WYKŁAD 3 I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 1. Zasady Dynamiki Newtona (I, II i III).

1. WYKŁAD 3 I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO 1. Zasady Dynamiki Newtona (I, II i III). 2. Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu. • Praca. • Moc. • Energia.

2. II. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ • Pojęcie bryły sztywnej. Rodzaje ruchów bryły sztywnej. • Moment siły. Moment bezwładności. Twierdzenie Steinera. • Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego. • Moment pędu. • Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego. • Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego. • Energia kinetyczna ruchu obrotowego. • Analogie pomiędzy ruchem prostoliniowym i obrotowym.

3. III. ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICE • Zasada zachowania pędu. • Zasada zachowania momentu pędu. • Zasada zachowania energii. IV. Druga młodość nadprzewodników – nadprzewodniki wysokotemperaturowe

4. I. DYNAMIKA PUNKTU MATERIALNEGO

5. Dynamika Zajmuje się warunkami i przyczynami ruchu ciał. Podstawę dynamiki stanowią trzy zasady podane przez Izaaka Newtona w 1687 r. Pierwsza zasada dynamiki (zasada bezwładności) Istnieje taki układ odniesienia, w którym jeżeli na ciało nie działa żadna siła, lub siły działające na to ciało równoważą się, to ciało zachowuje stan spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej. Taki układ nazywamy inercyjnym. Prawo to orzeka, że ciało nie przyspiesza samo z siebie; przyspieszenie musi być narzucone z zewnątrz. Ciała spoczywające dążą do przebywania w stanie spoczynku, ciała poruszające się dążą do utrzymania tego ruchu bez zmiany prędkości. Ten opór ciał wobec zmian stanu ruchu nazywa się bezwładnością (inercją).

6. I zasada jest przełamaniem dogmatu Arystotelowskiego, że wszystkie ciała muszą się zatrzymać gdy nie ma sił zewnętrznych. I zasadę dynamiki nazywa się też zasadą bezwładności. Bezwładnością nazywamy własność ciała objawiającą się tym, że ciało nie zmienia ani kierunku, ani wartości swej prędkości, gdy nic na nie nie oddziałuje. Przykłady bezwładności

7. Druga zasada dynamiki Jeżeli na ciało o masie m działają siły niezrównoważone o wypadkowej F, to ciało porusza się ruchem przyspieszonym z przyspieszeniem a, takim że a = F/m. Korzystając z pojęcia pędu (p = mv) równanie drugiej zasady dynamiki Newtona można zapisać w postaci: Czyli siła działająca na ciało jest równa pochodnej pędu względem czasu. Jest to bardziej ogólna postać II zasady dynamiki. Istnieją bowiem zjawiska fizyczne w których masa zmienia się podczas ruchu (np. masa rakiety maleje w miarę ubywania paliwa).

8. Trzecia zasada dynamiki Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą FAB, to ciało B działa na ciało A siłą FBA równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną, co wyrażamy wzorem: Siły te są jednakowe co do wielkości i skierowane przeciwnie, lecz nie znoszą się ani nie równoważą, gdyż przyłożone są do różnych ciał. Siły akcji i reakcji

9. Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu Zgodnie z I zasadą dynamiki tylko ruch jednostajny prostoliniowy może zachodzić bez działania sił, zatem ruch po okręgu wymaga istnienia siły (także ruch jednostajny po okręgu). W ruchu po okręgu musi wystąpić niezrównoważona siła skierowana do środka toru ruchu (do środka okręgu). W ruchu ciała po okręgu występuje przyspieszenie normalne (dośrodkowe): Zgodnie zatem z II zasadą dynamik na ciało poruszające się jednostajnie po okręgu musi działać siła: Siła ta skierowana do środka okręgu, nazywa się siłą dośrodkową.

10. Na odważnik przymocowany do sznurka i wprawiony w ruch po okręgu działa siła dośrodkowa za pośrednictwem napiętego sznurka. Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu We wszystkich przypadkach ruchu po okręgu stwierdza się istnienie siły dośrodkowej. Inne przykłady: • gdy pociąg porusza się po zakrzywionym torze, to siłę dośrodkową stanowi sprężyste oddziaływanie zewnętrznej szyny; • w ruchu Księżyca wokół Ziemi siłą dośrodkową jest przyciąganie grawitacyjne Ziemi. Siła dośrodkowa jest podstawą działania wszystkich wirówek. Np. na bieliznę działa siła dośrodkowa, a na wodę nie. Siła dośrodkowa jest za mała, by utrzymać błoto na oponie i dlatego odrywa się ono wzdłuż linii prostych.

11. Gdy na ciało poruszające się po okręgu w pewnej chwili przestaje działać siła dośrodkowa, to zgodnie z I zasadą dynamiki ruch ciała nie ustaje, lecz trwa dalej jako ruch jednostajny i prostoliniowy wzdłuż stycznej do toru kołowego; np. grudki błota odlatują od koła rowerowego po stycznej, podobnie jak iskry z tarczy szlifierskiej. Dynamika ruchu punktu materialnego po okręgu Zgodnie z III zasadą dynamik działaniu siły dośrodkowej na ciało poruszające się po okręgu musi towarzyszyć działanie siły o tej samej wartości na więzy. Przez więzy rozumiemy te ciała, które wymuszają ruch ciała po okręgu (ręka, szyna kolejowa, Ziemia). Siłę działającą na więzy nazywamy siłą odśrodkową reakcji Fr. Siła ta jest przyczyną zużywania się łożysk .

12. Praca Praca W stałej siły F wyraża się iloczynem skalarnym siły F i wektora przesunięcia s czyli: Jest więc wielkością skalarną Zgodnie z definicją iloczynu skalarnego: gdzie q kąt między kierunkami siły i przesunięcia Pracę wykonuje tylko składowa Ft styczna do przesunięcia s

13. Praca może przyjmować zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. Praca jest dodatnia, gdy q < 90o, a ujemna – gdy q > 90o. Praca jest równa 0, gdy kierunek siły jest prostopadły do kierunku przesunięcia (q = 90o). Np. praca wykonana przez siłę ciężkości jest dodatnia przy spadku ciała, ujemna – przy podnoszeniu do góry, a równa zeru – przy przesuwaniu ciała po torze poziomym. Jeżeli wartość Ft nie jest stała, lecz zależy od położenia ciała, wówczas należy rozpatrywać różniczkę pracy dW, będącą iloczynem siły Ft i różniczki przesunięcia ds: W przypadku najogólniejszym, gdy tor, po którym się przesuwa ciało, jest krzywoliniowy, pracę definiuje się za pomocą całki krzywoliniowej jako: gdzie A i B – punkty początkowy i końcowy toru.

14. Praca Jednostką pracy w układzie SI jest dżul J: Dżul jest to praca wykonana podczas przesunięcia punktu materialnego pod wpływem działania siły 1 N na odległość 1 m w kierunku działania siły. Jednostki pracy stosowane w innych układach: 1 kGm = 9,80665 J 1 erg = 1 dyna x 1 cm = 10-7 J Gdyby sztangista był wyższy, musiałby wykonać większą pracę, aby podnieść sztangę.

15. Moc Jest to wielkość wskazująca jaka pracę może wykonać dany układ w jednostce czasu. Moc średnia: Moc chwilowa: Jednostką mocy w układzie SI jest wat [W]: moc jest równa jednemu watowi, jeżeli stała siła wykonuje pracę jednego dżula w czasie 1 sekundy: 1 W = 1 J/1 s = 1 J/s Inne jednostki spoza układu SI: 1 kGm/s = 9,80655 W 1 KM = 75 kGm/s = 736 W

16. Energia Energia kinetyczna Rozważmy ruch prostoliniowy punktu materialnego, zachodzący pod wpływem działania siły F. Ruch ten jest jednostajnie przyspieszony, z prędkością początkową v1 i po przebyciu drogi s prędkością końcową v2. Praca siły F: Energię kinetyczną punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określamy wzorem: Praca siły powodującej ruch punktu jest równa przyrostowi jego energii kinetycznej: W = Ek2 – Ek1

17. W polu siły ciężkości (skierowanym pionowo w dół) przesuwa się punkt materialny po torze zamkniętym ABCDA. Chcemy obliczyć pracę tej siły po torze zamkniętym ABCDA: WAB = -mgh; WBC = 0; WCD = mgh; WDA = 0. Zatem: WABCDA = 0. Siły zachowawcze Siłę nazywamy zachowawczą albo potencjalną, jeżeli jej praca po dowolnym torze zamkniętym jest równa zeru. Siła ciężkości jest siłą zachowawczą. Zachowawczą jest też siła sprężystości. Nie jest siłą zachowawczą siła tarcia, siła oporu powietrza, siła oporu (lepkość) cieczy. Z faktu, że praca siły zachowawczej po drodze zamkniętej równa się zeru, wynika ważny wniosek: Praca siły zachowawczej nie zależy od kształtu drogi, a tylko od wyboru punktu początkowego i końcowego.

18. Energią potencjalną ciała w punkcie P względem punktu O nazywamy pracę, jaką wykonuje siła zachowawcza przy przesunięciu tego ciała od punktu P do punktu O. Wartość energii potencjalnej zależy od wyboru punktu odniesienia O. Grawitacyjną energię potencjalną określamy jako pracę siły ciężkości mg na pionowym torze o wysokości h, zatem: Energia potencjalna sprężystości jest równa: gdzie x oznacza dowolne odkształcenie ciała (wydłużenie, skrócenie itp.). Energia potencjalna

19. Energia potencjalna Energia potencjalna kuli o ciężarze 10 N jest taka sama (i równa 30 J) we wszystkich trzech przypadkach, gdyż praca podniesienia jej na wysokość 3 m jest niezależna od tego, czy: (a) została podniesiona siłą 10 N; (b) została wtoczona siłą 6 N po równi pochyłej o długości 5 m; (c) została wniesiona siłą 10 N po trzech schodach o wysokości 1 m każdy. W ruchu poziomym (przy braku tarcia) nie jest wykonywana żadna praca.

20. II. DYNAMIKA BRYŁY SZTYWNEJ

21. Pojęcie bryły sztywnej Bryła sztywna to ciało, które pod działaniem sił nie ulega odkształceniom, tzn. odległości dwóch dowolnych punktów takiego ciała pozostają stałe. Dla bryły sztywnej obowiązują wszystkie wnioski i zależności słuszne dla układu punktów materialnych. Rodzaje ruchów bryły sztywnej Bryła sztywna może wykonywać dwa rodzaje ruchów prostych: postępowy i obrotowy. Ruchem postępowym bryły sztywnej nazywamy ruch, w którym dowolny odcinek łączący dwa punkty bryły , np. A i B, zachowuje stale położenie do siebie równoległe. Wszystkie punkty bryły zakreślają takie same tory, mają jednakowe prędkości i przyspieszenia. Ruch bryły sztywnej sprowadza się do ruchu punktu materialnego (najczęściej jest to środek masy).

22. Ruch obrotowy bryły charakteryzuje się tym, że wszystkie punkty bryły poruszają się po okręgach, których środki leżą na jednej prostej. Prostą tą nazywamy osią obrotu. Punkty znajdujące się na osi obrotu są nieruchome, a pozostałe punkty poruszają się po łukach okręgów. Poszczególne punkty bryły charakteryzuje ta sama prędkość kątowa i przyspieszenie kątowe. Natomiast prędkości liniowe punktów bryły sztywnej są proporcjonalne do odległości punktu od osi obrotu (v = wr). W życiu codziennym najczęściej mamy do czynienia z ruchami złożonymi. Możemy je rozłożyć na ruch postępowy i obrotowy, względem odpowiednio wybranego układu odniesienia. Przykładem takiego ruchu może być ruch toczącej się po podłodze piłki.

23. W ruchu obrotowym ważna jest nie tylko wartość siły, ale także jej kierunek i punkt przyłożenia. Wielkość wywołującą ruch obrotowy nazywamy momentem siły, który definiujemy następująco: Momentem siły F względem punktu O osi obrotu nazywamy iloczyn wektorowy wektora wodzącego r punktu przyłożenia siły F i tej siły (początek r leży w punkcie O). Wartość bezwzględna momentu siły wynosi: Moment siły bywa też nazywany momentem obrotowym. Jednostką momentu siły jest niutonometr (Nm).

24. Moment bezwładności W ruchu obrotowym bryły sztywnej ważną rolę odgrywa sposób rozmieszczenia masy bryły wokół osi obrotu. Wielkością charakteryzującą tę własność bryły jest moment bezwładności. Momentem bezwładności I bryły względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów bryły i kwadratów ich odległości od danej osi, a więc: Jednostką momentu bezwładności jest 1 kg m2. Moment bezwładności ciał o tej samej masie i tym samym promieniu zależy od ich kształtu.

25. Moment bezwładności Im większy moment bezwładności, tym trudniej zmienić stan ruchu obrotowego, zatrzymać obrót lub wprawić w ruch obrotowy. Fakt ten jest np. wykorzystywany przez cyrkowych linoskoczków, którzy dla utrzymania równowagi posługują się długimi drążkami. Podczas biegu mocno zginamy nogi w kolanach, zmniejszając tym samym ich moment bezwładności.

26. Moment bezwładności Momenty bezwładności niektórych brył

27. Moment bezwładności Ciała mające większe momenty bezwładności (przy tej samej masie) silniej przeciwstawiają się ruchowi obrotowemu. Które ciało stoczy się szybciej po równi pochyłej: pełny walec czy pierścień o tej samej masie i tej samej średnicy zewnętrznej? Pełny walec stacza się po równi pochyłej szybciej niż pierścień o tej samej masie i tej samej średnicy zewnętrznej, ponieważ pierścień ma większy moment bezwładności (masa pierścienia skupiona na jego obwodzie, daleko od osi obrotu) i jego przyspieszenie jest mniejsze.

28. Twierdzenie Steinera Aby obliczyć moment bezwładności względem dowolnej osi, nie przecho- dzącej przez środek masy bryły, posługujemy się twierdzeniem Steinera: Moment bezwładności I bryły względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności I0 względem osi równoległej przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy tej bryły m i kwadratu odległości a obu osi, czyli: Jakob Steiner (1796-1863), szwajcarski matematyk. W 1834 na uniwersytecie w Berlinie została utworzona dla niego katedra geometrii.

29. Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego Rozważmy obracającą się bryłę sztywną, składającą się z punktów materialnych m1, m2, ... , mn, na które działają siły F1, F2, ... , Fn, a r1, r2, ... , rn są promieniami punktów materialnych. Wypadkowy moment sił M działających na rozważaną bryłę wyniesie: Słownie drugą zasadę dynamiki Newtona ruchu obrotowego można wyrazić następująco: Jeśli na pewne ciało, które posiada pewien swój moment bezwładności I zadziałają zewnętrzne siły, które wywrą na to ciało pewien wypadkowy moment siły M, to w wyniku tego działania ciało będzie obracać się z przyspieszeniem kątowym e takim, że

30. Moment pędu (kręt) Moment pędu L punktu materialnego o masie m i wektorze wodzącym r, poruszającego się z prędkością v względem osi obrotu odległej o r od tego punktu definiujemy wzorem: Moment pędu bryły jest sumą momentów pędu wszystkich jego punktów, czyli: Moment pędu bryły równa się iloczynowi jej prędkości kątowej w i momentu bezwładności I. Jednostką momentu pędu jest 1 kgm2/s.

31. Moment pędu (kręt) Posługując sie pojęciem momentu pędu można inaczej wyrazić drugą zasadę dynamiki Newtona: Pochodna momentu pędu L bryły względem czasu t jest równa momentowi siły M działającej na tę bryłę. Mamy bowiem: Dlaczego łatwiej zachować równowagę na rowerze jadącym niż stojącym? Podczas ruchu koła roweru mają pewien moment pędu. Przewrócić rower znaczy: zmienić jego moment pędu, a to wymaga przyłożenia znacznie większego momentu sił niż w przypadku roweru nieruchomego.

32. Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego Rozważmy bryłę sztywną mogącą się obracać bez tarcia wokół stałej osi. Zgodnie z II zasadą dynamiki ruchu obrotowego (M=Ie), jeżeli na bryłę tę będzie działał moment siły M, to wywoła on ruch obrotowy bryły z określonym przyspieszeniem kątowym e. Przypuśćmy, że na obracającą się bryłę nie działa żaden moment siły, tzn. M=0. Wtedy, ponieważ bryła jest sztywna i jej moment bezwładności jest stały i różny od zera, przyspieszenie kątowe musi być równe zeru. Oznacza to, że prędkość kątowa obracającej się bryły, na którą nie działa moment siły, nie ulega zmianie. Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego mówi, że: Bryła sztywna nie poddana działaniu momentu siły pozostaje nieruchoma lub wykonuje ruch obrotowy jednostajny. Słuszność tej zasady można sprawdzić obserwując koło o dużej masie, zamocowane na łożyskach. Koło takie wprawione w ruch obrotowy, zachowuje ten ruch bez zmiany tym dłużej, im lepsze są łożyska.

33. Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego Istnienie momentu siły działającego na daną bryłę jest zawsze wynikiem oddziaływania na nią innej bryły. Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego mówi, że: Jeżeli na bryłę A działa bryła B pewnym momentem siły MAB, to bryła B działa na A momentem MBA równym co do wartości, lecz przeciwnie skierowanym: Słuszność tej zasady można sprawdzić obserwując działanie silników; np. w chwili uruchomienia silnika samochodu można zauważyć, że blok silnika ulega pewnemu skręceniu w kierunku przeciwnym do obrotu wału. Dzieje się tak dlatego, że wprawienie w ruch obrotowy wału silnika wymaga działania momentu siły, jednocześnie zaś działa przeciwnie skierowany moment na korpus silnika.

34. Energia kinetyczna ruchu obrotowego Bryła sztywna wprawiona w ruch obrotowy ma energię kinetyczną. Energie tę obliczamy, sumując energie kinetyczne poszczególnych punktów bryły. Energia dowolnego i-tego punktu bryły o masie mi wynosi: Energia kinetyczna całej bryły: Energia kinetyczna ruchu obrotowego jest równa połowie iloczynu momentu bezwładności i kwadratu prędkości kątowej. Analogia do wzoru na energię kinetyczną punktu materialn.

35. Analogia między ruchem postępowym i obrotowym

36. Analogia między ruchem postępowym i obrotowym

37. III. ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICE

38. Zasadami zachowania nazywa się prawa stwierdzające, że jakaś wielkość fizyczna pozostaje stała w czasie. (iii) energii W mechanice znamy trzy zasady zachowania: (i) pędu (ii) momentu pędu ZASADY ZACHOWANIA W MECHANICE

39. Zasada zachowania pędu Rozważmy układ punktów materialnych o masach m1, m2, …, mn, na które działają siły zewnętrzne F1, F2, …, Fn. Według II zasady dynamiki Newtona dla dowolnego (i-tego) punktu zachodzi zależność: , która dla wszystkich punktów (sumowanie) przyjmuje postać: , tzn. suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ (suma sił wewnętrznych jest równa 0) jest równa sumie zmian w czasie pędów punktów materialnych (pędu całkowitego układu). Czyli:

40. Zasada zachowania pędu Jest to twierdzenie o pędzie całkowitym: Pochodna pędu całkowitego p układu względem czasu t jest równa wypadkowej sił zewnętrznych Fz działających na układ. Konsekwencją tego jest następująca relacja: gdy Fz = 0, to p = const Zależność ta wyraża zasadę zachowania pędu, która mówi, że: Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ punktów materialnych jest równa zeru, to pęd całkowity tego układu jest stały. Zgodnie z zasadą zachowania pędu: Jeżeli wypadkowa sił wewnętrznych działających na układ jest równa zeru, to pęd układu w stanie początkowym jest równy pędowi układu w stanie końcowym.

41. Człowiek wyskakujący na ląd ze stojącej na wodzie łódki – pęd układu (łódka-człowiek) pozostaje stały (równy zeru). Zasada zachowania pędu PRZYKŁADY Działanie śruby okrętowej – nadanie wodzie pędu skierowanego w tył, wskutek czego statek uzyskuje pęd skierowany do przodu. Podobnie działa śmigło samolotu i śmigłowca;

42. Zjawisko odrzutu przyużyciu broni palnej (pęd uzyskany przez karabin w chwili wystrzału jest równy co do wartości bezwzglę-dnej pędowi pocisku); Zasada zachowania pędu PRZYKŁADY Działanie silników odrzuto-wych i rakietowych (pęd unoszony przez gazy spalinowe jest równy co do wartości bezwzględnej pędowi uzyskanemu przez samolot lub rakietę).

43. Zasada zachowania momentu pędu (krętu) Twierdzenie o momencie pędu (kręcie) całkowitym: Pochodna momentu pędu (krętu) całkowitego układu względem czasu jest równa momentowi wypadkowemu sił zewnętrznych: Natomiast siły wewnętrzne układu nie mają wpływu na całkowity moment pędu układu (podobnie jak w zasadzie zachowania pędu). Konsekwencją powyższego równania jest następująca relacja: gdy Mz = 0, to L = const.

44. Zasada zachowania momentu pędu (krętu) Konsekwencją powyższego równania jest następująca relacja: gdy Mz = 0, to L = const. Zależność ta wyraża zasadę zachowania momentu pędu (krętu), która mówi, że: Jeżeli moment wypadkowy sił zewnętrznych działających na układ równa się zeru, to moment pędu (kręt) całkowity tego układu jest stały. Całkowity kręt układu wyraża się sumą: , a gdy prędkości kątowe poszczególnych brył są równe, to:

45. Zmiany rozłożenia masy ciała wokół osi obrotu umożliwiają skoczkowi regulację prędko-ści obracania się jego ciała. • Podobne zjawisko obserwu-jemy w jeździe na lodzie przy wykonywaniu piruetów. Zasada zachowania momentu pędu (krętu) PRZYKŁADY Obrotowy stołek: kręt układu (człowiek + hantle) pozostaje stały: zmniejszenie momentu bezwładności (I=mr2) wskutek zbliżenia han-tli przyspiesza obrót).

46. Kot spadając wielokrotnie przemieszcza swoje kończyny i ogon, tak aby nastąpiła zmiana momentu bezwładności. Nastąpi obrót ciała, ale prędkość kątowa nie ulegnie zmianie. Zasada zachowania momentu pędu (krętu) PRZYKŁADY Gimnastyk może zmieniać prędkość obrotową przez odpowiednią zmianę momentu bezwładności ciała, gdyż moment pędu musi być zachowany.

47. Zasada zachowania energii Układ odosobniony – układ na który nie dzia- łają żadne siły zewnętrzne; w układzie odoso- bnionym działają więc tylko siły wewnętrzne. Jeżeli założymy, że siły te są zachowawcze, to takie układy nazywamy zachowawczymi. Siła zachowawcza – jeśli jej praca po dowolnym torze zamkniętym jest równa zeru. Energia mechaniczna – suma energii kinetycznej i potencjalnej. Zasada zachowania energii: Energia mechaniczna układu odosobnionego i zachowawczego jest stała, to znaczy: Ek + Ep = const.

48. Zasada zachowania energii W przypadku układów niezachowawczych, energia mechaniczna tych układów nie jest stała. Przykład: metalowa kulka wrzucona z pewnej wysokości do zbiornika z gęsta smołą. Analiza makroskopowa i mikroskopowa. Ogólna zasada zachowania energii mówi, że: Całkowita energia (mechaniczna, elektryczna, magnetyczna chemiczna, jądrowa itp.) układu odosobnionego jest wielkością stałą. W układzie odosobnionym zachodzą tylko przemiany jednych form energii w inne.