Alignments mit Hidden Markov Modellen

1. Alignments mit Hidden Markov Modellen

2. Wofür sind HMM‘s gut? • Gehört eine Sequenz zu einer bestimmten Familie? • Falls eine Sequenz aus einer Familie stammt, was kann man über ihre interne Struktur sagen?

3. Markov Kette • Modell zum Generieren von Sequenzen • Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines Symbols hängt nur vom Vorgängersymbol ab • Wie wahrscheinlich ist eine Sequenz / Nukleotidfolge

4. Markov Kette Beispiel für DNA:

5. Markov Kette Transitionswahrscheinlichkeit: rst = P(xi = t | xi-1 = s) Wahrscheinlichkeit einer Sequenz: P(x) = P(xL | xL-1)*P(xL-1 | xL-2)* .. *P(x2 | x1)*P(x1) = P(x1)Пi=2rxi-1xi

6. Markov Kette Beginzustand x0 = B mit: P(x1 = s) = rBs Endzustand xL+1 = E mit: P(E | xL = t) = rtE

7. Hidden Markov Model • Keine 1 zu 1 Übereinstimmung von Zuständen und generierten Symbolen • Einbettung von Markov Ketten in die Zustände • Es gibt bestimmte vordefinierte Wahrscheinlichkeiten, dass ein Zustandübergang erfolgt • Sei ek(b) = P(xi = b | πi-1 = k) die WK, dass Symbol b im Zustand k auftritt (wobei π die Zustandsequenz ist)

8. HMM Beispiel: unfaires Casino:

9. HMM Beispiel: unfaires Casino: Problem: Wie findet man die richtige (wahrscheinlichste) Zustandssequenz, die der vorliegenden Symbolsequenz zugrunde liegt?

10. Viterbi Algorithmus Beispiel: CpG - Inseln • Das Auftreten einer bestimmten Base (A, T, G, C) an einer bestimmten Stelle ist nicht gleich wahrscheinlich • In bestimmten DNA-Bereichen: Hohe Wahrscheinlichkeit, dass C zu einem T mutiert • Somit kleinere Wahrscheinlichkeit, dass ein C vor einem G steht • Es gibt allerdings Regione in welchen die Mutationswahrscheinlichket (von C zu T) deutlich kleiner ist (zum Beispiel bei den Startregionen diverser Gene)

11. Viterbi Algorithmus Beispiel: CpG - Inseln Markov Kette

12. Viterbi Algorithmus Beispiel: CpG - Inseln • Verschiedene Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten eines Symbols (A, T, G, C), je nach dem ob es innerhalb (+ Modell) oder ausserhalb (- Modell) der CpG – Inseln stattfindet • Daraus leitet sich die WK rst für jedes dieser beiden Modelle: rst+ = cst+/∑t`cst`+ rst- = cst-/∑t`cst`- (wobei cst die Anzahl der Fälle in welchen Symbol t Symbol s folgte ist) • rst+ undrst- statistisch ermittelbar

13. Viterbi Algorithmus

14. Viterbi Algorithmus Beispiel: CpG – Inseln HMM

15. Viterbi Algorithmus • Ein rekursiver Algorithmus zum Finden des wahrscheinlichsten Pfades π* (mit π* = argmaxP(x, π)) • Sei vk(i) die WK eines wahrscheinlichsten Pfades, der in Zustand k endet mit Beobachtung i • Sei vk(i) bekannt für alle i, dann für i+1 gilt: vl(i+1) = el(xi+1)max(vk(i)rkl)

16. Viterbi Algorithmus

17. Viterbi Algorithmus

18. Viterbi Algorithmus

19. Viterbi Algorithmus

20. Viterbi Algorithmus 0.63

21. Viterbi Algorithmus 0.63*0.6 ≈ 0.378

22. Viterbi Algorithmus 0.63*0.6 ≈ 0.378

23. Viterbi Algorithmus 0.17*0.25

24. Viterbi Algorithmus 0.17*0.25 ≈ 0.042

25. Viterbi Algorithmus 0.2*0.05 ≈ 0.010

26. Viterbi Algorithmus

27. Viterbi Algorithmus

28. Viterbi Algorithmus 0.378

29. Viterbi Algorithmus 0.378*0.500

30. Viterbi Algorithmus 0.378*0.500*0.15

31. Viterbi Algorithmus 0.378*0.500*0.15 ≈ 0.028

32. Viterbi Algorithmus

33. Viterbi Algorithmus 0.042

34. Viterbi Algorithmus 0.042*0.375

35. Viterbi Algorithmus 0.042*0.375*0,15 ≈ 0.002

36. Viterbi Algorithmus

37. Viterbi Algorithmus 0.010*0.125*0.15 ≈ 0.0001

38. Viterbi Algorithmus Max(0.028, 0.002, 0.0001) = 0.028

39. Viterbi Algorithmus Max(0.028, 0.002, 0.0001) = 0.028

40. Viterbi Algorithmus

41. Viterbi Algorithmus 0.378*0.25*0.25 ≈ 0.023

42. Viterbi Algorithmus 0.042*0.125*0.25 ≈ 0.001

43. Viterbi Algorithmus 0.010*0.675*0.25 ≈ 0.001

44. Viterbi Algorithmus Max(0.023, 0.001, 0.001) = 0.023

45. Viterbi Algorithmus

46. Viterbi Algorithmus

47. Viterbi Algorithmus

48. Viterbi Algorithmus

49. Viterbi Algorithmus

50. Viterbi Algorithmus 0.378+0.028+0.0007 ≈ 0.407