1. Qualitative Response Model

2. 被説明変数がダミー変数の回帰 • 例）MROZ.RAW • 女性労働 • inlf 女性が外で働いていれば1，そうでなければ0 • inlf=f(家計所得，教育年数，年齢，子育て費用） • 推定方法 • 線型確率モデル(linear probability model) • プロビットモデル　probit model • ロジットモデル　logit model

3. 線型確率モデル 非説明変数 y は1または0の値をとるダミー変数 線型モデルをそのまま当てはめる y 1 当てはめられた直線 yの予測値（当てはめられた直線）は，説明変数が特定の値をとるときに，yが1となる確率を表すと解釈することができる 係数bはxの増加がyが1となる確率をどのくらい増加させるかを表す 0 x

4. 線型確率モデルの問題点 • yの予測値が0と1の間に収まらない • Pr(y=1|x)のもっと良い定式化は? • Pr(y=1|x)=F(b’x) • F( ) に確率分布関数を当てはめるとこの問題は回避できる • 分散不均一性の問題

5. 分布関数の当てはめ

6. probit model, logit model 次のようなモデルを想定　F( )は確率分布関数 Probit model  標準正規分布 Logit model logisitic分布 ただし，y*=b’x+u

7. 係数の意味probit model, logit model f( )は確率密度関数, y*=b’x+u probit modelやlogit modelでの係数の解釈 yの期待値に与える影響を正確に求めるためには，f(y*)の計算が必要 x1,x2,..,xkの水準に依存 （他の説明変数がとる値によっても異なる）

8. Probit model, logit modelの考え方 ここでyは観察される変数であるが，y*は観察不可能な変数であるとする。また，誤差項はある確率分布にしたがう。 例）　女性の労働参加を決定するある観察不可能な変数がある（y*）。 観察不可能な変数y*は，説明変数xの線型関数+誤差項で決定される。 y*がある閾値(critical value)を超えると女性は労働に参加する(y=1)。 しかし，y*が閾値を越えなければ女性は労働に参加しない(y=0)

9. Probit model, logit modelの考え方(続き） 最後の等式は，確率密度関数がx=0に関して対称的な場合に成立 標準正規分布, ロジスティック分布では成立

11. 線形確率モデル

12. probit, logitモデルの推定 menu から Quick  Estimate equation を選択して，次の画面のEstimation settings　で method にBINARY を選択する。 specificationに Binary estimation method というoptionが表れるので，Probitまたは　Logitを選択する

13. probit model の推計結果 Dependent Variable: INLF Method: ML - Binary Probit (Quadratic hill climbing) Variable Coefficient Std. Error z-Statistic Prob.   ------------------------------------------------------------------------ C 0.270077 0.508593 0.531027 0.5954 NWIFEINC -0.012024 0.004840 -2.484327 0.0130 EDUC 0.130905 0.025254 5.183485 0.0000 EXPER 0.123348 0.018716 6.590348 0.0000 EXPERSQ -0.001887 0.000600 -3.145205 0.0017 AGE -0.052853 0.008477 -6.234656 0.0000 KIDSLT6 -0.868329 0.118522 -7.326288 0.0000 KIDSGE6 0.036005 0.043477 0.828142 0.4076 ----------------------------------------------------------------------- McFadden R-squared 0.220581     Mean dependent var 0.568393 S.D. dependent var 0.495630     S.E. of regression 0.425945 Akaike info criterion 1.087124     Sum squared resid135.1646 Schwarz criterion 1.136251     Log likelihood -401.3022 Hannan-Quinn criter. 1.106050     Deviance 802.6044 Restr. deviance 1029.746     Restr. log likelihood -514.8732 LR statistic 227.1420     Avg. log likelihood -0.532938 Prob(LR statistic) 0.000000 Obs with Dep=0 325      Total obs 753 Obs with Dep=1 428

14. 推計結果の比較

15. 最尤法による推定 尤度関数 likelihood function probit model, logit model　：F()を特定化し，最尤法でパラメータを決める

16. 係数の意味　: marginal effectprobit model, logit model f( )は確率密度関数, y*=b’x+u logit modelの場合 probit modelの場合　 f(y*)=f(y*)　標準正規分布の密度関数

17. 係数の意味：marginal effect (2) probit model, logit model の係数の比は，marginal effect の相対的な比率を表す

18. marginal effectの求め方　　 probit分析の結果を開いたまま， View/ Representation とたどり， そこの結果を張り付けると便利 Eviewsのコマンドウィンドウで次のようにタイプ 説明 直前の回帰の係数@coefsをprob_bというベクトルに代入 説明変数が平均値をとる場合のy*を計算し，yhatというスカラー変数に代入 Yhatの値での標準正規分布の密度関数の値を計算し，それをdnorm_yというスカラー変数に代入 Marginal effectsの結果を代入するベクトルをdydxとする（要素数は8個） 各要素に，それぞれの説明変数の限界効果を代入 この例では，expersqというexperの平方の項があるため，dydx(4)の計算は他とは異なっている vector prob_b = @coefs scalar yhat = prob_b(1)* 1 + prob_b(2) *@mean(nwifeinc) + prob_b(3)* @mean(educ) + prob_b(4)* @mean(exper) + prob_b(5) * ( @mean(exper ) )^2 + prob_b(6) * @mean(age) + prob_b(7) *@mean(kidslt6) + prob_b(8) * @mean(kidsge6) scalar dnorm_y = @dnorm(yhat) vector (8) dydx dydx(2) = dnorm_y * prob_b(2) dydx(3) = dnorm_y * prob_b(3) dydx(4) = dnorm_y * ( prob_b(4) + 2 * prob_b(5) * @mean(exper) ) dydx(6) = dnorm_y * prob_b(6) dydx(7) = dnorm_y * prob_b(7) dydx(8) = dnorm_y * prob_b(8)

19. marginal effect の求め方　Excelを用いた方法 説明変数の平均値をここにコピーする marginal effects 係数の値 この列はB列とC列の掛け算 上のセルの合計 関数を使ってy*における密度関数の値を得る

20. 問題(1) • MROZ.RAWのデータを用い，女性の労働参加を，線型確率モデルとlogit model, probit model で推計し，係数を解釈せよ。 • 被説明変数：　inlf　労働力であれば1 • 説明変数： nwifeinc( non wife income), educ(教育年数），exper(実際に働いた年数），expersq=exper^2, age（年齢），kidslt6（6歳未満の子供の数）, kidsge6（6-18歳の子供の数）

21. Tobit model • 耐久財の購入量(y)の決定 • 購入しない人(y=0)が存在 • y>0 と y=0 のみが観察される • この場合も次のようなモデルを考える • y* 観察不可能な変数で，耐久財の購入量(y)を決定する潜在変数

22. Tobit model の当てはめ y OLSの当てはめ x y*とxの関係 Tobit model

23. Tobit modelの応用 • 女性の労働供給 • MROZ.RAW • 労働参加していない女性が一定割合存在 • 耐久財の購入 • 低賃金労働者の労働供給 • 生活保護の受給との関係で

24. Tobit model の解釈

25. Tobit model の解釈(2) ここで，z~N(0,1)のとき，次の式が成り立つことを用いている inverse Mills ratio y>0の条件付きの期待値は，xbよりも大きくなることが重要

26. Tobit modelの解釈 (3) yの unconditional expected value 説明変数xが与えられた場合のｙの期待値 y>0の条件付き期待値は前頁

27. Tobitモデルの解釈(4) 結果だけまとめておく

28. Tobitの推定方法 誤差項の分布を選択（Tobitは正規分布） menuで　Quick  Estimate equation Estimation settingsのmethodで　CENSORED - .. を選択する 打ち切りの位置を指定する。0以外の値も，右側の指定もできる。

29. E-ViewsでのTobit modelの推定 sの推計値

30. Tobit model とOLSの比較 E-Viewsでの出力 Tobitの場合，xjの1単位の増加yの期待値に与える影響をみるためには，x’b/s を計算し，標準正規分布関数からその涙液分布を計算する必要あり。単純に比較できない

31. 問題(2) • MROZ.RAW • 女性の労働時間の回帰分析 • 40%強が労働時間0 • 被説明変数：hours • 説明変数：nwifeinc, educ, exper, exper^2, age, kidslt6,kidsge6 • OLSとTobit model で推計し，結果を解釈せよ