1. Activité 1 2. Expériences aléatoires et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités

1. LES PROBABILITES 1. Activité 1 2. Expériences aléatoires et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités

2. Objectifs PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Modéliser une expérience aléatoire à l’aide de simulations d’échantillons de chiffres au hasard. Déterminer la probabilité de réalisation d ’un événement. Connaître le langage des probabilités : expérience aléatoire, univers, éventualité, événement contraire.

3. Enoncé PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités On lance une pièce de monnaie bien équilibrée. On est en présence d’une expérience aléatoire. On a deux possibilités :    «  pile » ou « face » qui ne sont pas prévisibles à l ’avance . Ces résultats sont appelés les éventualités. L’ensemble de toutes les éventualités est appelél’universdes possibles noté E. Quel est le nombre d’éventualités de E ? Une partie de l’univers est aussi appelée un événement ou si une unique éventualitéévénement élémentaire.

4. Expérience réelle avec une pièce • a)Réaliser l’expérience en lançant une pièce à 10 reprises. Regrouper les résultats sous la forme d’un tableau. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités b)Comparer les différents résultats obtenus par les élèves de la classe. c)Regrouper les résultats obtenus par une moitié de la classe, par l’autre moitié, puis par la classe entière. d)Comparer les quatre tableaux (le tableau personnel, les tableaux des deux moitiés de la classe et le tableau de la classe entière). Les résultats sont-ils conformes avec l’hypothèse d’équilibre de la pièce émise au départ ? On dit que les fréquences fluctuent.

5. Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités • Une calculatrice dispose d’un " générateur de nombres aléatoires ", c’est-à-dire d’un dispositif qui fournit un nombre pris au hasard dans un intervalle donné. On admet que chaque nombre de cet intervalle a autant de chances d’être obtenu.

6. Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités • Une calculatrice peut ainsi produire un nombre de 14 chiffres de l’intervalle [0 ; 1[ . • Sur T I, grâce à la touche " rand " (pour random, " au hasard " en anglais). • Les 10 premières décimales (resp. 14) sont affichées par les calculatrices TI 82 (resp. pour TI 89). • (touches « MATH » « PRB » « RAND » • ou « MATH » « Probabilité» « nbrAleat() » ). • Sur CASIO, « OPT » « PROB » « RAN# ».

7. Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Question • Déterminer la fréquence empirique d’apparition du côté Pile de 100 lancers. Utilisation de votre calculatrice

8. Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Technique 1 • On partage l’intervalle [0 ; 1[ en deux intervalles de même amplitude : • - si l’on obtient un nombre de l’intervalle [0 ; ½[, cela revient à obtenir Pile ; • - si l’on obtient un nombre de l’intervalle [½; 1[, cela revient à obtenir Face.

9. Expérience simulée avec une calculatrice • On partage l’ensemble des chiffres affichés en deux parties, par exemple : • - les chiffres pairs correspondent à Pile ; • - les chiffres impairs correspondent à Face. • Le tirage « RAND »ci-contre permet d’obtenir : • « Face, Pile, Face, Pile, Pile, Pile, Face, Pile, Pile, Pile ». • La sortie d’un seul nombre aléatoire simule 10 lancers de pièce. PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Technique 2

10. Expérience simulée avec une calculatrice PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Technique 3 • On combine plusieurs commandes de lacalculatrice ou du tableur. « rand » fournit un nombre décimal de l’intervalle [0 ; 1[ , « 2 * rand » fournit un nombre décimal de l’intervalle [0 ; 2[ , « 2 * rand + 1 » fournit un nombre x de l’intervalle [1 ; 3[ . • En prenant la partie entière de " 2 * rand + 1 " (notée "  Int "  sur la TI et la CASIO), on obtient alors un nombre entier égal à 1 ou 2. • La commande " Int(2 * rand + 1) " SUR TI ou « Int(2*Rand#+1) » sur CASIO  permet donc de simuler le jet d’une pièce.

11. Expérience simulée avec une calculatrice P N • Analyser le programme suivant et expliquer comment • il peut simuler le lancer d’une pièce. • Algorithme • entrer le nombre de lancers N • initialiser à 0 le nombre de Piles P • initialiser à 1 le nombre de lancers I • si le nombre aléatoire est inférieur à 0,5 • ajouter 1 dans P • ajouter 1 au nombre de lancers • si le nombre de lancers est inférieur à N • continuer la boucle • sinon afficher PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Technique 4

12. Expérience simulée avec un tableur PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Utilisation du tableur

13. Expérience simulée avec un tableur PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités Résultats et conjecture • b)Sur un tableur, on a obtenu les résultats pour 2 000 lancers, avec un pas de 100 et la courbe ci-dessus. Commenter ces résultats. Conjecturer le comportement de la fréquence empirique de Pile lorsque le nombre de lancers devient grand. • Quel nombre théorique obtient-on ?

14. Conclusion : Approche de la loi des grands nombres PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités • Le nombre obtenu est appelé probabilité de réalisation de l’événement A : « obtenir Pile ». On a : • P(A) = 0,5 • La modélisation permet ainsi de choisir une loi de probabilité selon « la loi des grands nombres »

15. Conclusion : Précision des résultats PLAN 1. Activité 1 - Objectifs - Enoncé - Expérience réelle - Expérience simulée - Conclusion 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités • La fréquence obtenue est comprise entre 0,478 et 0,522 avec un niveau de confiance de 95 %. • On dit que l ’hypothèse de bon équilibre du dé est au seuil de risque de 5 %. • Les formules permettant d ’obtenir la fourchette pour une valeur p = 0,5 et un échantillon de taille n avec un intervalle de confiance de 95% sont :

16. Loi des grands nombres PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand.

17. Définition Définir une loi de probabilité sur l ’univers E = x1, x2, …, xn , signifie associer à chacun des éléments xi de E un réel pi vérifiant : a) 0 < pi < 1 b) p1 + p2 + … + pn = 1 notation : pi = p(xi) = p( xi ) PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités La probabilité d ’un événement A est la somme des probabilités des événements élémentaires de A. … Cf exemple

18. PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités Expérience aléatoire, éventualités, univers Lors d ’une expérience aléatoire, un résultat possible est appelé une éventualité. L ’ensemble de toutes les éventualités est appelé universE (ensemble des cas possibles)

19. Evénement Un événement est une partie de l ’univers E est l ’événement certain est l ’événement impossible L ’événement contraire d ’un événement A est l ’ensemble des éventualités de E qui n ’appartiennent pas à A, noté A PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation - Loi des grands nombres - Définition - Expérience aléatoire, éventualités, univers - Evénement 3. Activité 2 4. Probabilités

20. Objectifs PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs, énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Connaître le langage des probabilités : intersection et réunion de deux événements, événements incompatibles. Calculer l ’espérance, la variance et l ’écart type d ’une loi de probabilité (cas xi réels) Enoncé On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. Soit A, B et C les événements suivants : A : « tirer un as » B : « tirer une figure » (c’est à dire un roi, une dame ou un valet) C : « tirer un cœur »

21. Question 1 U On note A C l’événement A et C. a) Nommer les éventualités des événements A C et B C. b) Comment appelle-t-on l’événement  A B ? U U U PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs,énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Combien y a-t-il de résultats possibles au total ? Combien y a-t-il de résultats dans les événements A, B et C ? Question 2

22. Question 3 C E B A PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs,énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Représenter l’ensemble des 32 tirages possibles dans le diagramme suivant en précisant le nombre d’éventualités de chaque plage :

23. Question 4 On note B l’événement constitué des tirages qui ne réalisent pas B. Expliciter par une phrase ne contenant pas de forme négative cet événement B. Que peut-on dire de B par rapport à B ? Définir de même C. Donner la liste des éventualités constituant chacun des événements suivants : BC et B C. U U On note A U C l’événement A ou C. Expliciter par une phrase l’événement A U C. Donner la liste de ses éventualités. PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs,énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Question 5 Question 6

24. Question 7 a) Dans l’activité 1 on répète un grand nombre de fois le tirage. La fréquence de l’événement A est de 0,125. Donner p(A). Vérifier qu ’il est égal au quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles (loi de probabilité équirépartie). b) Calculer la probabilité des événements suivants : B, C, A B, A C, A U C, C. U U Conjecturer une relation liant : a) p(A U C) et p(A), p(C), p(A C). b) p(C ) et p(C). U PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 - Objectifs,énoncé - Questions (1 à 8) 4. Probabilités Question 8

25. Equiprobabilité Si tous les événements élémentaires ont la même probabilité, alors on dit qu ’il y a équiprobabilité. On a : pi = 1 n Nombre de cas favorables à la réalisation de A Nombre de cas possibles PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d ’une loi de probabilité Si A événement de E alors : p(A) = Exemples : 1) jeu de pile ou face 2) dé à 6 faces non pipé Remarque : on repère l ’équiprobabilité par « au hasard », par des boules « indiscernables au toucher », ou par « bien équilibré »

26. Définitions L ’événement A et B est formé des éventualités appartenant à A ou à B , ou aux deux (A inter B). (Cf exemple) AB U Si A et B sont deux événements n ’ayant aucune éventualité commune, on dit qu ’ils sont incompatibles (ou disjoints). (Cf exemple) AB = U PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Incompatibilité - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d ’une loi de probabilité L ’événement A ou B est formé des éventualités appatenant à A ou à B(A union B). (Cf exemple) AUB

27. Théorèmes Si A et B sont deux évènements de E, on a : p ( AUB) = p(A) + p(B) - p (A B) U Si A est l ’événement contraire de A, on a : p (A) = 1 - p(A) PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d ’une loi de probabilité Si A et B sont deux événements incompatibles, on a : p (AUB) = p(A) + p(B) (… cf Exemple)

28. Espérance, variance, écart-type d ’une loi de probabilité (xi réel) L’espérance d’une loi de probabilité est la moyenne des xi pondérés par les pi : E = p1x1 + p2x2 + … + pnxn =  pixi n i=1 La variance est le réel positif : V = pi (xi - E)2 + … + pn (xn - E)2 V =  pi (xi - E)2 n i=1 L ’écart type est la racine carrée de la variance :  = V V PLAN 1. Activité 1 2. Expérience aléatoire et modélisation 3. Activité 2 4. Probabilités - Equiprobabilité - Définitions - Théorèmes - Espérance, variance écart-type d ’une loi de probabilité (Cf exemple)

29. LES PROBABILITES F I N