cosec  back

32. 5-5 identitastrigonometri5-5-1 identitastrigonometridasar Identitastrigonometridasar yang merupakanhubungankebalikan Identitastrigonometridasar yang merupakanhubunganperbandingan Identitastrigonometridasar yang diperolehdarihubunganteoremaphytagoras BACK

33. Identitastrigonometridasar yang merupakanhubungankebalikan back

34. Identitastrigonometridasar yang merupakanhubunganperbandingan back

35. Identitastrigonometridasar yang diperolehdarihubunganteoremaphytagoras Sin²  + cos²  = 1 1 + tan²  = sec²  1 + cot²  = cosec²  back

36. 5-5-2 identitastrigonometri yang lain kebenaranidentitastrigonometri yang lain. Dapatdilakukandengancara Cara 1: Sederhanakansalahsaturuas (biasanyadipilihruas yang memilikibentukrumit) sehinggadiperolehbentuk yang samadenganruaslainnya Cara 2: Sederhanakanmasing-masingruassehinggadiperolehhasil yang samauntukmasing-masingruastersebut Identitastrigonometrijugadigunakanuntukmembuktikan

37. Contoh Buktikanbahwa (sin   cos )² + 2 sin  cos  = 1 Jawab: Ubahruas yang kiri (sin   cos )² + 2 sin  cos  = sin²   2sin  cos  + cos²  + 2 sin  cos  = (sin²  + cos²  ) + (2 sin  cos  2 sin  cos ) = 1 + 0 =1 Ruaskiri = ruaskanan Jadi, terbuktibahwa(sin   cos )² + 2 sin  cos  = 1

38. contoh Buktikanbahwa sec⁴   sec²  = tan⁴  + tan²  Jawab: Ubahruaskiri sec⁴   sec²  = sec²  ( sec²   1) = sec²  tan²  Ubahruaskanan tan⁴  + tan²  = tan²  ( tan²  + 1) = tan²  sec²  = sec²  tan²  Ruaskanan = ruaskiri = sec²  tan²  Jadi, terbuktibahwasec⁴   sec²  = tan⁴  + tan² 

39. 5-6 grafikfungsitrigonometri Grafikfungsi y=sin xᵒ (0≤x≤360) Grafikfungsi y = cos xᵒ (0≤x≤360) Grafikfungsi y = tan xᵒ (0≤x≤360) BACK

40. Grafikfungsi y=sin xᵒ (0≤x≤360) back

41. y 1 240 300 360 210 x 270 330 180 0 150 30 60 90 120 –1 back

42. Grafikfungsiy = cosxᵒ (0≤x≤360) back

43. y 1 120 240 150 210 180 x 0 30 60 90 360 300 330 270 – –1 back

44. Grafikfungsi y = tan xᵒ (0≤x≤360) back

45. y x 0 45 90 135 180 225 315 270 360 back

46. ATURAN SINUS DAN KOSINUS • ATURAN SINUS ∆ LANCIP ∆ TUMPUL • ATURAN KOSINUS ∆ LANCIP ∆ TUMPUL BACK

47. Perhatikan∆ABC lancip AP merupakangaristinggipadasisi a BQ merupakangaristinggipadasisi b CR merupakangaristinggipadasisi c Pada ∆ACR : Pada∆BCR : Persamaan (1) dan (2) diperoleh: C a Q P b A B c R

48. Pada∆BAP : Pada∆CAP : Persamaan (4) dan (5), diperoleh : C a Q Persamaan (3) = (6), diperoleh: P b back A B c R

49. Perhatikan∆ABC tumpul: Garis AP adalahgaristinggipadasisi a Garis BQ dan CR adalahgaristinggipadaperpanjangansisi b dan c Pada ∆ACR : ⟺ CR= b sin (180ᵒ–A) ⟺ CR= b sin A………………(1) C P a b B R A c Pada∆BCR : ⟺ CR= a sin B ……………….(2) Q Persamaan (1) = (2), diperoleh : b sin A = a sin B ⟺

50. Pada∆BAP : Pada∆CAP : C P a b Persamaan (4) dan (5), diperoleh: c sin B = b sin C B R A c Q Persamaan (3) = (6), diperoleh : back