Lerner & Sadovsky Ms. Danielle Cenci

1. Universidade Federal do Rio Grande Instituto de Educação – IEMetodologia do Ensino da Matemática O Sistema de Numeração: um problema didático Lerner & Sadovsky Ms. Danielle Cenci 15/outubro/2013 1

2. PaRa PeNsAr: Conforme exposto pelas autoras, as crianças já constituem noções sobre o sistema numérico, antes mesmo de ingressar na escola. Pensando em sala de aula, esta informação, realmente é positiva? Porquê?

3. O Porquê da Pesquisa: Alternativas Didáticas: • Kamii – as regras do sistema de numeração trabalhadas a posterior. • Bernarz e Janvier – através de distintas materializações e formulando situações nas quais agrupar seja significativo, é compreendido como um recurso mais econômico e rápido para contar grandes quantidades.

4. O Porquê da Pesquisa: Lerner & Sadovsky constataram que estudos realizados até aquele presente momento, não consideravam que a numeração escrita existe não só dentro da escola, mas também fora dela. Que as crianças têm oportunidade de elaborar conhecimentos acerca deste sistema de representação muito antes de ingressar na primeira série.

5. O objetivo da Pesquisa: “Realizar um estudo que permitisse descobrir quais os aspectos do sistema de numeração que as crianças consideram relevantes ou de seu interesse, quais as ideias que elaboram acerca dos números, quais os problemas que formulam, quais as soluções que constroem, quais os conflitos que podem gerar entre suas próprias conceitualizações ou entre estas e determinadas características do objeto que estão tentando compreender.”

6. Sistema de Numeração “Produto cultural, objeto de uso social cotidiano, o sistema de numeração se oferece à indagação infantil desde as páginas dos livros, a listagem dos preços, os calendários, as regras, as notas da padaria, os endereços das casas...”

7. Sistema de Numeração Como as crianças de aproximam do conhecimento do sistema de numeração? O que é essencial para nós professores contribuirmos com a construção deste conhecimento?

8. Metodologia de Pesquisa 1ª) Uma variante do jogo de batalha. Utilizaram um baralho de vinte cartas com números compreendidos entre o 5 e o 31 e com um único desenho na carta. Após cada rodada, solicitavam que as crianças relatassem as decisões tomadas durante o jogo.

9. Metodologia de Pesquisa 2ª) Situação problema. Enunciado: “Pensem em um número muito alto e escrevam-no”. Através da troca entre pares e no grande grupo os alunos analisavam quem havia escrito o maior número. Ocasionando um espécie de ditado de quantidades, com a finalidade de debater as escritas produzidas.

10. Quantidade de algarismos e magnitude do número Para as crianças entrevistadas (Ed. Infantil/ 1º ano E.F.) a hipótese que prevaleceu: “Quanto maior a quantidade de algarismos de um número, maior é o número”. Por exemplo: Pablo (6 anos) afirma que 112 é maior que 89 – “Porque tem mais números”. Depois: “Não, é maior este (89), porque 8 mais 9 é 17, então é mais”.

11. Quantidade de algarismos e magnitude do número Em relação a fala de Pablo: “A generalização está longe de ser imediata”.

12. A posição dos algarismos com critério de comparação Para as crianças entrevistadas (Ed. Infantil/ 1º ano E.F.) a hipótese que prevaleceu: “O primeiro é quem manda”. Por exemplo: Lucila (5 anos) afirma que 21 é maior que 12 – “ Porque o um (no 12) é primeiro e o dois é depois; porque (no 21) o dois é primeiro e o um é depois”.

13. A posição dos algarismos com critério de comparação Em relação a fala de Lucila: “O critério de comparação baseado na posição dos algarismos está longe de construir-se de uma vez só e para sempre, já que na sua generalização também requer a superação de alguns obstáculos”.

14. A posição dos algarismos com critério de comparação As crianças entrevistadas ainda não descobriram as regras do sistema (o agrupamento usando o recurso de base 10), porém isto não lhes impede, em absoluto, de elaborar hipóteses referentes às conseqüências dessa regra – a vinculação entre a quantidade de algarismos ou sua posição e o valor do número - e utilizá-las como critérios válidos de comparação de números.

15. A posição dos algarismos com critério de comparação Observe este exemplo, a partir da fala de Guillermo (seis anos): “Olha, primeiro vem o dez e segundo pulas dez, dez, dez, assim, não? Então se conta, dez, vinte, trinta, tiramos cinco e fica vinte e cinco e ali (31) no trinta colocamos um, e fica trinta e um”.

16. A posição dos algarismos com critério de comparação Guillermo ainda não tinha ouvido falar de “dezenas”, porém ele sabe que o primeiro algarismo refere-se a alguma coisa na ordem dos “vinte”, “trinta” ou “quarenta”. Sendo assim: Aprender o conceito de dezena ajuda realmente a conhecer os números? Ou é o conhecimento dos números – de sua escrita - que ajuda a compreender o conceito de dezena?

17. Alguns números especiais: o papel dos “nós” “- Como é mil e quinhentos? (pesquisador) - 1000500 (Nádia, 6 anos)” Outros: Escrevem quatrocentos como 104, trezentos como 103, seiscentos como 106. Essas crianças pensam que a escrita dos outros “nós” das centenas conserva características da escrita de 100.

18. O papel da numeração falada As crianças elaboram conceitualizações a respeito da escrita dos números, baseando-se nas informações que extraem da numeração falada e em seu conhecimento da escrita convencional dos “nós”.

19. O papel da numeração falada Na numeração falada, a justaposição de palavras supõe sempre uma operação aritmética: => operação de multiplicação (cinco mil, 5 x 1000) => operação de adição (mil e cinco, 1000 + 5) A conjunção “e” na lingüística representa adição.

20. O papel da numeração falada A numeração escrita é ao mesmo tempo mais regular, mas mais hermética que a numeração falada. Além do mais, as potências de base não são representadas através de símbolos particulares, mas só podem ser deduzidas a partir da posição que ocupam os algarismos.

21. Do conflito à notação convencional Em alguns casos, as pesquisadoras observaram que as escritas que correspondem à numeração falada entram em contradição com as hipóteses vinculadas à quantidade de algarismos das notações numéricas. Tomar consciência deste conflito e elaborar ferramentas para superá-lo parecem ser passos necessários para progredir até a notação convencional.

22. Relações entre o que as crianças sabem e a organização posicional do sistema de numeração Um sistema posicional é ao mesmo tempo muito menos transparente e muito mais econômico que um sistema aditivo. Economia e transparências não são variáveis independentes: quanto mais econômico é um sistema de numeração, menos transparente se apresenta. Exemplo do sistema de numeração egípcio.

23. E por isso... É válido o esforço da escola por explicitar tudo aquilo que o sistema de numeração oculta?

24. Enfoque usualmente adotado para ensinar o sistema de numeração • Trabalhar passo a passo e com perfeição; • Administrar o conhecimento ministrando-o em cômodas quotas anuais; • Transmitir de uma vez só e para sempre o saber socialmente estabelecido.

25. Sistema numérico em sala de aula • Trabalhar a partir dos problemas inerentes à utilização do sistema numérico; • Correr o risco de desafiar as crianças com problemas cuja resolução ainda não lhes foi ensinada; • Aceitar a coexistência de diferentes conceitualizações a respeito do sistema;

26. Sistema numérico em sala de aula • Investir esforços para que a diversidade opere a favor do processo do grupo e de cada um de seus membros; • Valorizar a complexidade e a provisoriedade; • Incentivar a autonomia com os estudos do sistema numérico;

27. Eixos para organizar as situações didáticas • Operar • Ordenar • Produzir • Interpretar

28. Sugestões de atividades Realizar ditado de números. Ao realizar um ditado as pesquisadoras constatam que apenas um aluno obteve a resposta correta (635). Assim, sem identificar os autores de cada versão, pede argumentos a favor ou contra as diferentes escritas. 60053 653 610053 61053

29. Sugestões de atividades Estabelecer regularidades Descubram em que se assemelham e em que não se assemelham os números que estão entre o dois e os trinta e dois. Obs.: A partir do momento que é estabelecida uma regularidade, é possível questionar o seu significado.

30. Sugestões de atividades Resolvendo operações e confrontando procedimentos A simples operação de somar 50 + 70, originou 3 procedimentos: 70 + 10 = 80 50 + 50 = 100 70 + 50 = 120 80 + 10 = 90 100 + 50 = 150 90 + 10 = 100 100+ 10= 110 110+ 10= 120

31. Sugestões de atividades Refletindo acerca das operações e descobrindo “leis” Os empregados de uma biblioteca anotaram a quantidade de livros:

32. Sugestões de atividades Utilizar o recurso da calculadora Ditar um determinado número, por exemplo, 8537 e se perguntou que ordem teria que se dar para que o resultado fosse 8500.

33. Considerações Não precisamos categorizar uma atividade como “tradicional” ou “ inovadora”, mas o que importa é que a proposta de trabalho contemple diferentes procedimentos, admita diferentes respostas, gere aprendizagem em todos os alunos, favoreça o debate e a circulação de informação, garanta a interação com a numeração escrita, propicie uma crescente autonomia e aproxime o uso escolar ao uso social da notação numérica.