Instabilité modulationnelle dans l’Equation de Schrödinger Non Linénaire (NLSE)

1. Les séminaires CEMPI Groupe NLSE Instabilitémodulationnelledansl’Equation de Schrödinger Non Linénaire (NLSE) Majid Taki Mardi 11 juin 2013

2. Notions élémentaires d’analyse de stabilité linéaire Avec Paramètre de contrôle Solution stationnaire et uniforme Relation de dispersion

3. Stabilité Marginale Pour fixé La solution stationnaire est stable si pout tout Elle est instables’il existe un avec La situation est marginale (stable) si

4. Contexte et position du problème • La structure de la fibre optique • Les pertes linéaires • Absorption des impuretés ( ). • La diffusion de Rayleigh. • La résonance IR. • …

5. La dispersion chromatique • Vitesse de phase: • Analytiquement pour prendre en compte les effets dispersifs on fait un DL de Taylor autour de la fréquence de central du paquet d’ondes : avec est reliée à la vitesse de groupe . la dispersion de vitesse de groupe (GVD). la pente de la dispersion de vitesse de groupe (TOD).

6. La dispersion de vitesse de groupe (GVD) Le coefficient de dispersion: b2>0, dispersion normale b2<0, dispersion anormale b2>0 b2<0 Basses l voyagent moins vite Hautes l voyagent moins vite Entrée Sortie Sortie

7. Les effets non linéaires • Dans les matériaux centro-symétriques (la silice), est nul en raison de la symétrie d’inversion au niveau moléculaire. • La contribution dominante de la polarisation non linéaire vient donc de la susceptibilité d'ordre trois . • L’effet Kerr Optique L’indice de réfraction non linéaire 2.6x10-20 m²/W dans la silice. avec L’effet Kerr optique est la réponse instantanée électronique des molécules de silice aux champs incidents. Il conduit à de nombreux phénomènes non-linéaires comme l’automodulation de phase, la modulation de phase croisés et le mélange à 4 ondes.

8. La diffusion Raman stimulée Processus inélastique • L'effet Raman dépend de la partie imaginaire de , elle est considérée comme la réponse des noyaux de la molécule de silice aux champs incidents, son temps de réponse est de l’ordre de 60-70 fs dans les fibres de silice. • Dans la silice, la bande des fréquences amplifiées s'étend jusqu'à 40 THz avec un maximum de gain à -13.2 THz.

9. L'équation non linéaire de Schrödinger généralisée (GNLSE) • L’équation de propagation des ondes sous formes vectorielle L’enveloppe lentement variable • L’équation de propagation de l’enveloppe lentement variable des impulsions dans la fibre optique La polarisation non linéaire doit être traitée comme une perturbation de la polarisation linéaire (les fibres optiques faiblement non linéaires). Le champ optique est supposé maintenir sa polarisation le long de l’axe de propagation de la fibre. Le champ électrique est quasi-monochromatique ( ), ce qui est vérifié pour des ondes continues ou pour des impulsions de durée inférieure à la picoseconde. La réponse non linéaire La dispersion

10. Réponse non linéaire de la fibre optique: La réponse non instantanée Raman.

11. Instabilité modulationnelle (MI) dans la fibre optique • La MI est interprétée physiquement comme un équilibre entre les effets non linéaires et la dispersion linéaire au cours de la propagation d’un champ optique. où • La solution stationnaire: • La stabilité de cette solution stationnaire est étudiée en la soumettant à des fluctuation de la forme perturbations avec • Le problème  linéarisé autour de la solution stationnaire est :

12. Instabilité linéaire standard Ici on fait un choix crucial : on prend u et v de la forme et représentent respectivement la pulsation et le nombre d’onde de la perturbation. Le problème linéarisé prend une forme plus simple : On cherche des solutions non nulles du problème linéarisé. La condition de solvabilité (ici simplement le déterminant non nul) nous donne la relation de dispersion suivante : L’instabilité est uniquement possible en régime de dispersion anormale: Gain spectral en puissance:

13. Le gain spectral en puissance dans la fibre optique Fréquences à gain maximum Signal bruitée à l’entrée Train d’impulsions à la sortie MI

16. Spectre expérimental MI NLSE

17. Rogue waves or freak waves Gigantic wall of water of about 30 m height Extremely rare But very dangerous !! More information….. Or a BBC report… http://www.youtube.com/watch?v=0aKy9xSUCN4&feature=related A Book

18. A quantitative measure for Rogue waves: AI=HRW / HS > 2 AI: Abnormality Index AI = 3 for The New Year Wave (registered on January 1, 95) 26 m high with a period of 12s !!!

20. Deterministic approach for Rogue Waves Can rogue waves be predicted within linear theories? No They appear from nowhere and disappear without a trace They have a very high amplitude Only a nonlinear approach can predict the occurrence of these giant waves Need of instability (Modulationnal Instability) Nonlinear compensation of linear effects (mostly dispersion)

21. Are oceanic rogue wavesAkhmedievBreathers ? • NLS model: FromModulationalinstability to AkhmedievBreather Akhmediev Breather: Rational solution of NLSE AI= 2.4 !!! N. Akhmediev, A. Ankiewicz, M. Taki,wavesthatappearfromnowhere and disppearwithout a trace, Phys. Lett. A 373, 675 (2009)

22. NLS model: FromModulationalinstability to AkhmedievBreather

23. Rogue wave management NLSE Usama Al Khwaja, and Majid Taki, Rogue waves management by externalpotentials soumis à Phys. Lett. A

24. Fromoceanic rogue waves to optical rogue waves Oceanic rogue waves Optical rogue waves Defined by: • Maxima/minima • Amplitude • Rarity Number of events Intensitybins (arb. units) Statistical Characterization Optical Intensity Time Oceanic rogue wave Optical rogue wave

25. Supercontinuum Fromoceanic rogue waves to optical rogue waves Oceanic rogue waves Optical rogue waves Defined by: • Maxima/minima • Amplitude • Rarity pulsed + High power laser Optical Intensity Time Oceanic rogue wave Optical rogue wave

26. Statistical approach for Rogue waves Sensitive dependence on initial conditions Incomplete information about the initial state random wave dynamics Gaussian statistics fails: P(H)~ exp(-H2 /HS2) A rogue wave of AI = 3 (H = 3 HS ) may occur once in 20 years !!!

27. Open Problems • Extreme sensitivity to noise and/or initial conditions • Asymmetry of Rogue waves (Léo et al. PRL 2013) • Non-Gaussian statistics. • Needs to go beyond NLS • An original approach that combines deterministic and statistical methods • Optical rogue waves can help understanding the mechanism of rogue waves formation

28. Optical Rogue waves Focus on optical rogue waves… care must be taken to establish a formal comparison Results published obtained with pulsed pumps Optical rogue waves generated with a continuous wave pump Optical rogue waves originates from convective instabilities Appearance/disappearance of optical rogue waves Mechanisms involved in the formation This work Comparison with the ocean difficult? Calm ocean???

29. Numericalsimulations Case of an absolute system (b3=0 and no Raman effect) Output depends on initial conditions Statistic different from the L shape 100 simulations with different initial conditions

30. Minimal Model Odd derivatives induce a drift Raman effect and the slope of the dispersion induce convective instabilities Generalization to all odd terms presents in the GNLSE GNLSE is a convective system Explain why Rogue waves are extremely sensitive to initial conditions Slope of the dispersion curve Raman effect All even dispersion orders (b3, b5, b7….) Self steepening

31. Numerical simulations : longitudinal evolution Supercontinuum formation from simulations standard event of previous simulations Spectral domain Dispersive waves Solitons

32. Experimental results : output spectrum Output spectrum Excellent agreement numerics/experiments A. Mussot, A. Kudlinski, M. Kolobov, E. Louvergneaux, M. Douay, M. Taki, Observation of extreme temporal events in CW-pumped supercontinuum, Optics Express 17, 17010 (2009)

33. Experiments Supercontinuum Experimental evidence of rogue events Continuous pumping

34. Experiments Supercontinuum Experimental evidence of rogue events Continuous pumping First approach : Statistics Probability Density Functions (PDFs): Log(PDF) Signature of rogue events

35. Experiments Supercontinuum Experimental evidence of rogue events Continuous pumping • The most powerful peak amplitudes are very much larger than 2 times the significant peak height (Hs) which is one of the feature of oceanic rogue waves. • Their probability is extremely low Probability Density Functions (PDFs): Log(PDF) Signature of rogue events

36. Numerics Experiments Supercontinuum Minimal model Continuous pumping Minimal model: Nonlinear Schrödinger Slope of the dispersioncurve Ramaneffect Probability Density Functions (PDFs): Log(PDF) Log(PDF) Excellent agreement + L-shape of PDFs

37. Numerics Experiments Supercontinuum Model Continuous pumping Minimal model: Nonlinear Schrödinger Slope of the dispersioncurve Ramaneffect Probability Density Functions (PDFs): PDF Log(PDF) Excellent agreement + L-shape of PDFs

38. Numerical simulations : comparison Convective system vs absolute system Drift (convection) important ingredient for generating rare and strong optical waves Same scale!!

39. Numerics Supercontinuum Mechanism of formation of rogue events Evolution of the highest intensity Optical rogue wave White dots track the most intense pulse Highest intensity tracking

40. Numerics Supercontinuum Mechanism of formation of rogue events Continuous pumping Spectrograms Rogue event (Rogue Soliton)  collision between two giantsolitons Very fast appearance and disappearance A. Mussot et al., Opt. Exp. 17, 17010 (2009) P. Peterson et al., Nonlinear Process Geophys. 10, 503 (2003). Soliton interaction as a possible model for extreme waves in shallow water N. Akhmediev et al., Phys. Lett. A 373, 2137 (2009). Collision of two Akmediev breathers M. Erkintalo et al., Opt. Lett. 35, 658 (2010). Giant dispersive waves generation through soliton collision

41. Numerics Supercontinuum Mechanism of formation of rogue events Continuous pumping Spectrograms Rogue event (Rogue Soliton)  collision between two giant solitons Very fast appearance and disappearance A. Mussot et al., Opt. Exp. 17, 17010 (2009) Very importance of asymmetric drift dynamics (b3 and Raman)

42. Numerics Supercontinuum Mechanism of formation of rogue events Continuous pumping Spectrograms

43. Merci de votre attention