République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieure et de la Recherche Scientifique

1. République Algérienne Démocratique et Populaire Ministère de l’Enseignement Supérieure et de la Recherche Scientifique Université des Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed Boudiaf (USTO) Faculté des Sciences Département d’Informatique Module: Optimisation Avancée. Responsable : Mr M. BENYETTOU La méthode Branch&Bound Présenté par :SouidiAbdelhak

2. Plan de travail 1-Introduction 2-Définition 3-Historique 4-Principe de l’algorithme 5-domaines d’application 6-Exemple d’application 7-Conclusion 8-Bibliographique

3. introduction Pour plusieurs problèmes, en particulier les problèmes d’optimisation, l’ensemble de leurs solutions est fini (en tous les cas, il est dénombrable). Il est donc possible, en principe, d’énumérer toutes ces solutions, et ensuite de prendre celle qui nous arrange. L’inconvénient majeur de cette approche est le nombre prohibitif du nombre de solutions : il n’est guère évident d’effectuer cette énumération.

4. - définition La technique du Branch & Bound est une méthode algorithmique classique pour résoudre un problème d'optimisation combinatoire. Il s'agit de rechercher une solution optimale dans un ensemble combinatoire de solutions possibles. La méthode repose d'abord sur la séparation (branch) de l'ensemble des solutions en sous-ensembles plus petits.

5. - définition L'exploration de ces solutions utilise ensuite une évaluation optimiste pour majorer (bound) les sous-ensembles, ce qui permet de ne plus considérer que ceux susceptibles de contenir une solution potentiellement meilleure que la solution courante.

6. - Historique La méthode B&B a été proposée pour la première fois par Ailsa. H. Land and Alison. G. Doig en 1960 pour la programmation discrète En 2002 G. Gutin et A.P. Punnen publiaient un livre “The Traveling SalesmanProblem and Its Variations” Ce livre couvre tous les domaines importants de l'étude sur TSP, y compris la théorie des polyèdres symétriques et asymétriques pour le TSP, branch and bound et d’autres méthodes.

7. Principedel’algorithmeB&B 1. Branch: Séparation. 2. Bound: Evaluation - Le branchement ou bien la séparation: diviser un ensemble de solutions en plusieurs sous-ensembles.

8. Principedel’algorithmeB&B la phase d’évaluation d’un nœud de l’arbre de décision a pour but de déterminer :

9. Principedel’algorithmeB&B Que cet ensemble ne contient pas de solution intéressante pour la résolution du problème (i.e LB> min ( coût (si ))) donc pas de séparation De déterminer l’optimum de l’ensemble des solutions réalisable associé au nœud question ie: LB<min (coût(si)) et ceci pour un cas de minimisation de la fonction du coût.

10. Stratégiede larecherche Pour représenter une PSE, nous utilisons un « arbre de recherche » Il y a deux façons pour explorer l’arbre: - En profondeur : nécessite des retours arrière. - Valeur minimale: le nœud dont l’évaluation est minimal

11. Quelques problèmes d’application Le problème du voyageur de commerce TSP (Traveling SalesmanProblem) Le problème du sac à dos  Des problèmes complexes, NP-complets le plus souvent.

12. Exemple d’application Soit le problème du sac à dos suivant :

13. Exemple d’application b= 9

14. Exemple d’application P x5=1 x5=0 P2 P1 Zsup = 40 Zsup =44 x6=1 Arrêt car Zsup<Zbest x6=0 P3 P4 Z =36 Arrêt Z =41

15. Exemple d’application Relaxation de P Solution Optimale Réelle x* = (1, 1, 1,1 ,1/4 ,0) Z* = 44 Solution Arrondie = (1, 1, 1, 1,0, 0) = 41 On enregistre cette solution comme meilleure solution rencontrée : xbest= et Zbest= 41 41 ≤ Zopt ≤ 44

16. Exemple d’application P1(1, 1, 1, 1, 0, 1/6) Zsup = 44 > ZbestDivisier en P3 et P4 P2(1, 1, ½, 0, 1, 0) Zsup = 40 < Zbest Arrêt P3 (1, 1, 1, 1,0, 0) Z = 41  Arrêt (solution entière) ; Zbest inchangé P4 (1, 0, 0, 0, 0, 1)Z = 36 Arrêt (solution entière) ; Zbest inchangé Toutes les branches sont arrêtées Zopt = Zbest = 41 et xopt = (1, 1, 1, 1, 0, 0)

17. Conclusion La technique abordée dans cette approche est une méthode exacte d’optimisation qui rend optimale la fonction objective et pratique une énumération intelligente de l’espace des solutions. Il s’agit en quelque sorte d’énumérations complètes améliorées.

18. Conclusion Elle partage l’espace des solutions en sous-ensembles de plus en plus petits et est appliquée à des problèmes NP-difficiles .Cette méthode reste bien sûr exponentielle, mais sa complexité en moyenne est bien plus faible que pour une énumération complète.

19. Conclusion Pour des problèmes de grande taille, sa durée d’exécution devient prohibitive, et il faut se tourner vers des heuristiques.

20. Bibliographie Stephen Boyd, and Mattingley Jacob. « Branch and Bound Methods », mars 11, 2007. Stanford University. Marcel, Turkensteen. « Advanced Analysis of Branch and Bound Algorithms » (2006). Netherlands. « Resolution par separation et evaluation : Branch & Bound », Ensimag 2A -2011 2010. « Séparation et évaluation ». Wikipédia, novembre 20, 2012. http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=S%C3%A9paration_et_%C3%A9valuation&oldid=84541985. « Branch and Bound ». Wikipedia, the Free Encyclopedia, décembre 31, 2012. http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Branch_and_bound&oldid=523038172. « Resolution par separation et evaluation : Branch & Bound », Ensimag 2A -2011 2010. « Optimisation (mathématiques) ». Wikipédia, décembre 27, 2012. http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Optimisation_(math%C3%A9matiques)&oldid=869 75346. http://wwwens.uqac.ca/~rebaine/8INF806/techniquedebranchandboundcourshiver2005.pdf