Prof: José Eustáquio Rangel de Queiroz

1. Prof:José Eustáquio Rangel de Queiroz Processamento Digital de Imagens Módulo III Processamento no Domínio da Freqüência Carga Horária:60 horas

2. Roteiro 7 Processamento no Domínio da Freqüência • Introdução • Séries de Fourier • Transformada de Fourier • Filtragem no Domínio da Freqüência

3. Função e Transformada • Função • Regra para a obtenção de um resultado y sendo dada alguma entrada x • Transformada • Regra para a obtenção de uma funçãoF a partir de outra f • Explicitação de propriedades relevantes de f • Representação mais compacta de f

4. Função Periódica f(t) f(t1) t1 t1+P t P • Definição • f(t) é periódica se existir P tal que f(t+P) = f(t) • Período de uma função  Menor constante P que satisfaz a condição f(t+P) = f(t)

5. Atributos de uma Função Periódica I • Amplitude (A) • Valor máximo de f(t) em qualquer período • Período (P) • Intervalo de tempo no qual a função assume todos os valores possíveis e volta a se repetir

6. Atributos de uma Função Periódica II • Freqüência (1/P) • Número de repetições da função na unidade de tempo (1 ciclo/s = 1 Hertz) • Fase () • Posição da função dentro de um período

7. Atributos de uma Função Periódica III f(t)   A t1+P t1 t P • Representação gráfica

8. Jean Baptiste Joseph Fourier • 21/03/1768  Auxerre, França 1807  On the Propagation of Heat in Solid Bodies (Séries de Fourier) 16/05/1830  Paris

9. Analogia Físico-Matemática • Prisma x Transformada de Fourier Função no domínio espacial f(x) Luz branca decomposta em diferentes  F(M-1) Feixe de luz branca  F(2) F(1) F(0) Função decomposta em diferentes  Transformada de Fourier

10. Tempo e Freqüência I • Exemplo 01 I • h(t) = sen(2ft) +1/3sen(6ft) f(t) g(t) h(t) f(t) h(t)= f(t) +g(t) 1 g(t) 1/3 t 1/3 P P

11. Tempo e Freqüência II F(f) 1 1/3 0 f 2f 3f f • Exemplo 01 - Aproximação com 2 harmônicos ímpares • f(t) = sen(2ft) +1/3sen(6ft) g(t) h(t)

12. Tempo e Freqüência III • Exemplo 02 - Aproximação com 6 harmônicos

13. Tempo e Freqüência IV A Forma de Onda Amplitude Espectro Freqüência • Forma de Onda  Valor instantâneo em função do tempo • Espectro  Amplitude em função da freqüência

14. Tempo e Freqüência V • Forma da função distante de uma forma de onda regular • Expansão de Fourier incluirá um número infinito de componentes de freqüência

15. Domínio da Freqüência • Espectro do domínio da freqüência  Faixa de freqüências • Largura de faixa do domínio da freqüência  Largura do espectro • Componente DC  Componente de freqüência zero • Componentes AC  Todas as demais componentes

16. Séries de Fourier I • Séries de Fourier • Séries trigonométricas infinitas formadas por senos e/ou co-senos • Seja a expressão

17. Séries de Fourier II • Séries de Fourier • No conjunto de pontos nos quais a expressão converge  Definição de uma função f, cujos valores em cada x é a soma da série para aquele valor de x • Série de Fourier de f

18. Séries de Fourier III • Periodicidade das funções seno e co-seno I • Função periódica com período T > 0 • Domínio de fcontém (x+T) sempre que contiver x e T Período fundamental • Se T é um período de f 2T também o é, como qualquer múltiplo inteiro de T

19. Séries de Fourier IV • Periodicidade das funções seno e co-seno II • Em particular, sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ..., são periódicas com período fundamental T = 2L/m

20. Séries de Fourier V • Ortogonalidade das funções seno e co-seno II • Duas funções u e v são ditas ortogonais em  ≤ x ≤  se seu produto interno é nulo, i.e., se

21. Séries de Fourier VI • Ortogonalidade das funções seno e co-seno III • sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L. • Seja u(x) = v(x) = sen [(mx)/T] então:

22. Séries de Fourier VII • Ortogonalidade das funções seno e co-seno IV • sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L. • Seja u(x) = v(x) = cos [(mx)/T] então:

23. Séries de Fourier VIII • Ortogonalidade das funções seno e co-seno V • sen [(mx)/T] e cos [(mx)/T], m = 1, 2, ...,formam um conjunto ortogonal de funções no intervalo -L ≤ x ≤ L. • Seja u(x) = sen [(mx)/T] e v(x) = cos [(mx)/T] então:

24. Séries de Fourier IX • Supondo que uma série da forma converge e • Considerando as propriedades de ortogonalidade apresentadas, conclui-se que: e

25. Séries de Fourier X • Funções Pares e Impares • f é uma função par se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f(x) = f(-x) para cada x do domínio de f. • Analogamente, f é uma função ímpar se seu domínio contém o ponto -x sempre que contiver o ponto x e se f(-x) = -f(x) para cada x do domínio de f.

26. Séries de Fourier XI • Propriedades Elementares I • A soma/diferença e o produto/ quociente de duas funções pares é par. • A soma/diferença de duas funções ímpares é ímpar, enquanto o produto/quociente de duas funções ímpares é par. • A soma/diferença de uma função par e uma função ímparnão é par nem ímpar, enquanto o produto/quociente é ímpar .

27. Séries de Fourier XII • Propriedades Elementares II • Se f é uma função par, então • Se f é uma função ímpar, então

28. Séries de Fourier XIII • Propriedades Elementares III • Como conseqüência das Propriedades 4 e 5, os coeficientes de Fourier de f no caso do co-seno (par) são dados por e

29. Séries de Fourier XIV • Propriedades Elementares IV • Analogamente, os coeficientes de Fourier de f no caso do seno (ímpar) são dados por e Então, a série de Fourier será dada por

30. Séries de Fourier XV • Propriedades Elementares V • Analogamente, os coeficientes de Fourier de f no caso do seno (ímpar) são dados por e Então, a série de Fourier será dada por

31. Transformada de Fourier I • Fato • Possibilidade de representação de qualquer sinal periódico como uma soma de ondas senoidais e cossenoidais com freqüências harmônicas • Se a freqüência fundamental de uma função for f Harmônicas serão funções com freqüências nf (ninteiro)

32. Transformada de Fourier II   e it = cos t + isen t Im i wt Re 1 • Fórmula de Euler I Vetor Rotativo (Fasor) eiwt é periódico |eiwt| = 1 Freqüências negativas: Rotação na direção oposta

33. Transformada de Fourier III Ak cos k t + sen k t Bk  ½ cos t = (eiwt + e-iwt) Ak Ak eikwt e-ikwt = + 2 2  -½ sen t = (eiwt - e-iwt) Bk Bk eikwt e-ikwt - + ½ Ck eikwt C-k e-ikwt + = (Ak - iBk), k>0 Ck = 2 2 ½ = (A|k| - iB|k|), k<0 Ck • Fórmula de Euler II

34. Transformada de Fourier IV 1 ¥ ò f ( t ) = F (  ) [cos  t + isen  t ] d 2 p - ¥ e it = cos  t + isen  t 1 ¥ ò f ( t ) = F (  ) e it d 2 p - ¥ • Possibilidade de representação funções não periódicas como somatórios de funções senoidais e cossenoidais de (possivelmente) todas as freqüências

35. Transformada de Fourier V Á [ f ( t ) ] 1 ¥ ¥ = F (  ) = f ( t ) e -it dt ò ò f ( t ) = F (  ) e it d 2 p - - ¥ ¥ • F()Espectro da função f(x) • Distribuição de freqüências presentes na função • Computação a partir def(x)mediante a Transformada deFourier

36. Transformada de Fourier VI 1,5 f(x) 1,3 1,1 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 -0,1 x -0,3 -0,5 1/2 Á ò [ f ( t ) ] = 1 e -it dt = = F (  ) = f ( t ) e -it dt - 1/2 p sen f -1 = = -i/2 i/2 (e - e ) p iw f w ¥ ò f = p 2 - ¥ • Exemplo 02 I – Função box 1 1, x £ 2 f ( x ) = 1 0, x > 2

37. Transformada de Fourier VII F() 1,5 1,3 = sinc f 1,1 0,9 0,7 0,5 0,3 0,1 -6 -4 -2 2 4 6 -0,1  -0,3 p sen f -0,5 w F ( ) = p f • Exemplo 02 I – Função box

38. Transformada de Fourier VIII 1,5 f(x) 1,3 1, x = 0 ì 1,1 ï 0,9 f ( x ) = p 0,7 í sen f 0,5 , x ≠ 0 ï 0,3 p î f 0,1 -0,1 x -0,3 -0,5 p ( ) ¥ ò sen f w F() 1,5 F (  ) = e -it d f = p 1,3 f p 2 1,1 - ¥ 0,9 0,7 1 1, x £ 0,5 0,3 2 f ( x ) = 0,1 1 0, x >  -0,1 2 -0,3 -0,5 • Exemplo 03 – Função sinc

39. Transformada de Fourier IX • Exemplo 04 – Função coswx F() f(x)  1 0 x -1 1  -1 Se f(x) for par F() também será par

40. Transformada de Fourier X F() f(x)  1 -1 0 x 1  -1 - • Exemplo 04 – Função senwx Se f(x) for ímpar F() também será ímpar

41. Transformada de Fourier XI f(x) k 0 x • Exemplo 05 – Função constante F() 2k 0  Função  na origem Se f(x) for constante F() só conterá a componente de freqüência 0

42. Transformada de Fourier XII f(x) F() 1/2 1 0 x 0  • Exemplo 06 – Função impulso unitário A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamente a mesma  O conhecimento de uma direção conduz à outra

43. Transformada de Fourier XIII g(x) f(x) 1 1 -4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T x 0 x • Exemplo 07 I – Função comb A função comb é uma seqüência infinita de impulsos d uniformemente distribuídos no tempo (ou espaço)

44. Transformada de Fourier XIV f(x) 1 -4T -3T -2T -T 0 T 2T 3T 4T x F() ∞ ∑ ∑ ∑ ∑ Á( 2 (- 2n/T) 2/T (x)) = comb comb comb comb T T T T ∞ ∞ ∞ ∞ n = n = - - n = n = - - Á( (x)) =2/Tcomb2/T () comb comb comb comb T T T T  - 2/ T 0 2/T • Exemplo 07 II – Função comb A transformada de Fourier de uma função comb é também uma função comb

45. Transformada de Fourier XV 2 x - 1 2 e 2 p • Exemplo 08 – Função gaussiana f(x) F() 0,18 0,18 0,13 0,13 0,08 0,08 0,03 0,03 0 x 0  -0,02 -0,02 A transformada de Fourier e sua inversa são qualitativamente a mesma  O conhecimento de uma direção conduz à outra

46. Transformada de Fourier XVI • Propriedades Qualitativas • Espectro de uma função  Quantidade relativa de altas e baixas freqüências • Aguçamento de bordas  Realce de freqüências altas • Suavização de regiões  Realce de freqüências baixas • Função limitada em faixaEspectro sem freqüências acima de um limite máximo • Exemplos  Funções seno e cosseno • Contra-exemplos  Funções box e gaussiana

47. Transformada de Fourier XVII • Imagens  Funções 2D discretas • Transformada de Fourier 2D  Uso do produto de senos e cossenos • Transformada de Fourier de uma imagem discreta  Possibilidade de armazenamento no mesmo espaço de armazenamento da imagem • Algoritmo Numérico  Computação de transformadas discretas a partir da Transformada Rápida de Fourier (FFT)

48. Transformada Contínua de Fourier I ¥ iwx -2 p ò Á w F ( ) = f(x)e dx = ( f ( x )) x = -¥ ¥ iwx 2 p - 1 ò F(w)e dw Á w f ( x ) = = ( F ( )) u = -¥ • Transformada Contínua 1D Transformada 1D Transformada Inversa 1D

49. Transformada Contínua de Fourier II ¥ ¥ i(wx+y) -2 p ò ò Á w, F ( ) = f(x,y)e dxdy = ( f ( x,y )) -¥ -¥ ¥ ¥ - 1 i(wx+y) 2 p ò ò Á w, F ( )e f ( x,y ) = dwd w, ( F ( )) = -¥ -¥ • Transformada Contínua 2D Transformada 2D Transformada Inversa 2D

50. Transformada Discreta de Fourier I • Sinais Discretos Função discreta f : { f(0), f(1), f(2), … , f(N-1) }