1 / 35

1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The Schr Ö dinger Equation

1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The Schr Ö dinger Equation. บทนำ. quantum mechanics เป็นทฤษฎีทั่วไปที่นำมาอธิบาย mechanical states ของ ระบบ ซึ่งทฤษฎีนี้เป็นที่ยอมรับและ เข้ามาแทน classical mechanics (Newtonian). Classical Mechaics (before 1900)

moke
Télécharger la présentation

1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The Schr Ö dinger Equation

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. 1. The Principles of Quantum Mechanics : I. The SchrÖdinger Equation บทนำ quantum mechanics เป็นทฤษฎีทั่วไปที่นำมาอธิบาย mechanical states ของระบบซึ่งทฤษฎีนี้เป็นที่ยอมรับและ เข้ามาแทน classical mechanics (Newtonian) Classical Mechaics (before 1900) Classical Physics : Thermodynamics *Classical Mechanics Electrodynamics of Maxwell

  2. Classical Mechanics : based on the laws of motion of Newton “Newtonian mechanics” Stationary object z z + Spring 0 Mass - Equilibrium position of mass 1.1 The Classical Mechanics of the Harmonic Oscillator The harmonic oscillator : model system ซึ่งแทนสสารที่ถูก แขวนโดย spring จาก stationary object รูปที่ 1 A system Represented by a Harmonic Oscillator

  3. - motion of mass จะคิดพิจารณาเฉพาะ z , x และ y direction จะไม่นำมาพิจารณาด้วย - การพิจารณา force ที่เกี่ยวข้องกับ mass นั้น พิจารณาจาก small value ของ z โดย Hooke’s law Fz = -kz k = force constant - = force is aways toward the equilibrium position

  4. Equation of motion: differential eq. ซึ่งสามารถแก้ สมการแล้วให้ค่า z เป็นฟังก์ชันของ t - ต้องอาศัย Newton’s law (2nd law) 1st law : law of inertia 2nd law : law of acceleration * 3rd law : law of action and reaction

  5. Newton’s second law (1.2) หรือ = mass of particle = unit vectors in direction x , y , z = accelleration Eq. of motion of harmonic oscillator : (1.3)

  6. The general solution : = arbitrary constant (1.4) velocity component : (1.5) - สมมติ initial conditions

  7. (1.6) (1.7)  sin(0) = 0 cos(0) = 1  vz(0) = 0 ก็ต่อเมื่อ A = 0 และ B = C solution

  8. รูปที่ 2(a)The position as a function of time (b) The velocity as a function of time - การเคลื่อนที่ (motion) ในลักษณะนี้ เรียกว่า “simple harmonic motion” (speed สูงสุด เมื่อใกล้ origin speed ต่ำสุด เมื่อไกล origin )

  9. Case study : • Harmonic Oscillator – Ground State • Harmonic Oscillator – Excited State

  10. The probability density: โอกาสที่จะพบอนุภาค • ให้ เป็นค่าของ z • Probility of finding the particle between and • = • at time t • Probability density คือ probability per unit length on the z • axis • - ขึ้นกับค่า time (อนุภาคเคลื่อนที่) • ดังนั้น probability density ( f ) ณ เวลาหนึ่งจึงเป็น sharply • spiked function ( รูปที่ 3 ) • - spike จะเปลี่ยนแปลงตามความสัมพันธ์ (1.6) (1.8)

  11. รูปที่ 3 The probability density for the position of Harmonic oscillator (classical mechanics) - โอกาสที่จะพบอนุภาคเฉลี่ย (3(b)) จะมีค่าสูงสุดเมื่อ อนุภาค เคลื่อนที่อย่างช้า ๆ จะมีค่าต่ำสุดเมื่อ อนุภาค เคลื่อนที่อย่างเร็ว

  12. Periodof the oscillator ( ) : ช่วงเวลาที่อนุภาคเคลื่อนที่จาก • ตำแหน่งหนึ่งไปยังอีกตำแหน่งหนึ่งที่จะเริ่มการซ้ำของตำแหน่ง (1.9) - sin  และ cos  ถูกเปลี่ยนโดย 2 หรือ

  13. (1.10) • The frequencyof the oscillator () : ส่วนกลับของ • period หรือเป็นจำนวนของการ oscillations ต่อวินาที - frequency จะสูงขึ้นถ้า force const. มีค่ามากขึ้น (spring มีความแข็ง) และ จะมีค่าน้อยลงถ้ามวลของอนุภาคมาก

  14. - พันธะเคมีมีลักษณะคล้าย spring เช่น typical vibrational frequencies of molecule

  15. ระบบที่ 2 ของ Harmonic oscillator : สถานะถูกกำหนด โดย coordinates และ ความเร็ว ของอนุภาค m1 Stationary object Spring z2 z Mass m2 + Equilibrium position of mass 0 - z1 รูปที่ 4 A second system of Harmonic oscillator (two particles connected by spring)

  16. - กำหนดตำแหน่งของสองอนุภาคโดยใช้ relative z coordinate zrel = z2– z1 - force on particle 2 F2 = -k( zrel– zrel,0 ) (1.11) equilibrium length of spring - zrelcoordinate จะเคลื่อนที่โดยการสมมติโดย force เดียวกันกับ (1.11) - อนุภาคสมมติ (fictitious particle) จะมีมวลเท่ากับ หรือ reduced mass ของสองอนุภาค  (1.12)

  17. - พิจารณาระบบทั้งสองแบบจะเห็นว่ามีความคล้ายคลึงกันโดยระบบ ที่ 2 จะแทน m ด้วย  และแทน z ด้วย zrel - mechanical state ของระบบ ใน classical mech. จะพิจารณา จาก coordinates และ velocity mechanical quantity - Kinetic energy (K) - Potential en. (V) (1.13) (1.14) (1.15)

  18. รูปที่ 5 Mechanical variables of a Harmonic oscillator

  19. The total energy ( E ) : (1.16) (1.17) - total energy เป็นค่าคงที่ ( สำหรับทุกค่าของ t ) เป็นตัวอย่าง ของ conservation of energy - zt เป็นค่าคงที่ หรือ magnitude ของ z ณ จุด turning point - จะมี negative turning point และ positive turning point ณ จุดที่มี potential en. สูงสุด (kinetic en. ต่ำสุดหรือหมดไป) oscillator จะเริ่มเคลื่อนไปยังตำแหน่ง z=0

  20. 1.2 Properties of Wave in Classical Mechanics - ปรากฏการณ์ของการเกิดคลื่น (wave) ใน classical physics มีหลายแบบ เช่น - เสียง (sound) - แสง (light) - คลื่นบนผิวน้ำ - การสั่นของเส้นลวด oscillaling displacement Period : เวลาในการเกิด 1 oscillation Frequency : จำนวน oscillation ที่เกิดในหนึ่งหน่วยเวลา รูปภาพ

  21. 2. Principal simple types of wave traveling wave standing wave รูปที่ 6 Traveling and standing waives

  22. สมบัติที่สำคัญประการหนึ่งของคลื่น คือ การเกิด interference • โดยเกิดคลื่น 2 ชนิด ณ ตำแหน่งเดียวกัน • constructive interference • destructive interference รูปที่ 7 The superposition of two waves of different wavelengths

  23. Case study : • Complex Waveforms • Complex Waveforms – Euler Identity • Uncertainty and Wave Packets

  24. Wave in a Flexible String • แบบจำลอง flexible string เป็นการพิจารณาระบบของ a real • vibrating string : มีสมบัติ • Uniform ( น้ำหนักต่อหน่วยความยาว =  ) • มี Tension force (T) ดึงอยู่ที่ปลายเส้น • equilibrium position ของเส้น string มี segment เป็นเส้นตรง • string มีความยืดหยุ่นที่สมบูรณ์แบบ รูปที่ 8

  25. วาง string บนระนาบ x-z เมื่อเกิดการสั่น ยังคงอยู่บน x-z plane • พิจารณา point ใด ๆ บน string • การเคลื่อนที่ • ความเร็ว (1.18) (1.19) assume string เคลื่อนที่น้อยมาก  ความยาว และ T จึงกล่าวได้ว่าคงที่ Solution of the wave equation สมการ classical wave eq. คือ Coordinates velocity (1.20) ให้

  26. - สมการ (1.20) เป็น partial differential eq. แก้สมการแล้วจะได้ ฟังก์ชันของ x และ t ซึ่งเป็นการอธิบาย displacement ของ point บน string ในแต่ละเวลา - แก้สมการโดยอาศัย วิธี separation of variables ขั้นที่ 1 : assume trial solution (1.21) factor ขึ้นกับ x หรือ t ขั้นที่ 2: แทนค่า (1.21) ลงใน (1.20) (1.22)

  27. แล้วหารด้วย (1.23) ( แต่ละข้างจึงเหลือตัวแปรเดียว ) ขั้นที่ 3 : x และ t เป็น independent variable กำหนดให้เทอมขวาหรือซ้าย คงที่ จากนั้นแปรค่าตัวแปรอีกตัวหนึ่ง ขั้นที่ 4 : แก้สมการโดย (1.24) (1.25)

  28. (1.26) (1.27) คูณ (1.24) ด้วย (1.25) ด้วย • จะคล้ายคลึงกับ (1.2) ใน Eq.of motion ของ Harmonic • oscillator • - เมื่อแก้สมการแล้วจะได้ ฟังก์ชันของ x และ t KL (1.28) (1.29) โดยที่ B , D , F และ G เป็น arbitrary const.

  29. - สมการ (1.28) และ (1.29) เป็นไปตาม (1.20) เรียกว่า • wave function • * อาศัย Boundary conditionเพื่อหาค่าของ B , D , F และ G • displacement (z) จะหมดค่าไปเมื่อ x=0 และ x=L • x=0 ; จะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ B=0 {sin0=0 , cos0=1} • x=L ; จะมีค่าเป็นศูนย์เมื่อ sin=0 {=n} (1.30) (1.31) • ต่อไปพิจารณาค่า F และ G

  30. พิจารณา • กรณีที่ 1 : string เคลื่อนที่ผ่านจุดสมดุล (z=0 สำหรับทุกค่าของx) • ณ เวลา t=0  F=0 กรณีที่ 2 : ค่า maximum displacement = A (G) ดังนั้น จึงสรุปได้ว่า (1.32) เรียก z(x,t) ว่า wave function และ A เป็นค่า amplitude ของคลื่น

  31. เมื่อได้ฟังก์ชัน displacement แล้วย่อมหาฟังก์ชันความเร็วได้เช่นกัน (1.33) • จาก (1.33) จะเห็นว่าแต่ละ point บน string ( ไม่รวมจุดที่เกิด • node ) มีการเคลื่อนที่แบบ Harmonic motion • สมการ (1.32) แสดง displacement ของจุดต่าง ๆ บน string • ซึ่งมีลักษณะเป็นคลื่นสำหรับค่า n ต่าง ๆ

  32. รูปที่ 9 The ends of the string are fixed and between nodes, the string oscillates

  33. Wave length : ความยาวที่ sine function เปลี่ยนช่วงละ 2 - สำหรับ string ที่มีความยาวเท่ากับ L ค่า wave length () คือ หรือ (1.34) Period () : ช่วงเวลาที่ string เคลื่อนที่กลับมายังจุดเริ่มต้น ( เปลี่ยนช่วงละ 2) (1.35)

  34. v frequency(v) : จำนวน oscillation ต่อหน่วยเวลาหรือส่วนกลับของ period - ตัวอย่าง การเคลื่อนที่ของ string ซึ่งมีลักษณะต่อเนื่อง เช่น เครื่องดนตรีแบบเครื่องสาย จะส่งความถี่ ด้วยจำนวนของ harmonic ต่อเวลาอย่างต่อเนื่อง แสดงโดย สมการคณิตศาสตร์ (1.36)

  35. Standing wave • เมื่อ n=1 เรียกว่า fundamental or 1st harmonic • n=2 เรียกว่า first overtone or 2nd harmonic • สมการ (1.36) คือ ผลรวมเชิงเส้น (linear combination) หรือ • ผลรวมของผลคูณระหว่าง function กับค่า coefficients และ • เรียกสมการ (1.36) ว่า Fourior sine series • ค่า a1 , a2 , … , an เรียกว่า Fourior constant

More Related