Provadores Automáticos de Teoremas

1. Provadores Automáticos de Teoremas Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas Everton Marquesegm2@cin.ufpe.br

2. Agenda • Introdução • Provadores automáticos de teoremas: fundamentos teóricos • Estado da arte: Provadores automáticos de teoremas em lógica de primeira ordem • Estado da arte: Outros tipos de provadores • Conclusões

3. Introdução • As pesquisas direcionadas à área de teoria da prova estudam os conceitos de provas formais e os fundamentos relacionados • Provas formais podem ser classificadas como: • Prova dirigida por humanos • Prova automatizada • O uso de provadores é bastante difundido na área de construção de provas formais • Diversas lógicas • Lógica de primeira ordem • Lógica clássica proposicional • ...

4. Introdução • Utilização de diversos métodos • Resolução • Tableaux • Anéis booleanos • Dedução Natural • ... • Provador automática de teoremas: um programa computacional que mostra se a conjectura apresentada é uma conseqüência lógica de um conjunto de sentenças (os axiomas e hipóteses) • Linguagem formal sem ambigüidades • Sentença produzida: prova

5. Provadores automáticos de teoremas: fundamentos teóricos • Herbrand: desenvolveu a base dos provadores automáticos de teoremas em 1930. • Seu método era impraticável de se aplicar até a invenção do computador digital. • Só após o artigo de Robinson em 1965, junto com o desenvolvimento do princípio da resolução, foi possível o desenvolvimento dos provadores.

6. Fundamentos teóricos: Teorema de Herbrand • Por definição, uma fórmula válida é uma fórmula que é verdade sobre todas as interpretações. • Herbrand desenvolveu um algoritmo para encontrar uma interpretação que pode falsificar uma dada fórmula. • Se a dada fórmula mantém-se válida, não pode existir nenhuma interpretação e seu algoritmo irá parar depois de um número finito de tentativas. • Desta forma, ao invés de provar se uma fórmula é válida, o algoritmo de Herbrand prova que a negação da fórmula é inconsistente

7. Fundamentos teóricos: Teorema de Herbrand • Com base no teorema de Herbrand, Gilmore foi um dos primeiros a implementar o procedimento de Herbrand em um computador. • Seu programa foi desenvolvido para detectar a inconsistência da fórmula dada, mas encontrou dificuldades com fórmulas não simples. • Estudos do seu programa revelaram que o seu método era ineficiente. O seu método foi melhorado por Davis e Putnam (1960). • O procedimento de prova por resolução é muito mais eficiente que os outros métodos anteriores.

8. Estado da arte: Provadores em lógica de primeira ordem • CADE – Conference on Automated Deduction • Principal fórum internacional para a apresentação de pesquisas em todos os aspectos da dedução automática. • 1ª vez em 1974. Era bienal até 1996, após anual • Em 2001 uniu-se a outras conferências e virou International Joint Conference on Automated Reasoning • CASC – CADE ATP System Competition • Foi criada para estimular a pesquisa e desenvolvimento de sistemas na área dos provadores • Foi criada também para expor sistemas de provas para a comunidade dos provadores e para fora dela

9. Estado da arte: Provadores em lógica de primeira ordem • Avalia o desempenho dos provadores em termos de: • Número de problemas resolvidos com ou sem solução de sáida • Média de tempo de execução dos problemas resolvidos • No contexto de: • Um número limitado de problemas qualificados, escolhidos da “TPTP Problem Library” • um determinado tempo limite para cada tentativa de solução • A CASC divide-se em classes e na última edição foram 6: • FOF – axiomática FOF com uma conjectura provável • CNF – conjunto de cláusulas insatisfatíveis • FNT – axiomas FOF com conjecturas que não podem ser provadas • SAT – conjunto de cláusulas satisfatíveis • EPR – conjunto de cláusulas finitas • UEQ – cláusulas de unidade equitativas insatisfatíveis

10. Estado da arte: Vampire • Baseado na CASC é possível falar dos melhores provadores em lógica de primeira ordem: • Vampire • Desenvolvido na universidade Uppsala pelo PhD Andrei Voronkov e pelo doutor Alexandre Riazanov • Utiliza métodos de resolução e paramodulação para encontrar bons resultados de prova • Ganhou muitos prêmios na CASC, e na última competição, a versão 8.1 venceu a divisão CNF e a versão 9.0 venceu a divisão FOF

11. Estado da arte: Paradox • Paradox • Desenvolvido na Chalmers University of Technology por Koen Lindström Claessen e Niklas Sörensson • É um provador baseado no método MACE • O método MACE basicamente transforma o conjunto de cláusulas e um domínio em um conjunto de cláusulas em lógica proposicional através da introdução de variáveis proposicionais • Venceu a classe SAT do CASC de 2003 até 2006 • Em 2007 venceu tanto a classe SAT quanto a FNT • Foi desenvolvido na linguagem Haskell e é um software livre

12. Estado da arte: Darwin • Darwin • O Darwin é a primeira implementação do cálculo de evolução de modelos • Possui algumas das técnicas mais eficazes de busca desenvolvidas pela comunidade SAT • A abordagem é semelhante a outros buscadores de modelos finitos como o Paradox, mas, em vez de transformar um problema em lógica proposicional, ele é convertido em lógica de primeira ordem livre de função. • A versão 1.3 venceu a classe EPR em 2006 e uma variante do Darwin conseguiu o terceiro lugar na classe SAT • No CASC-21 venceu a classe EPR

13. Estado da arte: WALDMEISTER • WALDMEISTER • Foi desenvolvido na University of Kaiserslautern por Buch e Hillenbrand e foi implementado em C • É um provador de teoremas para lógica equacional de primeira ordem • Tem como objetivo principal ser eficiente em todo o processo de busca da prova • É dividido em 3 níveis lógicos: nível mais alto corresponde à escolha dos parâmetros redução ordenada e heurística de busca, nível intermediário corresponde à uma máquina de inferência e o nível mais baixo fornece algoritmos e estruturas de dados para a execução das operações básicas • Vem vencendo a classe UEQ do CASC desde 1997 e a sua última versão é a WALDMEISTER 806

14. Estado da arte: E-SETHEO • E-SETHEO • É um provador composicional com estratégia paralela. • Combina uma variedade de provadores de alto desempenho e procedimentos de decisão especializados • Deixa diferentes procedimentos de busca de provas competirem por recursos para resolver um determinado problema • Seu sucesso é parcialmente explicado pelo uso de estratégias paralelas e pela fácil adaptação a um determinado domínio exigido. • Outra importante razão é o uso de excelentes máquinas de inferência para as diferentes estratégias. • Usa estratégias de cooperação baseadas no lema de intercâmbio entre os diferentes sistemas • Venceu o CASC-17 nas classes MIX e SEM. Já no CASC-JC venceu nas classes FOF, MIX e EPR.

15. Estado da arte: Outros tipos de provadores • Um Provador Automático de Teoremas para a Lógica Modal, Baseado em Anéis Booleanos • Desenvolvido no IME-SP por Fabio Campos Tisovec • Tem como objetivo principal ser um provador com um bom grau de eficiência na prova de problemas SAT • Usa a teoria de anéis booleanos para apoiar a resolução de problemas de satisfatibilidade • Basicamente pega a expressão trabalhada e subdividi-a em inúmeras mini-expressões, compara-as duas a duas, e verifica a existência de contradições entre elas. Caso encontre contradição, sabe-se que a expressão não é válida, caso contrário ela é aceita • Possui uma estrutura dividida em módulos • A linguagem de programação utilizada foi a C++

16. Estado da arte: Outros tipos de provadores • Kems – Um provador de teoremas multi-estratégia • Foi desenvolvido na USP como tese de doutorado de Adolfo Neto. • É um provador multi-estratégia baseado no método de tableaux KE. • É capaz de provar teoremas em três sistemas lógicos: lógica clássica proposicional, mbC e mCi • Pode ser utilizado com 3 objetivos: educacional, exploratório e adaptativo • Possui uma arquitetura modularizada

17. Estado da arte: Outros tipos de provadores • Dada a entrada, retorna uma prova de saída que contêm: • O status do tableau • A árvore tableau de prova • O tamanho do problema • O tempo gasto para construir a prova • O tamanho da prova • A versão atual é implementada em Java 1.5 e na linguagem AspectJ • Foi avaliado com várias instâncias de famílias de problemas e nenhuma configuração do KEMS obteve resultados incorretos.

18. Estado da arte: Outros tipos de provadores

19. Estado da arte: Outros tipos de provadores • Isabelle • Desenvolvido pela “University of Cambridge” (PhD Larry Paulson) e “Technical University of Munich” (PhD Tobias Nipkow) • A principal aplicação é a formalização de provas matemáticas e em particular verificação formal, incluindo provar propriedades de protocolos e linguagens computacionais • Boa interface visual para o usuário • Ampla documentação, incluindo um tutorial de como usar o sistema • Várias interfaces com outros sistemas • Vem com uma grande biblioteca teórica de matemáticas • Foi utilizado para formalizar muitos teoremas da matemática e da ciência da computação, como o teorema da completude de Gödel • É um software livre

20. Estado da arte: Outros tipos de provadores

21. Estado da arte: Outros tipos de provadores • Ergo • Começou o seu desenvolvimento em 2006 na Universidade de Paris • É um provador dedicado a verificação de programas • É baseado no CC(X), um algoritmo de conclusão de congruência e no cálculo de seqüentes • É implementado em Qu-Prolog • Sua arquitetura é modular • É um software livre • ARA • É um provador para vários tipos de relações algébricas • Pode provar muitos teoremas em diversas álgebras • Foi implementado em Haskell

22. Estado da arte: Outros tipos de provadores • PLLIC - Provador para as Lógicas Linear, Intuicionista e Clássica • Foi desenvolvido no ano de 2006 na universidade UFMG • Foi desenvolvido com a linguagem de programação Java e λ-Prolog • Analisa quando seqüentes do tipo Γ├ L Δ tem resposta: sim ou não, e caso positivo exibe a prova • Trabalha com 3 tipos de lógica: linear, intuicionista e clássica • É acessado via web e é em português • Possui tutoriais, exemplos e fundamentação teórica também em português • É fácil de usar e possui uma interface com o usuário agradável • Tem como objetivo principal ser uma ferramenta de fácil manuseio, podendo ser acessado remotamente para o ensino de lógica em cursos de graduação

23. Estado da arte: Outros tipos de provadores ~((~ A)/\(~B)) |- A\/B A |- ~(~A)  - Dupla negação

24. Conclusões • Considerações finais • Embasamento teórico • Estado da arte dos provadores • Estudo de muitos provadores • Dificuldades Encontradas • Escolha de escopo • Dificuldade em encontrar bibliografia • Dificuldade na execução dos programas

25. Conclusões • Trabalhos Futuros • Implementar um provador automático de teorema • Uma tese de mestrado na área • Desenvolver um provador para competir na CASC

26. Referências • MARQUES, Everton. Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas. Trabalho de Graduação, Bacharelado em Ciência da Computação, Universidade Federal de Pernambuco. 2008.

27. Provadores Automáticos de Teoremas Estudo e estado da arte dos provadores automáticos de teoremas Everton Marquesegm2@cin.ufpe.br